I Механические колебания. Вынужденные колебания. Резонанс

Теория

Колебания – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Колебания, которые совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему, называются свободными (собственными) колебаниями.

Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

Уравнения гармонических колебаний

где А - амплитуда колебаний (максимально значение колеблющейся величины), ω- круговая (циклическая) частота, - начальная фаза в момент времени t = 0, - фаза колебаний в момент времени t; s – сме-щение колеблющейся величины

Период гармонического колебани я – промежуток времени Т, в течение которого фаза колебания получает приращение 2 π или

Частота колебаний – число полных колебаний, совершаемых в единицу времени.

или

Скорость колеблющейся точки -

Ускорение колеблющейся точки -

Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку

Кинетическая энергия

Потенциальная энергия

Полная энергия

Вынужденными колебаниями называются незатухающие колебания системы, которые вызываются действием на нее внешних сил F(t), периодически изменяющихся с течением времени. Сила F(t), вызывающая вынужденные колебания, называются вынужденной силой.

Вынужденными являются колебания силы тока в сети переменного тока, колебания гребных винтов, лопаток и валов турбин под действием периодически изменяющихся внешних сил. Если сила F(t) изменяется по закону , где F₀ -амплитуда возмущающей силы, а -ее циклическая частота, то в системе, на которую действует такая сила, могут установиться вынужденные колебания, которые являются также гармоническими, происходят с циклической частотой, равной частоте вынуждающей силы, и описываются уравнением , где А – амплитуда вынужденных колебаний физической величины (например, смещения), - разность фаз между вынужденными колебаниями x и силой F(t).

Амплитуда А установившихся вынужденных колебаний определяется по формуле:

,

где F₀ -амплитуда вынужденной силы, m – масса колеблющейся системы, - циклическая частота свободных незатухающих колебаний системы, - циклическая частота внешней силы, - коэффициент затухания. При постоянных F₀, m и амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения частот вынужденной силы () и свободных незатухающих колебаний (). График зависимости амплитуды А от при различных коэффициентах затухания, приведены на рис.

 

Анализ формулы для амплитуды А вынужденных колебаний:

а) если циклическая частота вынуждающей силы равна нулю ( =0), то ; при этом колебания не совершаются и отклонение системы из положения равновесия называется систематическим отклонением;

б) при отсутствии затухания ( =0) амплитуда вынужденных колебаний растет с увеличением , и при = , когда знаменатель в формуле для А становится равным нулю, амплитуда колебаний стремится к бесконечности; при дальнейшем росте частоты А уменьшается ;

в) если затухание существует , то амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения при частоте вынуждающей силы, не совпадающей с частотой свободных незатухающих колебаний :

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к значению называется резонансом. Соответственно величина называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости А от - резонансными кривыми.

Явление резонанса используется в акустике для анализа звуков, их усиления и т.д. Под действием периодически изменяющихся нагрузок в машинах и различных сооружениях могут возникнуть явления резонанса, которые иногда бывают опасны для эксплуатации машин.

рис.1

II Маятники

Пружинный маятник – груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы

Пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

где k – коэффициент упругости (жесткость) пружины

Период колебаний

Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющейся под действием силы тяжести.

Приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити.

Период малых колебаний математического маятника

(l - длина маятника)

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

 

III Волны

Среда называется упругой, если между ее частицами существуют силы взаимодействия, препятствую-щие какой-либо деформации этой среды.

Если какое-либо тело совершает колебания в упругой среде, то оно воздействует на частицы среды, прилегающие к телу, и заставляет их совершать вынужденные колебания. Среда вблизи колеблющегося тела деформируется и в ней возникают упругие силы. Эти силы действуют на все более удаленные от тела частицы среды, выводя их из положения равновесия. Постепенно все частицы среды вовлекаются в колебательное движение.

Волнами называются всякие возмущения состояния вещества или поля, распространяющиеся в пространстве с течением времени. Например, звуковые волны в газах или в жидкостях представляют собой колебания давления, распространяющихся в этих средах.

Упругими волнами называются механические возмущения (деформации), которые распространяются в упругой среде. Тела, вызывающие эти возмущения в среде, называются источниками волн (колеблющиеся камертоны, струны музыкальных инструментов и т.д.). Упругие волны называются звуковыми или акустическими, если соответствующие им механические деформации среды имеют малые амплитуды.

Отличие упругих волн в среде от любого другого упорядоченного движения ее частиц состоит в том, что распространение волн не связано с переносом вещества среды из одного места в другое на большие расстояния.

Волновой поверхностью (фронтом волны) называется совокупность точек среды, колеблющихся в одинаковых фазах. На волновой поверхности фазы колебаний различных точек в рассматриваемый момент времени имеют одно и то же значение.

Лучом называется линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением распространения волны. В однородной изотропной среде луч является прямой, перпендикулярной к фронту волны, и совпадает с направлением переноса энергии волны.

В плоской волне волновыми поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к направлению распространения волны. Лучами являются параллельные прямые, совпадающие с направлением скорости распространения волны. Такие волны могут быть получены на поверхности воды с помощью колебаний плоского стержня. На рисунке 2 показаны фронты плоской волны и лучи.

рис. 2

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Например, поперечная волна распространяется вдоль натянутого резинового шара, один конец которого закреплен, а другой приведен в колебательное движение.

 

рис.3

Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходит в направлении распространения волны.

Продольная волна возникает в длинной спиральной пружине, если один конец подвергается периодически внешнему воздействию (см. рис. 4). Упругая волна представляет собой распространяющиеся вдоль пружины последовательные сжатия и растяжения ее, периодически, через время T/2, сменяющие друг друга (T – период внешнего воздействия на пружину).

В газах и жидкостях, которые не обладают упругостью формы, распространение поперечных волн невозможно. В твердых телах возможно распространение как продольных, так и поперечных волн, связанных с наличием упругости формы (например, волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов).

Скоростью распространения волны (фазовой скоростью) называется физическая величина, численно равная расстоянию, которое за единицу времени проходит любая точка волновой поверхности. Вектор скорости направлен по нормали к волновой поверхности в стороны распространения волны и в однородной изотопной среде совпадает с направлением луча.

Скорость распространения энергии волн любой физической природы конечна и не может превысить скорость света в вакууме. Это вытекает из основных утверждений специальной теории относительности. На фазовую скорость эти ограничения не распространяются.

Скорость распространения упругих звуковых волн в газах зависит от термодинамической температуры газа. Для идеальных газов скорость звука

,

где R – универсальная газовая постоянная, T – термодинамическая температура, - молярная масса, - постоянная для данного газа величина, зависящая от строения молекулы газа. Например, для воздуха =1,4 и =20 . При T= 273 К: =330 м/с, при T= 293 К: =343 м/с.

Скорость упругих волн в жидкостях и продольных волн в твердых телах превышает скорость звука в газах и зависит от сжимаемости (упругости) и плотности среды:

,

где K – модуль объемной упругости, - плотность среды.

Например, для воды =1430 м/с, для меди =3910 м/с, для алюминия =4880 м/с.

Фронт волны распространяется от источника волн за время на некоторое расстояние , где - скорость распространения волны. Это означает, что колебания частиц среды, отстоящих на от источника, происходят с запаздыванием по времени на , а по фазе на , причем , поскольку за период Т колебания в источнике фаза изменяется на .

Запаздывание по времени и по фазе колебаний точек среды, удаленных на расстояние x от источника,

^{, ,}

где величина - длина волны. Если , то . Длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе, т.е. со сдвигом фаз . Можно также сказать, что длиной волны называется расстояние, на которое распространяется фронт волны за время T, равное периоду колебаний в источнике волны (см. рис.5)

 

Связь длины волны с частотой колебаний источника волн:

,

где - скорость распространения волн, - частота колебаний в источнике, - циклическая частота. Частота колебаний зависит от свойств источника волн, скорость распространения волн и, вследствие этого, длина волны зависит от свойств среды.

рис. 5

 

Ход работы

 

1. Перечертите таблицу для записи результатов измерений и вычислений.

 

№ опыта	Физическая величина
l, см	N	t, c	T, c	ν, Гц

 

2. Укрепите кусочек резины с висящим на нем маятником в лапке штатива, как показано на рисунке.

При этом длина маятника должна быть равна 5 см, как указано в таблице для первого опыта. Длину l маятника измеряйте так, как показано на рисунке, т.е. от точки подвеса до середины шарика.

3. Для проведения первого опыта отклоните шарик от положения равновесия на небольшую амплитуду (1 - 2 см) и отпустите. Измерьте промежуток времени t, за который маятник совершит 30 полных колебаний. Результаты измерений запишите в таблицу.

4. Проведите остальные четыре опыта так же, как и первый. При этом длину l маятника каждый раз устанавливайте в соответствии с ее значением, указанным в таблице для данного опыта.

5. Для каждого из пяти опытов вычислите и запишите в таблицу значения периода T колебаний маятника.

6. Для каждого из пяти опытов рассчитайте значения частоты ν колебаний маятника по формуле: или . Полученные результаты внесите в таблицу.

7. Сделайте выводы о том, как зависят период и частота свободных колебаний маятника от его длины.

Запишите эти выводы.

 

 

8. Ответьте на вопросы. Увеличили или уменьшили длину маятника, если:

а) период его колебаний сначала был 0,3 с, а после изменения длины стал 0,1 с;

б) частота его колебаний вначале была равна 5 Гц, а потом уменьшилась до 3 Гц?