Маневры и теория катастроф

амкнутая система может иметь один и более устойчивых балансировочных режимов, принадлежащих к счетному или несчетному множеству. Перевод замкнутой системы из одного балансировочного режима и другой — наиболее часто встречающийся вид маневра. Маневр обычно имеет смысл, если конечный для него балансировочный режим — устойчивый режим для данной замкнутой системы. В пространстве параметров, описывающих замкнутую систему, маневр — траектория перехода от одной точки (начальный вектор состояния) к другой точке (конечный вектор состояния). Маневр — безусловно устойчив, если возмущающее воздействие, в его ходе воспринимаемое замкнутой системой, не выведет траекторию в пространстве параметров из некоего коридора допустимых отклонений от идеальной траектории. По отношению к маневру вектор целей — функция времени, т. е. идеальная траектория и хронологический график прохождения контрольных точек на ней. Множество допустимых векторов ошибки — коридор допустимых отклонений от идеальной траектории с учетом отклонений по времени в прохождении контрольных точек на идеальной траектории.

Маневр может быть и условно устойчивым, то есть замкнутую систему удается перевести в конечное состояние с приемлемой точностью, но возмущающие воздействия (в том числе конфликтное управление) в процессе маневра плохо предсказуемы до его начала; вследствие этого траектория перехода должна корректироваться в ходе маневра с учетом реальных отклонений. Маневр может быть завершен при условии, что в течение перехода возмущающие воздействия не превысят компенсационных возможностей замкнутой системы. Это же касается ситуации конфликтного управления одним объектом со стороны нескольких субъектов.

Примером такого рода условно устойчивого маневра является любое плавание эпохи парусного флота “из пункта А в пункт Б”: доплыть — шансы есть, но об аварийности, сроках и маршруте можно говорить только в вероятностном смысле о будущем и в статистическом смысле — о прошлом. Политика также дает массу примеров такого рода маневров.

То есть безусловно устойчивый маневр имеет вероятность успешного завершения, обусловленную возмущающими воздействиями на замкнутую систему в его ходе, равную единице, которая однако может быть сведена к нулевой вероятностной предопределенности низкой квалификацией управленцев [37]. Вероятность приемлемого завершения условно устойчивого маневра подчинена объективно вероятностным предопределенностям возмущающего воздействия, характеристикам объекта, а субъективно — высокая квалификация субъекта-управленца может вытянуть до единичной предопределенности низкую вероятность осуществления условно устойчивого маневра. В этой формулировке под “возмущающим воздействием” следует понимать как внешние воздействия среды, включая и конфликтность управления, так и внутренние изменения (поломки и т. п.) в замкнутой системе. Этот пример также иллюстрирует соотношение понятий “устойчивость в смысле ограниченности отклонений” и в смысле предсказуемости поведения.

К маневрам перехода предъявляются разные требования, но наиболее часто предъявляется требование плавности, безударности, т. е. отсутствия импульсных (ударных) нагрузок на замкнутую систему в процессе её движения по идеальной траектории маневра с допустимыми отклонениями в пространстве параметров. В математической интерпретации это требование эквивалентно двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния замкнутой системы и наложению ограничений на вектора-производные (“скорость”, “ускорение”) во всем пространстве коридора допустимых отклонений на протяжении идеальной траектории. Снятие этого требования — перенос задачи управления в область приложений теории катастроф.

Теория катастроф рассматривает процессы, в которых плавное изменение параметров системы прерывается их скачкообразным изменением (предсказуемым или заранее неизвестным), после чего система оказывается в другом режиме существования или разрушается. Этот скачок теория называет “катастрофой” (далее катастрофа в кавычках — именно в этом смысле), что в большинстве случаев правильно, поскольку ударный характер нагрузки на замкнутую систему может её повредить, разрушить или быть неприемлемым по каким-то иным причинам. Сама теория “катастроф” родилась из обобщающего анализа реальных катастроф в их математическом описании. Режим, в котором оказывается система после “катастрофы”, может быть предсказуем — либо однозначно, либо в вероятностно-статистическом смысле, либо непредсказуем.

Типичный пример явлений, изучаемых теорией “катастроф”, — переход колебательного процесса из одной потенциальной ямы в другую потенциальную яму: так в шторм корабль испытывает качку относительно одного устойчиво вертикального положения. Плавное увеличение амплитудных значений крена при качке может привести к внезапному опрокидыванию корабля кверху днищем в течение интервала времени менее полупериода качки (секунды) в процессе усиления шторма, обледенения и т.п. Но и опрокинувшийся корабль может не сразу же пойти ко дну, а может еще длительное время оставаться на плаву кверху днищем, по-прежнему испытывая качку относительно своего другого, также устойчиво вертикального положения.

“Неплавная” траектория может быть проекцией вполне “плавной” траектории, лежащей в пространстве параметров большей размерности, в подпространство меньшей размерности. Область потенциально устойчивого по предсказуемости управления в пространстве параметров вектора состояния по отношению к конкретной замкнутой системе — объективная данность. В ней лежит множество объективно возможных траекторий маневров; и множество объективно невозможных. Во множестве объективно возможных траекторий можно выделить подмножество траекторий, на которых лежат точки “катастроф”. Это могут быть точки нарушения двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния; точки превышения ограничений на вектора-производные; точки изменения меры предсказуемости (например, точки ветвления траекторий в вероятностном смысле); точки на границах между двумя потенциальными ямами и т.п.

Если рассматривать сказанное по отношению к железнодорожному транспорту страны, то: область потенциально устойчивого управления — вся территория государства; множество объективно возможных маневров — существующая сеть железных дорог. Множество объективно невозможных — всё, где нет рельсов и где невозможно по техническим причинам проложить рельсы или построить стрелочные переводы для изменения направления движения. Точки катастроф — неисправные пути и стрелочные переводы, слишком крутые повороты и негабаритные места, непроходимые для некоторых видов подвижного состава и локомотивов и т.п. — то есть это реальные возможности катастроф. По отношению к каждому из видов груза железнодорожные узлы — точки ветвления их траекторий в вероятностном смысле.

Этот пример хорошо показывает соотношение всех перечисленных категорий, но сами “катастрофы” теории катастроф в нем представлены только реальными катастрофами железнодорожного транспорта. Далее, чтобы не путаться в катастрофах в кавычках и без кавычек, мгновенную потерю управления — в смысле теории “катастроф” — мы будем называть срыв управления.