Дискретное преобразование Лапласа найдем по аналогии с дискретным преобразованием Фурье, заменив в нем 
на 
. (4.16)
Это позволяет получить спектр по Лапласу, или изображение сигнала. Существует также обратное преобразование Лапласа
. (4.17)
4.5. 
– преобразование
Неудобство преобразования является наличие множителя 
или 
, что существенно затрудняет анализ. Его можно упростить при переходе к новой переменной связанной с следующим соотношением
, (4.18)
. (4.19)
Таким образом приходим к – преобразованию
. (4.20)
Выражение (4.20) является прямым – преобразованием. Существует и обратное – преобразование.
(4.21)
При – преобразовании точка 
комплексной плоскости переходит в точку 
комплексной плоскости 
(рисунок 4.3).
. (4.22)
Используя равенство (4.22), запишем
, (4.23)
и тогда
. (4.24)
При отражении точки преобразования в полярных координатах (рисунок 4.4) можно записать следующее
, (4.25)
, (4.26)
где 
– целое число.
Точка 
плоскости комплексной переменной переходит в точку, для которой 
.
И вообще рассматривая ось плоскости комплексной переменной , находим, что 
, т.е. 
. Таким образом, при перемещении по оси плоскости комплексной переменной , точка отражаемая в плоскости комплексной переменной будет описывать окружность единичным радиусом с периодом 
.
Заштрихованная область (рисунок 4.3) отражается во внутренность круга единичного радиуса в плоскости комплексной переменной . При отражении точек левой полуплоскости плоскости комплексной переменной , лежащих вне области от 
до 
(вне заштрихованной области), они снова попадают внутрь круга в плоскости комплексной переменной . Т.е. вся левой полуплоскость плоскости комплексной переменной отображается во внутренность круга единичного радиуса плоскости комплексной переменной , но за пределами заштрихованной области отображение будет происходить с периодическим попаданием в одни и те же точки плоскости комплексной переменной . Правая же полуплоскость плоскости комплексной переменной отображается во внешнюю часть круга единичного радиуса плоскости комплексной переменной .
Цифровая фильтрация сигналов
Технические возможности современной аппаратуры позволяют проводит обработку сигнала в цифровом коде, где они меньше подвержены влиянию внешних воздействий. Они более стабильны. В частности решается задача фильтрации.
Фильтрация сигнала с точки зрения спектральных представлений сигнала представляет собой изменение спектра сигнала.
С точки зрения временного представления фильтрация – это изменение формы сигнала.
