Класифікація і властивості похибок вимірювань

Абсолютні похибки вимірювань поділяють на грубі, систематичні і випадкові.

Грубі похибки виникають при неуважному відношенні до вимірювань, або при недостатній кваліфікації працюючого. Вони значно відрізняються від інших значень і вибраковуються.

Систематичні похибки можуть обумовлюватися зіпсованим приладом, дією кліматичних умов, зміною розміру об¢єкту, який вимірюється, та іншими факторами.

Необхідно встановити причини появи систематичних похибок і закони їхньої дії, потім визначити відповідні поправки. Перед вимірюваннями прилади перевіряють і визначають в який мірі вони задовольняють заплановані вимоги. Поправки уводять до результатів вимірювань, а прилади, якщо вони не в повній мірі відповідають вимогам, ремонтують або замінюють.

Для виключення або зменшення впливу систематичних похибок застосовуються спеціально розроблені способи і заходи вимірювань, а тому систематичні похибки ретельно вивчають.

Випадкові похибки обумовлюються впливом факторів, які безперервно змінюються у процесі вимірювань (освітленість, температура, сила вітру, тощо) і врахувати їх неможливо.

У малій кількості вимірювань закономірність появи випадкових похибок і їхні характеристики не виявляються. Властивості цих похибок виявляються тільки при відносно великій кількості повторень вимірювання.

 

Таблиця 3

Вихідні дані до виконання завдання

	Варіанти
	00 - 19	20 - 39	40 - 59	60 - 79	80 - 99
	Результати вимірювань, a, м
	180,01	250,02	224,98	150,01	200,02
	179,98	249,99	225,01	149,98	199,99
	180,00	250,03	224,99	149,99	199,98
	179,99	250,01	225,00	150,02	200,01
	180,02	249,97	225,02	149,99	199,99
	180,01	249,99	224,98	150,01	200,02
	179,99	250,00	224,99	150,00	200,01
	180,03	250,02	224,97	149,99	199,96
	179,98	249,98	225,03	150,02	199,99
	180,01	250,01	224,99	149,99	200,02
	179,99	250,02	224,96	150,01	199,98
	180,02	249,96	225,01	149,98	200,01
	179,97	249,98	224,98	150,00	200,03
	179,98	250,01	225,02	150,01	199,99
	180,02	249,99	224,99	149,99	199,98
	180,01	250,02	225,01	150,03	200,00
	179,99	250,01	225,02	150,01	200,01
	180,02	249,98	225,00	149,96	199,99
	179,97	249,96	224,96	149,97	200,03
	180,03	250,04	250,03	150,02	199,96

 

Для заданого ряду похибок вимірювань необхідно визначити середню квадратичну і граничну похибки, а також перевірити властивості випадкових похибок вимірювань.

Для прикладу вирішимо це завдання, використовуючі подібний ряд похибок вимірювань.

Таблиця 4

Визначення властивостей похибок вимірювань

№ вимірювання	Результати вимірювання	D = L - Х	D2
	195,02	+2
	195,01	+1
	194,99	-1
	195,00
	194,98	-2
	195,01	+1
	195,02	+2
	194,97	-3
	194,99	-1
	195,01	+1
	194,98	+2
	195,02	+2
	194,99	-1
	195,01	+1
	195,02	+3
	194,98	-2
	194,99	-1
	195,01	+1
	194,98	-2
	195,02	+2
Дійсне значення Х = 195,00	S +16 S -15

 

Середня квадратична похибка вимірювань визначається за формулою:

m² =D₁² + D₂² + D₃² + ¼ + D_n² / n, або , де

D - похибка одного вимірювання;

n - кількість вимірювань.

Тоді = = 1,70 см.

Значення середньоквадратичної похибки m в даному прикладі дорівнює 1,70 см.

При виконанні геодезичних вимірювань часто користуються формулою граничної похибки m_{граничне} = 2m, або навіть m_{граничне} = 3m. У нашому випадку 2m = 1,70 ´ 2 = 3,40 см, а 3m = 3 ´ 1,70 = 5,10 см.

Використовуючі формулу m_{граничне} = 2m, перевіримо на даному ряді властивості випадкових похибок. Найбільша похибка у наведеному прикладі дорівнює 3 см і вона по модулю не перевищує граничну похибку 2m яка дорівнює 3,40 см. Цим підтверджується перша властивість випадкових похибок: випадкові похибки не можуть перевищувати за абсолютним значенням визначеної межі.

Позитивних похибок в даному ряду вимірювань 10, від¢ємних 9, тобто кількість позитивних і від¢ємних похибок приблизно однакова, а це підтверджує другу властивість випадкових похибок: в масиві вимірювань позитивні і від¢ємні похибки зустрічаються порівну.

В нашому прикладі малі похибки (які не перевищують m) зустрічаються в 10 випадках, тобто в половині вимірювань, а похибок, які не перевищують 2m тобто 3,40 см взагалі немає то це підтверджує третю властивість випадкових похибок: малі за абсолютним значенням похибки зустрічаються значно частіше, ніж великі.

Четверта властивість випадкових похибок в тому, що при необмеженій кількості вимірювань середнє арифметичне з випадкових похибок прямує до ноля, тобто

Lim

Середнє арифметичне. Якщо є ряд рівноточних вимірювань однієї і тієї ж величини, то середнє арифметичне цієї величини буде визначатися за формулою:

, де

- одержані значення величини;

n - кількість вимірювань.

При визначенні середнього арифметичного користуються наближеним значенням і різницею.

Наприклад. Необхідно визначити середнє арифметичне з чисел: 250,06; 249,96; 250,08; 250,05; 249,94; 250,06. За наближену величину можна взяти L₀ = 249,92. Різниці DL = L_і - L₀ будуть: 0,14; 0,00; 0,10; 0,16; 0,13; 0,11; 0,02; 0,14.

 

Середнє арифметичне різниць:

Середнє арифметичне значення результатів вимірювань буде:

 

 

Найвірогідніші похибки.

Дуже часто при виконанні геодезичних вимірювань дійсне значення величини, яку визначають Х бува невідоме. У такому випадку за точне значення величини приймають її середнє арифметичне значення L (найвірогідніше значення). Різниці між окремими вимірюваннями і найвірогіднішим значенням називають найвірогіднішими похибками V = - L. Ці похибки характеризуються слідуючими властивостями:

1. Сума найвірогідніших похибок дорівнює нулю

2.Сума квадратів найвірогідніших похибок є мінімум = min. Середня квадратична похибка одного вимірювання визначається за формулою: , де

V - найвірогідніші похибки вимірювань;

n - кількість вимірювань.

Похибка середнього арифметичного визначається за формулою:

 

Таблиця 5

Визначення властивостей найвірогідніших похибок

№ Вимірювання	Варіанти
00 - 19	20 - 39	40 - 59	60 - 79	80 - 99
	76°35¢56¢¢	36°22¢37¢¢	72°46¢28¢¢	45°56¢08¢¢	18°41¢52¢¢
	76°35¢48¢¢	36°22¢41¢¢	72°46¢34¢¢	45°56¢26¢¢	18°41¢34¢¢
	76°35¢52¢¢	36°22¢46¢¢	72°46¢16¢¢	45°56¢14¢¢	18°41¢49¢¢
	76°35¢44¢¢	36°22¢39¢¢	72°46¢27¢¢	45°56¢39¢¢	18°41¢57¢¢
	76°35¢54¢¢	36°22¢52¢¢	72°46¢42¢¢	45°56¢17¢¢	18°41¢28¢¢
	76°35¢47¢¢	36°22¢27¢¢	72°46¢33¢¢	45°56¢29¢¢	18°41¢36¢¢
	76°35¢53¢¢	36°22¢36¢¢	72°46¢21¢¢	45°56¢45¢¢	18°41¢28¢¢
	76°35¢46¢¢	36°22¢27¢¢	72°46¢18¢¢	45°56¢36¢¢	18°41¢42¢¢
	76°35¢52¢¢	36°22¢43¢¢	72°46¢31¢¢	45°56¢14¢¢	18°41¢51¢¢
	76°35¢48¢¢	36°22¢52¢¢	72°46¢50¢¢	45°56¢32¢¢	18°41¢43¢¢
	aсер=	aсер=	aсер=	aсер=	aсер=

 

Приклад. Необхідно визначити:

1. Середнє арифметичне значення кута;

2. Середню квадратичну похибку окремого вимірювання;

3. Середню квадратичну похибку середнього арифметичного;

4.Граничну похибку.

Таблиця 6

Рішення

Вимірювання	Результати вимірювань	Відхилення від вірогідного відхиленняі,V	Квадрати відхилень, V2
	22°27¢38¢¢	-2¢¢	4¢¢
	22°27¢56¢¢	+16¢¢	256¢¢
	22°27¢41¢¢	+1¢¢	1¢¢
	22°27¢33¢¢	-7¢¢	49¢¢
	22°27¢27¢¢	-13¢¢	169¢¢
	22°27¢39¢¢	-1¢¢	1¢¢
	22°27¢44¢¢	+4¢¢	16¢¢
	22°27¢34¢¢	-6¢¢	36¢¢
	22°27¢52¢¢	+12¢¢	144¢¢
	22°27¢36¢¢	-4¢¢	16¢¢
n = 10	aсер =22°27¢40¢¢		692°

При визначенні одержали:

1. Середнє арифметичне значення кута a = 22°27¢40²

2. Середня квадратична похибка окремого вимірювання:

²

3. Середня квадратична похибка середнього арифметичного:

²

4. Гранична похибка: D_гр = 3m = 3 ´ 9 = 27²; D_гр = 2m = 2 ´ 9 = 18².

 

Список рекомендованої літератури

Основна

1. Баршай С.Е., Нестеренок В.Ф., Хренов Л.С. Инженерная геодезия. -Минск: Вьішейшая школа, 1976. -400 с.

2. Булгаков Н.П., Рьівкина Е.М., Федотов Г.А. Прикладная геодезия. - М.: Недра, 1990.-416с.

3. Павлів П.В. Геодезія.-К: ІЗМН., 1997.-200с.

4. Шилов П.И., Федоров В.И. Инженерная геодезия и азрогеодезия. - М.: Недра, 1971.-384с.

Додаткова

5. Голубкін В.М., Соколова Н.І., Палехін І.М., Соффер М.І. Геодезія. -Київ. 1970.-444с.

6. Дубов С.Д., Поляков А.Н. Геодезия. - М: Агропромиздат, 1988.- 238 с.

7. Маслов А.В., Гордеев А.В., Батраков Ю.Т. Геодезия. - М.: Недра, 1980. -616с.

8. Хейфец Б.С., Данилович Б.Б. Практикум по инженерной геодезии. - М. 1979.-332с.

 

Мартиненко Володимир Олександрович

 

Інженерна геодезія

Частина 1

Методичні вказівки щодо самостійної роботи

 

Суми, РВВ, Сумський національний аграрний університет, вул. Кірова, 160

 

Підписано до друку: 2009 р. Формат А5: Гарнітура Times New Roman Cyr

 

Тираж: примірників Замовлення __ № _______ Ум.друк. арк. 0,92