Перевірка відповідності отриманих під час вимірів результатів закону нормального розподілу випадкових величин Гаусса

Оскільки методи обробки результатів вимірювань ґрунтуються на використанні нормального закону розподілу, перед початком обчислення бажано переконатися в тому, що дана сукупність відповідає згаданому законові.

Для порівняно невеликих сукупностей цю перевірку можна здійснити графоаналітичним методом: для даної вибірки за певними правилами слід побудувати графік емпіричного розподілу і якщо точки даного графіка розмістяться приблизно на прямій лінії, то дана сукупність відповідає нормальному законові розподілу. Даний метод придатний для вибірок за кількості спостережень 3 < n < 40.

Застосовуючи графоаналітичний метод аналізу, слід передусім упорядкувати вибірку, розмістивши значення Х_j за порядком зростання:

 

Х₁ ≤ Х₂ ≤ …≤ Х_n.

Якщо деякі значення в такому варіаційному ряді повторюються, то в робочу таблицю їх записують тільки один раз, але вказують кількість цих значень (частота m_j даної варіанти Х_j ряду). В наступну графу записують наростаючим підсумком так звані накопичені частоти М_j (сумарна кількість значень m_j від початку до Х_j включно), після чого обчислюють інтеграл Лапласа.

За таблицею 4.1 слід установити значення Z_j, а потім побудувати графік z_j = f(Х_j). Якщо графік цієї функції приблизно прямолінійний, то можна вважати, що дана вибірка не суперечить нормальному закону розподілу.

Таблиця 4.1 – Значення інтеграла Лапласа

φ(z)	z	φ(z)	z	φ(z)	z
0,01	0,025	0,06	0,15	0,11	0,28
0,02	0.050	0,07	0,18	0,12	0,31
0,03	0,075	0,08	0,20	0,13	0,33
0,04	0,10	0,09	0,23	0,14	0,36
0,05	0,13	0,10	0,25	0,15	0,39
0,16	0,41	0,31	0,88	0,460	1,75
0,17	0,44	0,32	0,92	0,465	1,81
0,18	0,47	0,33	0,95	0,470	1,88
0,19	0,50	0,34	0,99	0,475	1,96
0,20	0,52	0,35	1,04	0,480	2,05
0,21	0,55	0,36	1,08	0,485	2,17
0,22	0,58	0,37	1,13	0,490	2,33
0,23	0,61	0,38	1,18	0,492	2,41
0,24	0,64	0,39	1,23	0,494	2,51
0,25	0,67	0,40	1,28	0,495	2,58
0,26	0,71	0,41	1,34	0,496	2,65
0,27	0,74	0,42	1,41	0,497	2,75
0,28	0,77	0,43	1,48	0,498	2,88
0,29	0,81	0,44	1,55	0,499	3,10
0,30	0,84	0,45	1,64	0,4999	4,00

Приклад

Під час вимірювання величини отримані такі результати: 10,3; 10,1; 10,3; 10,2; 10,4; 10,2; 10,5; 10,3; 10,4. Перевірити, чи відповідає ця вибірка нормальному законові розподілу.

Розв’язання

Результати обчислень оформлюються в табличній формі (табл. 4.2.)

 

Таблиця 4.2 – Значення z_j для отриманих результатів вимірювань (х_j)

j	хj	mj	Мj	φ(zj)	zj
	10,1 10,2 10,3 10,4 10,5		1 3 8 9	– 0,4 – 0,2 + 0,1 + 0,3 + 0,4	– 1,28 – 0,52 + 0,25 + 0,84 + 1,28

 

Графік z_j = f(х_j) майже прямолінійний (рис. 4.2), тому можна вважати, що ця вибірка не суперечить нормальному законові розподілу.

 

Рисунок 4.2

 

Якщо вибірка х₁, х₂,..., х_n відповідає нормальному законові розподілу, але є сумніви шодо нормальності певного результату спостере­ження х_к, який помітно відрізняється від інших, то це можна перевірити за допомогою критерію оцінки анормальності результатів спостережень. Для цього треба обчислити середньоарифметичне зна­чення для даної вибірки за формулою

а також середньоквадратичне відхилення окремих результатів спостережень за формулою

Далі слід знайти показник анормальності.

 

Для прийнятої імовірності Р = 0,95 та даного значення n треба знайти параметр h з таблиці 4.3.

Критерієм анормальності є умова ; якщо це так, то спостереження х_k відноситься до результатів з грубими похибками і його слід вилучити з вибірки.

Таблиця 4. 3 – Значення h для Р = 0,95

n	h	n	h	n	h
	1,15		2,33		2,61
	1,46		2,37		2,63
	1,67		2,41		2,65
	1,82		2,44		2,66
	1,94		2,48		2,68
	2,03		2,50		2,69
	2,11		2,53		2,69
	2,18		2,56		2,70
	2,23		2,58
	2,29		2,59

Приклад

Під час вимірювання величини отримані такі результати: 10,3; 10,5; 10,4; 10,3; 11,0; 10,1; 10,4; 10,3; 10,2. Перевірити, чи відповідає ця вибірка нормальному законові розподілу.

Розв’язання

Викликає сумніви п'ятий результат спостереження: х₅ = 11,0. Спочатку перевіримо на нормальність вибірку в цілому (табл. 4.4)

 

j	хj	mj	Мj	φ(zj)	zj
	10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 11,0	1 1 32		-0,4 -0.3 +0,2+0,3 +0,4	– 1,28 – 0,84 0 +0,52 +0,84 +1,28

Таблиця 4.4 – Значення z_j для отриманих результатів спостережень(х_j)

 

Рисунок 4.3

 

Вигляд графіка (рис. 4.3, а)спонукає до висновку, що вибірка не відповідає розподілу Гаусса.

Далі перевіримо на анормальність результат спостереження х₅ = 11,0. Для вибірки = 10,388888 s = 0,25712081. Обчислюємо показник анормальності

Для п = 9 в табл. № 4.3 знаходимо значення h = 2,11. Оскільки ,результат спостереження х₅ = 11,0 відноситься до результатів з грубими похибками, тому його треба відкинути.

У вибірці залишається 8 результатів: 10,3; 10,5; 10,4; 10,3; 10,1; 10,4; 10,3; 10,2. Знову перевіряємо її на відповідність нормальному законові розподілу (табл. 4.5).

Будуємо графік z_j = f(х_j) і за його виглядом (рис. 4.3, б) переконуємося, що тепер ця вибірка не суперечить розподілу Гаусса.

 

Таблиця 4.5 – Значення z_j для результатів спостережень (х_j), які залишились у вибірці

j	хj	mj	Мj	φ(zj)	zj
	10,1			– 0,39	– 1,23
	10,2			– 0,28	– 0,77
	10,3			+ 0,06	+ 0,15
	10,4			+ 0,28	+ 0,77
	10,5			+ 0,39	+ 1,23