Движение тел с переменной массой

Уравнение движения тел с переменной не содержат ничего принципиально нового по сравнению с законами Ньютона, и являются их следствиями. Но они представляют большой интерес в связи с ракетной техникой.

Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Пусть m(t)-масса пакеты в произвольный момент времени t, а v(t)-ее скорость в тот же момент. Импульс ракеты в этот момент будет mv. Спустя dt масса и скорость ракеты получат приращение dm и dv(dm-отрицательна). Импульс ракеты станет (m+dm)(v+dv). Сюда надо добавить импульс движения газов, образовавшихся за dt. Он равен dm_газv_газ –масса и скорость газа, образовавшихся за dt. Вычитая из суммарного импульса системы в момент t+dt импульс системы в момент t, найдем приращение этой величины за dt. Это приращение равно Fdt, где F – геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету.

(m+dm)(v+dv)+dm­_газv_газ-mv = Fdt

Время dt устремим к нулю. Поэтому, раскрывая скобки, отбрасываем dmdv. Далее dm+dm_газ=0 и v_отн=v_газ-v есть скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда

mdv = v_отнdm + Fdt, деля на dt

m(dv/dt) =v_отн(dm/dt) + F (1)

Член v_отн(dm/dt) – реактивная сила. Уравнение (1)-уравнение Мещерского или уравнение движения точки с переменной массой.

Пусть теперь у нас F=0, тогда mdv = v_отнdm.

Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости v_отн. Тогда проекция v_отн на направление движения будет –v_отн. Тогда

dv/dm = -(v_отн/m)

Пусть скорость газовой струи v_отн постоянна, тогда

v= - v_отн ò(dm/m) = - v_отн ln(m) + C

Значение С определяется начальными условиями. Если, в начальный момент времени скорость ракеты =0, а масса = m_0, тогда 0 = - v_отн­ ln(m₀) + C, откуда С = v_отн ln(m₀). Следовательно: v = v_отн ln(m/m₀) или

m₀/m=e^{v / v отн} . (2)

Уравнение (2) – формула Циолковского. Она справедлива для нерелятивистских движений (v и v_отн­ << c)

Релятивистская формула имеет вид:

, где b= v/c.

 

Вопрос 2.

Основы гидро- и аэростатики. Закон Паскаля. Распределение давлений в покоящейся жидкости, находящейся во внешнем силовом поле.

 

Под действием внешних сил в жидкостях и газах, как и в твердых телах, могут возникать внутренние напряжения. Рассматривая жидкости и газы как сплошные среды, мы отметим, что жидкости, не имея определенной формы, сохраняют практически неизменный объем. Во многих важных случаях их можно рассматривать как несжимаемые. Газы же не имеют ни определенной формы, ни фиксированного объема.

В жидкости при сжатии силы отталкивания между молекулами могут быть весьма значительными. По этой причине говорят не о растягивающих и сдвиговых напряжениях s_ij, а о давлениях р_ij= - s_ij как об отрицательных напряжениях. Совокупность давлений р_ij, действующих на площадки, перпендикулярные осям координат и ограничивающие кубический элемент жидкости, называется тензором давлений.

В покоящейся или медленно движущейся жидкости тангенциальные напряжения p_ij (i¹j), связанные с вязкостью отсутствуют.

Закон Паскаля.

Если пренебречь силами тяготения, действующими на каждый элементарный объем жидкости, то из условия равновесия этого объема следует, что

p₁₁ = p₂₂ = p₃₃ = p (1)

При этом давление p, возникающее вследствие внешнего воздействия, является скалярной величиной и одинаково во всех точках объема, занятого покоящейся жидкостью. Условие (1) автоматически обеспечивает не только равенство нулю суммы сил давления, приложенных к данному объему, но и равенство нулю суммарного момента этих сил.

Для доказательства этого условия рассмотрим неподвижную жидкость, помещенную в цилиндрический сосуд с площадью основания S₁, закрытый сверху поршнем.

 

 

Если надавить на поршень силой F₁, то в жидкости будут созданы внутренние напряжения (давления). Рассмотрим условия равновесия элементарного объема жидкости, имеющего форму кубика. На единицу его поверхности будет действовать сжимающая сила f_ii=-p_iin_i, направленная противоположно нормали n_i к i-ой поверхности. Поскольку силы, действующие на противоположные грани кубика, равны по величине, то p₁₁=F₁/S₁. Равенство давлений р₁₁ и р₂₂ следует из условия равновесия половины кубика, выделенного более темным цветом и изображенного на фрагменте. Действительно, f₁₁= f₂₂ = f /(2)^0,5. Поэтому р₂₂=р₁₁. Рассматривая равновесие элементарных объемов в различных точках жидкости, получим условие:

p_ii=p=F₁/S₁

которое является математическим выражением закона Паскаля.

Если рассмотренный сосуд соединить при помощи трубки с другим цилиндрическим сосудом с площадью основания S₂, то при открывании крана К внутренние напряжения в соответствии с законом Паскаля передадутся во второй сосуд. На поршень, закрывающий этот сосуд, жидкость будет давить вверх с силой

F₂ = pS₂ = (F₁/S₁)S₂ .

Жидкость во внешем поле.

Рассмотрим напряжения, возникающие в жидкости, находящейся в поле внешних сил.

Пусть к элементу жидкости объемом dV=dxdydz приложена внешняя сила FdV (F – плотность силы).

 

 

В результате возникающих внутренних напряжений на нижнюю грань кубика с координатой х и площадью dydz в положительном направлении оси x действует сила давления p(x,y,z)dydz, а на верхнюю грань – p(x+dx,y,z)dydz. При равновесии кубика выполняется равенство

p(x,y,z)dydz – p(x+dx,y,z)dydz + F_xdxdydz = 0

Аналогичные равенства записываются по двум другим осям

p(x,y,z)dxdz – p(x,y+dy,z)dxdz + F_ydxdydz = 0

p(x,y,z)dxdy – p(x,y,z+dz)dxdy + F_zdxdydz = 0

Разделив левые и правые части равенств на элементарный объем получаем условие равновесия в виде дифф. уравнений: - dp/dx + F_x = 0; - dp/dy + F_y = 0; - dp/dz + F_z = 0

Отсюда следует, что давление не остается постоянным и изменяется в трех направлениях, по которым действует внешняя сила. Если ввести вектор градиента давления

grad p = Ñp = dp/dx e_x + dp/dy e_y + dp/dz e_z, где е_х, е_у, e_z – единичные вектора вдоль осей координат: - grad p + F = 0.

Примером служит жидкость в поле тяжести земли. Рассказать про сообщающиеся сосуды.

 

Билет 7.

Вопрос 1.