Вільні гармонійні коливання точки

Приймаємо прямолінійну траєкторію руху точки за вісь х, початок координат 0 розташуємо в стані спокою точки М.

Якщо точки виведена зі стану спокою, то на нее діє відновлююча сила , як наведено на рисунку 5.2.а.

	Нехай у момент часу точка М має координату х, тоді модуль сили : де коефіцієнт твердості пружини, дорівнює силі пружності при одиничній деформації.
Рисунок 5.2.а. Вільні гармонійні коливання точки.

Запишемо векторне рівняння руху точки М:

 

 

Спроектуємо рівняння на вісь х:

 

 

Поділимо обох частин рівняння на m і введемо позначення

Рівняння приймає вигляд:

.

 

Це диференціальне рівняння вільних коливань матеріальної точки.

Розмірність

Дане рівняння є однорідним лінійним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Його рішення знаходимо у виді:

тоді

.

Підставимо ці значення:

 

 

Загальне рішення рівняння має вигляд:

 

 

Швидкість точки М:

 

 

Для визначення постійних і задаємо початкові умови.

При

.

Остаточне рівняння точки приймає вигляд:

 

 

Рівняння прийме інший вигляд, якщо замість постійних і ввести нові постійні і , вважаючи

Тоді

 

Чи закон гармонійного коливального руху, коливання точки під дією тільки однієї сили, що відновлює, називається вільними коливаннями матеріальної точки.

Швидкість точки:

 

Величина дорівнює найбільшому відхиленню точки від центра 0 і називається амплітудою коливань.

Аргумент синуса який позначає положення точки в даний момент часу і напрямок її наступного руху, називається фазою коливань.

Величина початкова фаза.

При

 

Коливання починаються від центра 0, спрямовані вправо.

При коливання відбуваються по косинусоідє

 

Починаються з положення зі швидкістю

Період часу за який точка виконує одне повне коливання називається періодом коливань. Т.к. період синуса та косинуса дорівнює , тоді після закінчення періоду фаза коливань змінюється на , тобто:

 

чи

Величина зворотня періоду частотою коливань (рисунок 5.2.б.).

.

	Величина відрізняється від тільки постійним множником . Тому частотою коливань будемо називати величину . Значення і визначаються з початкових умов.
Рисунок 5.2.б. Вільні гармонійні коливання точки.

 

При

Одержимо:

 

 

Маємо систему двох рівнянь із двома невідомими

 

 

Зведемо їх у квадрат і складемо

 

Звідси:

.

 

При розподілі цих рівнянь одержимо:

 

Властивості вільних коливань.

 

1). Амплітуда і початкова фаза коливань залежить від початкових умов.

2). Частота і період коливань від початкових умов не залежать і є незмінними характеристиками даної коливної системи.

 

5.3. Вплив постійної сили на вільні коливання точки.

Нехай на точку крім відновлючої сили діє постійна сила , як наведено на рисунку 5.3.

	У цьому випадку положенням рівноваги крапки буде центр який відстоїть від центра 0 на відстань яка визначається рівністю: чи Величина називається статичним відхиленням точки.
Рисунок 5.3. Вплив постійної сили на вільні коливання точки.

Приймаємо центр за початок звіту і направимо координатну вісь 0Х в сторону дії сили

Тоді:

 

 

так як тоді чи:

 

 

Звідси робимо висновок, що постійна сила не змінює характер коливань, що робить точка під дією відновлюючої сили, а тільки зміщає центр цих коливань убік дії сили на величину статичного відхилення.

Виразимо період коливань через

 

так як

 

тоді

 

і тобто

 

тобто період коливань пропорційний квадратному кореню від статичного відхилення

ЛЕКЦІЯ 6

Теорія коливань.

План.

 

6.1. Згасаючі коливання точки.

6.1.1. Випадок малого опору.

6.1.2. Граничний випадок.

6.1.3. Випадок великого опору.

Згасаючі коливання точки.

Теорія вільних гармонічних коливань точки зовсім не враховує сил опору середовища, що виникають при переміщенні точки. Між тим ці сили значно впливають на характер коливального процесу точки, викликаючи швидке його затухання.

Так, наприклад, якщо вантаж, що прикріплено до вільного кінця пружини відтягнути, то він, виконавши деяке число коливань, під впливом сил опору повітря зупиниться.

Це означає, що окрім відновлюючої сили, спрямованої до центру коливань, на точку діє сила опору, що спрямована завжди в сторону, протилежну напряму руху точки. Закон зміни модуля сили опору залежить від фізичної природи цієї сили. Так, наприклад, модуль сили тертя ковзання можна прийняти постійним. Опір повітря в випадках малих швидкостей руху тіл вважають пропорціональним першій степені швидкості, а в випадку великих швидкостей його приймають пропорціональним квадрату швидкості тіла, що рухається.

Розглянемо коливання матеріальної точки М під дією відновлюючої сили та сили опору , що пропорційна швидкості точки, що наведено на рисунку 6. 1.

	Спрямуємо вісь Х вздовж траєкторії точки та сумістимо початок координат О з положенням спокою точки. Модуль відновлюючої сили:   .
Рисунок 6. 1. Затухаючі коливання точки.