Основные геодезические задачи

 

При производстве геодезических работ обычно приходится ре­шать прямую и обратную геодезические задачи.

Прямая геодезическая задача. Пусть на местности имеется пункт А (х_А, у_А)с известными координатами (рис. 64). Зная дирекционный угол α линии между пунктами А и В и горизонтальную проекцию длины этой линии d, можно вычислить координаты пункта В. Эта за­дача называется прямой геодезической задачей. Рассмотрим ее решение на плоскости. Спроецировав точки А и В на оси ко­ординат, из рис. 64 видим, что координаты х, уточки В равны координатам точки А плюс соответственно величины Δ x и Δ y, т. е.

 

x_B = x_A + Δ x;

 

y_B = x_A + Δ y. (48.1)

 

Рис. 64. Основные геодезические задачи

 

Отрезки Δ х и Δ у представляют собой проекции отрезка АВ на соответствующие оси координат и называются прираще­ниями координат. Приращения координат Δ х и Δ у опреде­ляем из прямоугольного треугольника АКВ по известным вели­чинам дирекционного угла α и длины d:

 

Δ x = d cosα;

Δ y = d sinα. (48.2)

 

Подставив значения приращений координат (48.2) в выражение (48.1), получим решение прямой геодезической задачи

 

x_B = x_A + d cosα;

y_B = y_A + d sinα. (48.3)

 

 

Решение прямых геодезических задач целесообразно выполнять с помощью микрокалькуляторов.

Применение микрокальку­ляторов не требует перехода от дирекционных углов к рум­бам, автоматизирует вычисли­тельный процесс, сокращает затраты времени и повышает надежность вычислений.

Обратная геодезическая задача Если на местности известны координаты двух точек А (х_А. у_А)и В (х_В, у_В), то можно определить горизонтальную проек­цию расстояния между этими пунктами d и дирекционный угол этого направления α (см. рис. 64). Эта задача носит название обратной геодезической задачи.

В обратной геодезической задаче, как видно из рис. 64, приращения координат могут быть вычислены по исходным дан­ным:

 

Δ x = x_B – x_A;

Δ y = y_B – y_A. (48.4)

 

Из прямоугольного треугольника АКВ можно определить угол α и горизонтальную проекцию расстояния

 

tg α = ; α = arctg ; d = . (48.5)

С помощью формул (48.5) решают обратную геодезическую задачу, при этом горизонтальную проекцию расстояния d для контроля вычисляют дважды. Если возникает необходимость определения только горизонтальной проекции расстояния между точками с известными координатами без определения направления, то пользуются формулой:

d = . (48.6)

Для решения обратной геодезической задачи, так же как и прямой, используются микрокалькуляторы. Назад

 

ПЛАНОВЫЕ СЕТИ СГУЩЕНИЯ

Сети сгущения создаются с целью обеспечения инженерных работ и топографических съемок масштабов 1:500 ÷1:5000. Методы создания плановых и высотных сетей сгущения те же, что и для государственных сетей.

Сети сгущения опираются на пункты государственной геоде­зической сети, поэтому плановые координаты и высоты пунктов сетей сгущения вычисляют в единой государственной системе координат и высот. Плановые сети сгущения подразделяются на сети триангуляции 1 и 2 разрядов и сети полигонометрии1 и 2 разрядов.

Триангуляция 1 и 2 разрядов прокладывается преимущест­венно в открытой местности. Основными типичными сетями три­ангуляции 1 и 2 разрядов являются цепочки треугольников, центральные системы и вставки пунктов в треугольники.

Триангуляция сетей сгущения 1 и 2 разрядов опирается на стороны или пункты плановых сетей более высокой точности. Между смежными пунктами триангуляции должна быть обеспе­чена взаимная видимость. Углы сетей сгущения в триангуля­ции измеряют теодолитами типа Т2, Т5.

Полигонометрию 1 и 2 разрядов прокладывают для созда­ния геодезического обоснования в виде одиночных ходов или системы ходов.

Углы измеряют теодолитами Т2, Т5. В зависимости от мето­дов измерения длин сторон различают следующие виды поли­гонометрии:

с непосредственным измерением линий;

дальномерную;

короткобазисную или параллактическую.

В полигонометрических ходах длины сторон измеряют инварной проволокой с относительной ошибкой 1:300000 ÷ 1:25000.

Если в ходе полигонометрии длины сторон измеряют стальной мерной лентой с относительной ошибкой 1:1000 ÷ 1:2000, то такой ход называется теодолитным.

В дальномерной полигонометрии длины сторон изме­ряют дальномерами двойного изображения или малыми (топо­графическими) светодальномерами, обеспечивающими точность измерения длин линий порядка 5-10мм.

В короткобазисной или параллактической полигонометрии длины сторон определяются косвенно (из вы­числений). В качестве короткого базиса используют 2-3-мет­ровые жезлы различной конструкции,

устанавливаемые на шта­тиве перпендикулярно к линии визирования. Изме­ряемые малые углы, под которыми базис виден с концов линии хода, называются параллактическими.

Приразвитии плановых геодезических сетей сгущения в условиях обжитых, застроенных территорий все пункты триангуляции и полигонометрии закрепляют знаками. В условиях мал­ообжитых районов либо в сельской местности закрепляют узло­вые пункты полигонометрии. В полигонометрии 1 разряда за­крепляют пункты через 1км, в полигонометрии 2 разряда через 0,5км. Закрепленные знаки пунктов должны располагаться по­парно на обоих концах стороны полигонометрии. На пунктах сетей сгущения устанавливают наружные знаки: простую пи­рамиду, пирамиду-штатив или тур. Назад

 

 

СЪЕМОЧНЫЕ ПЛАНОВЫЕ СЕТИ

Сети триангуляции и полигонометрии 1 и 2 разрядов по мере необходимости для обеспечения съемок и инженерных работ сгущают съемочными сетями. С точек съемочной сети непо­средственно производят съемку местности, поэтому последние должны быть выбраны на местности с учетом необходимости обеспечения видимости смежных точек и хорошего обзора мест­ности при съемке.

Существует много способов построения съемочных сетей и в каждом конкретном случае съемочная сеть развивается тем способом, который наиболее целесообразен в данных условиях. Рассмотрим некоторые из них.

1. Теодолитный ход создается методом полигономет­рии, но точность измерений в ходе существенно ниже, чем в по­лигонометрии 2 разряда. Теодолитный ход используется, в ос­новном, в закрытой местности для обеспечения съемки вдоль рек, каналов, дорог, оврагов, по просекам и при съемках дру­гих линейных объектов.

Различают теодолитные ходы разомкнутые либо замкнутые. Разомкнутый ход своей начальной и конечной точками опирается на стороны обоснования более высокой точности (рис. 65, а). В замкнутом ходе начальная и конечная точки совпадают. Замкнутый теодолитный ход может также опираться на сторону более точного обоснования (рис. 65, б).

Если разомкнутый теодолитный ход опирается на точное обоснование только одним своим концом, то он называется висячим (рис. 65, в). Часто внутри замкнутого хода прокладывают диагональные ходы (рис. 65, б), для обеспечения съемоч­ным обоснованием большой территории используют системы ходов с узловыми точками (рис. 63, г).

В теодолитном ходе горизонтальные углы β ₁,..., β _n обычно измеряют техническими теодолитами типа Т30 со средней квад­ратической ошибкой угла т_β= 30 ". Углы измеряют одним пол­ным приемом при допустимом расхождении его значения в по­луприемах на величину Δ_пред= 2 t, где t – точность отсчитыва­ния по горизонтальному кругу теодолита. Для теодолита Т30 t = l' и Δ_пред= 2'.

 

­

 

 

Рис. 65. Теодолитные ходы:

а – разомкнутый; б – замкнутый;

в – висячий; г – система теодолит-

ных ходов

 

 

Стороны измеряют мерной лентой или оптическими дально­мерами в прямом D _при обратном D _обрнаправлениях при допу­стимом расхождении их значений на величину не более

 

.

При углах наклона сторон хода, превышающих 2⁰, длины сторон приводят к горизонту d=D cos α.

Неизбежные случайные ошибки в измерении горизонтальных углов и расстояний приводят к ошибкам в определении положе­ния точек теодолитного хода 1, 2, 3,..., N. По мере удаления точек хода от исходных ошибки накапливаются и оказывают наибольшее влияние на определение положения конечной точки хода.

Геодезические работы, выполняемые на местности, называют полевыми, а обработку результатов в поме­щении – камеральными работами.

Полевые работы

Полевые работы по проложению теодолитного хода выполняют в такой последовательности.

1. Рекогносцировка участка – это изучение местности для окончательного выбора положения вершин теодолит­ного хода и привязки к пунктам опорной сети. При рекогно­сцировке руководствуются следующими требованиями:

точки теодолитного хода должны равномерно покры­вать весь участок и располагаться в местах, удобных для производства топографических съемок;

длины сторон хода не должны превышать 350м и быть короче 40м в незастроенной части участка и 20м в за­строенной части территории;

между смежными точками хода должна быть прямая видимость для измерения углов и благоприятные условий для измерения сторон;

местоположение точек поворота хода должно быть выбрано так, чтобы обеспечить сохранность знака на весь период топографических съемок.

После выбора местоположения точки теодолитного хода закрепляются на местности. Закрепление, как пра­вило, осуществляют временными знаками. Наиболее часто используют металлические штыри или трубки и деревян­ные колышки, вбиваемые вровень с землей. Для облегче­ния поиска рядом закрепляют сторожок – деревянный кол, выступающий над поверхностью земли на 20-30см. На сторожке подписывают название точки.

2. Измерение углов хода производят теодолитами 30" точности одним полным приемом. Расхождения в значе­ниях угла между полуприемами не должны превышать 45".

З. Измерение длин сторон осуществляют землемерными лентами или стальными рулетками в прямом и обратном направлениях. Расхождения между результатами не должны превышать 1:2000 измеряемого расстояния, а при неблагоприятных условиях измерений (пашня, болото, кочковатая поверхность и т. п.) – 1:1000.

Для исключения систематических погрешностей в ре­зультаты измерений вводят поправки за компарирование, температуру мерного прибора и наклон линии (см. § 25).

Так как определение температуры не требует высокой точности, то при проложении теодолитного хода вместо температуры мерного прибора обычно измеряют темпе­ратуру воздуха. Если разность температур измерений и компарирования не превышает 8Сº, то поправку за тем­пературу не учитывают, так как она не превышает 1:10000 измеряемого расстояния.

Углы наклона линий измеряют теодолитом одновре­менно с измерением горизонтальных углов. Если угол наклона не превышает 2º, то поправка за наклон состав­ляет менее 1:30000 и в результаты измерений не вво­дится.

Математическая обработка измерения одиночного теодолитного хода. Конечной целью математической обработки измерений теодо­литного хода является вычисление координат его вершин. Ка­меральную обработку результатов измерений начинают с про­верки правильности всех вычислений, выполненных в полевых условиях и записанных в полевых журналах: вычисляют значе­ния углов в полуприема, оценивают допустимость их расхож­дения, вычисляют среднее значение угла, оценивают допусти­мость разности длин сторон, измеренных в прямом и обратном направлениях, и вычисляют средние длины сторон. После про­верки и аккуратного исправления вычислений в полевых жур­налах приступают к увязке углов в теодолитном ходе.

Уравнивание (увязка) углов. Если бы каждый го­ризонтальный угол в теодолитном ходе был измерен безоши­бочно, то сумма измеренных углов хода ∑ β _изм тоже не содер­жала бы ошибки и была бы равна теоретической сумме углов многоугольника. Так как при измерении угла возникают неиз­бежные случайные ошибки, то и сумма углов содержат эти ошибки. Ошибка в сумме углов теодолитного хода называется угловой невязкой хода. Угловая невязка хода f_β равна разности измеренной (практической) суммы углов хода и их теоретической суммы:

 

f_β = ∑ β _изм – ∑ β _теор. (50.1)

 

 

Необходимо вычислить угловую невязку f_β,по ее величине проконтролировать правильность угловых измерений и в каж­дый измеренный угол ввести поправки таким образом, чтобы их сумма стала равной теоретической (безошибочной) сумме.

Вычисление угловой невязки теодолитного хода, оценка ее допустимости и распределение в виде поправок в измеренные углы называется увязкой горизонтальных углов теодолитного хода.

 

 

 

Рис. 66. Схема вычисления дирекционных углов теодолитного хода

 

Для вычисления невязки по формуле (50.1) необходимо вычислить теоретическую сумму углов хода

.

Теоретическую сумму углов определяют в зависимости от формы теодолитного хода.

Для замкнутого теодолитного хода (см. рис. 65, б) теорети­ческую сумму углов определяют как сумму внутренних углов многоугольника

 

= 180⁰(n – 2), (50.2)

где n – число углов.

Для разомкнутого теодолитного хода вычисляют угловую невязку следующим образом. Разомкнутый теодолитный ход (см. рис. 65, а)опирается своей начальной и конечной точками на исходные стороны геодезической сети. Это значит, что из­вестны координаты точек В и С, дирекционный угол α_нач на­чальной стороны АВ и дирекционный угол α_кон конечной стороны CD.

Как следует из рис. 66, а, при измерении правого по ходу угла β ₁ дирекционный угол α ₁ стороны
В – 1 равен α₁ = α_нач + 180º – β ₁.

Аналогичное выражение напишем для дирекционных углов последующих сторон

 

α₁ = α_нач + 180º – β ₁;

 

α₂ = α₁ + 180º – β ₂;

(50.3)

α₃ = α₂ + 180º – β ₃;

………………….

α_кон = α_n-1 + 180º – β _n.

 

Если при вычислении угол α _i окажется больше 360º, тогда из полученного угла надо вычесть 360º, что аналогично вычитанию 180º сразу при вычислении α _i записывается как

 

α _i = α _{i -1} ± 180º – β_i.

 

Сложив почленно равенства (48.3), получим

 

α_кон = α_нач + 180ºn – ,

Предположим, что в углах β нет ошибок, тогда сумму углов , полученную по этой формуле,

можно считать теоретической суммой:

 

= α_нач – α_кон + 180ºn (50.4)

 

При измерении левых по ходу углов (рис. 66, б) можно записать α₁ = α_нач+ β – 180º. Тогда для этого случая формулу (50.4) можно переписать

 

= α_кон – α_нач + 180ºn (50.5)

Итак, угловую невязку теодолитного хода можно вычислить по следующей формуле:

 

f _β = (50.6)

Для разомкнутого хода теоретическая сумма вычисляется по формулам (50.4) и (50.5); Угловая невязка является следствием действия случайных ошибок на величины горизонтальных уг­лов, поэтому ее величина характеризует качество угловых из­мерений. Величина угловой невязки не должна превышать установленной величины – предельной невязки .

Величина предельной невязки в теодолитном ходе определяется соотношением

 

, (50.7)

где m – средняя квадратическая ошибка измерения угла.

Если вычисленная по формуле (50.6) невязка хода не пре­вышает предельного значения, вычисленного по формуле (50.7), то угловые измерения выполнены с достаточ­ной точностью и невязка является допустимой. Если невязка превосходит допустимый предел, то это говорит о наличии в измерениях углов грубых ошибок, которые можно устранить только повторными измерениями.

Угловую невязку f_β распределяют с обратным знаком поровну на все измеренные углы, при этом поправка в каждый угол равна

 

.(50.8)

Если невязка не делится на число углов без остатка, то большие поправки вводят в углы с короткими сторонами.

Вычисление поправок в углы контролируется условием: сумма поправок должна быть равна невязке с обратным знаком.

Если поправки определены правильно, вычисляют исправленные значения углов, так называемые уравненные углы

 

. (50.9)

 

Вычисление дирекционных углов сторон хода выполняют, пользуясь соотношением

 

α _i = α _{i- 1} ± 180⁰ – β_iyy (50.10)

 

при измерении правых углов хода.

Если измерены левые по ходу углы, то как следует из рис. 66, б

 

α _i = α _{i- 1} ± 180⁰ + β_iyy. (50.11)

 

В приведенных формулах для вычислений используется уравненное значение угла β.

Контролем правильности вычисления дирекционных углов в разомкнутом ходе является то, что вычисленное по формулам (50.10) или (50.11) значение дирекционного угла конечной сто­роны хода должно быть равно его заданному значению.

В замкнутом ходе для контроля вычисляют дирекционный угол первой стороны через дирекционный угол конечной сто­роны

 

α₁ = α_кон ± 180⁰ – β _n,

 

где β _n – правый по ходу лежащий измеренный угол.

Вычисленный дирекционный угол должен быть равен извест­ному значению дирекционного угла.

Вычисление и увязка приращений коорди­нат. Вычислив дирекционные углы всех сторон теодолитного хода, и зная горизонтальные проекции их длин, вычисляют при­ращения координат по формулам прямой геодезической задачи и определяют их суммы

 

; . (50.12)

 

Каждое приращение координат Δ x_i и Δ y_i вычислено с некоторой ошибкой, вызванной случайными ошибками в из­мерениях длин сторон и углов хода. Поэтому вычисленные суммы приращений координат и в общем случае не равны теоретическим суммам. Разности вычисленной(практической) суммы приращений по осям X и Y и их теоретической суммы являются невязками по осям координат f_x и f_y

 

;

. (50.13)

Определим теоретическую сумму приращений координат в разомкнутом ходе. В соответствии с формулами прямой геодезической задачи для теодолитного хода на рис. 65, а

 

x ₁ = x _нач + Δ x ₁; y ₁ = y _нач + Δ y ₁;

 

x ₂ = x ₁ + Δ x ₂; y ₂ = y ₁ +Δ y ₂; (50.14)

………………………………..

x _кон = x _n-1 + Δ x _n-1; y _кон = y _n-1 + Δ y _n-1

 

Сложив почленно равенства (50.14), получим

 

x _кон = x _нач + ; y _кон = y _нач + .

Отсюда

= x _кон – x _нач;

= y _кон – y _нач, (50.15)

т. е. теоретическая сумма приращений координат разомкнутого хода равна разности координат конечной и начальной точек хода. Так как в замкнутом ходе конечная и начальная точки совпадают, то формулы для замкнутого хода (50.15) приобре­тают вид

 

= 0;

 

= 0. (50.16)

Вычислив невязки по осям координат f _x и f _y по формулам (50.13) и (50.15) или (50.16), определяют общую линейную невязку хода f_S

f_S = (50.17)

и относительную невязку хода

,

где [ S ] – периметр хода.

Если вычисленное значение f_S не превышает установленного предельного значения, то стороны и углы хода измерены с достаточной точностью, относительная невязка считается допустимой. Если относительная невязка в ходе оказалась не­допустимой, то после проверки вычислений необходимо произ­вести повторные полевые измерения. Перед повторными полевыми измерениями по величине невязки f_S предварительно уста­навливают стороны, в которых сделали ошибки. Вычисляют дирекционный угол направления невязки tg а = f_y/f_x, находят в ходе стороны, имеющие дирекционные углы, близкие к вычисленному значению α, и начинают повторные из­мерения с измерения именно этих сторон.

В случае допустимой относительной невязки, увязывают при­ращения координат. Увязка приращений координат в теодолит­ном ходе состоит в распределении невязок f_x и f_y на все вычис­ленные приращения координат с обратным знаком прямо про­порционально длине сторон d_i. Поправки в приращения координат равны

 

, (50.18)

Контролем правильности распределения поправок является равенство их суммы невязки с обратным знаком

;

 

. (50.19)

Вычисленные поправки вводят в измеренные приращения координат

Δ x_{i ур} = Δ x_{i выч} + V_{Δ xi},

Δ y_{i ур} = Δ y_{i выч} + V_{Δ yi}. (50.20)

и вычисляют уравненные значения координат точек хода по формулам (50.14) с уравненными значениями приращений координат.

Контролем правильности вычисления координат является получение по формулам заданных координат конечной точки хода в разомкнутом ходе и заданных координат началь­ной точки хода в замкнутом ходе.

Вычисление координат точек теодолитного хода производят в специальной ведомости обычно с помощью микрокалькуляторов. Назад