Проекція сили на вісь Х:

Модуль сили опору середовища пропорційний модулю швидкості точки:

.

Якщо , то , тобто коефіцієнт пропорційності за числовим значенням рівний силі опору при швидкості точки, дорівнює одиниці.

Сила опору спрямована завжди протилежно швидкості точки :

.

Проекція сили та швидкості на вісь Х мають протилежні знаки:

.

Складаємо диференціальне рівняння руху матеріальної точки під дією сил та :

; ,

 

або

.

 

Вводимо позначення:

, .

.

 

Це рівняння є диференціальним рівнянням руху матеріальної точки під дією відновлюючої сили та сили опору, пропорційної швидкості точки.

Рішення цього диференціального рівняння знаходимо у вигляді:

 

.

 

Тоді:

 

, .

 

Підставимо значення , , та в останнє рівняння:

 

.

 

Отже, характеристичне рівняння має вигляд:

 

.

 

Корені цього рівнняня:

 

.

 

Величина є частотою вільних коливань даної точки.

Коефіцієнт характеризує опір середовища. З виразу для коренів характеристичного рівняння видно, що ці корені є дійсними при та комплексними при , випадок називається випадком великого опору, випадок - випадок малого опору.

 

6.1.1. Випадок малого опору ().

Розглянемо випадок коливань матеріальної точки, який виникає при , тобто коли опір малий в порівнянні з відновлюючою силою.

В цьому випадку корені характеристичного рівняння можно записати в наступному вигляді:

 

; ; ,

.

Тоді:

 

; .

 

Введемо позначення:

.

Отримаємо:

 

; ,

 

тобто корені характеристичного рівняння є комплексними. Тоді загальне рішення рівняння буде відрізнятися від рішення попереднього рівняння тільки множником , оскільки

 

,

.

Отже,

,

 

або

 

.

 

Величини та , що входять до даного рівняння, є сталими інтегрування і визначаються за початковим умовами.

Рух, що визначається цім рівнянням має коливальний характер, оскільки координата х періодично змінює свій знак при зміні знака, що входить в рівняння синуса. Множник вказує на те, що амплітуда коливань на протязі часу зменшується. Коливання цього виду називаються затухаючими. Графік затухаючих коливань показано на рисунку 6.1.1.а.

	Оскільки , тоді абсолютна величина координати х задовільнює умові: .
Рисунок 6. 1.1.а. Затухаючі коливання точки у випадку малого опору..

Отже, графік затухаючих коливань міститься між двома симетричними відносно осі абсцис кривими, що мають рівняння:

 

і .

 

Проміжок часу T, рівний періоду

 

,

називається періодом затухаючих коливань. За період точка виконує одне повне коливання.

Цю формулу можна записати в наступному вигляді:

 

,

 

де - період вільних коливань цієї ж точки.

З формули видно, що , тобто в присутності опору період коливань трохи зростає. Але, коли опір малий (), то величиною в порівняні з одиницею можна знехтувати та вважати .

Отже малий опір на період коливань практично не впливає.

Амплітудою затухаючих коливань називається найбільші відхилення точки в ту чи іншу сторону від положення спокою на протязі кожного коливання.

З наступно-послідовних значень перемінної амплітуди можна скласти ряд , як наведено на рисунку 6.1.1.б.

	Визначимо відношення послідовних членів ряду та , що відповідають моментам часу .
Рисунок 6. 1.1.б. Затухаючі коливання точки у випадку малого опору.

Оскільки відношення стале за величиною і менше одиниці, то послідовні значення амплітуди складають убуваючу геометричну прогресію з знаменником .

Він називається декрементом коливань.

Натуральний логарифм декремента:

 

,

 

який називається логарифмічним декрементом.

.

 

Коефіцієнт b називають коефіцієнтом затухання.

Затухання коливань відбувається дуже швидко навіть при малому опорі. Так, наприклад, при b = 0,05k

 

; ,

 

тобто період затухаючих коливань відрізняється від періоду вільних коливань Т лише на 0,125%, а амплітуда коливань за час одного повного коливання зменшується на 27%, і після 10 повних коливань складає 4,3% свого початкового значення.

Таким чином, основний впглив опору на вільні коливання матеріальної точки виражається в зменшенні амплітуди коливань на протязі деякого часу, тобто в затуханні коливань.

6.1.2. Граничний випадок (b=k).

При b = k корені характеристичного рівняння будуть дійсними і кратними:

.

 

Загальне рішення рівнянь в цьому випадку має вигляд:

 

.

 

Для визначення сталих та отримаємо рівняння, що визначає швидкість точки:

 

.

 

Початкові умови приведемо в вигляді:

при , , .

Тоді, підставляючи початкові умови в отримані рівняння, будемо мати:

	; , ; .   Знаючи значення та приведемо рівняння до наступного вигляду:   .
Рисунок 6. 1.2. Затухаючі коливання точки у гранічному випадку.

Рух точки, що визначається цім рівнянням називається аперіодичним, як наведено на рисунку 6.1.2.

6.1.3. Випадок великого опору (b>k).

Наприкінці розглянемо випадок, коли b>k, тобто, коли опір в порівнянні з відновлюючою силою значний. Позначимо:

 

.

 

Тоді корені характеризуючого рівняння:

 

,

 

та дорівнюють , тобто, обидва дійсні та від'ємні, тому що .

Отже, рішення рівняння , що описує закон руху точки, має при b>k вигляд:

 

.

 

Оскільки функція , де , з часом монотонно убуває, наближаючись до нуля, то рух точки в цьому випадку не буде коливальним і вона під дією відновлюючої сили буде поступово наближатися до положення рівноваги . В залежності від початкових умов матеріальна точка може виконувати один з рухів, графіки яких показані на рисунку 6.1.3.

Ці графіки відповідають початковому відхиленню точки від положення спокою на величину .

На рис. 6.1.3.а показано графік руху точки з початковою швидкістю , що має напрям, який співпадає з напрямком осі Х.

Дякуючи цій швидкості, точка спочатку віддаляється від положення спокою, а потім під дією відновлюючої сили поступово наближається до цього положення. Графіки (рисунки 6.1.3.б, та 6.1.3.в) відповідають руху точки з початковою швидкістю , спрямованою протилежно напрямку осі Х,Y випадку достатньо великої швидкості точка може виконати один перехід через положення спокою, а потім у зворотньому русі наближатись до цього положення (рисунок 6.1.3.б).

Рисунок 6. 1.2. Затухаючі коливання точки у випадку великого опору.

 

ЛЕКЦІЯ 7

Теорія коливань.

План.

 

7.1. Вимушені коливання точки без урахування опору.

7.1.1. Фаза вимушених коливань.

7.1.2. Амплітуда вимушених коливань.

7.1.3. Явище резонансу.