(5.47)
Модулированное сообщение Е(х,у), полученное при этом, попиксельно суммируется с изображением-контейнером С(х,у) в качестве которого используется полутоновое изображение размером 
. Результатом является стеганоизображение 
при 
Чтобы сделать невозможным искажение уже встроенного бита сообщения, базисные функции должны быть ортогональными:
(5.48)
где 
— количество значащих пикселей в базисной функции; 
— средняя мощность, приходящаяся на пиксель 
; 
-дельта-символ Кронекера.
В идеальном случае, все базисные функции 
должны быть некоррелированными с изображением-контейнером С, то есть должны быть ортогональными к нему: 
. Однако на практике тяжело найти контейнер, который был бы полностью ортогональным ко всем базисным функциям . В таком случае должна быть введена величина погрешности 
, которая учитывается увеличением мощности .
Для эффективного скрытия информации необходимо значительное количество базисных функций, ортогональных к типичным изображениям. Кодирование же изображении выдвигает противоположное требование: идеальным считается небольшое количество базисных функций, которые приблизительно перекрывает всю область изображения. Эти требования вступают в конфликт, когда изображение, содержащее скрытую информацию, подвергается компрессии: идеальная схема компрессии не способна полностью отобразить базисы, которые использовались для скрытия.
Базисные функции могут быть организованы и сравнимы в соответствии с такими свойствами как полная мощность, степень пространственного расширения (или локализации), а также степень пространственного частотного расширения (или локализации) [88].
В случае РСПП модулирующая функция состоит из постоянного коэффициента усиления G (целое число), умноженного на псевдослучайный блок (массив) базисных функций , значений ±1. Каждый массив имеет индивидуальное расположение в 
массиве. Кроме того, массивы являются непересекающимися (то есть заведомо ортогональными друг к другу) и перекрывают -массив без промежутков.
Также будем считать, что все 
базисные функции имеют одинаковое количество значащих элементов 
. В этом случае полную мощность можно записать следующим образом:
(5.49)
На этапе извлечения данных нет необходимости владеть информацией о первичном контейнере С. Операция декодирования заключается в восстановлении скрытого сообщения путем проецирования полученного стеганоизображения S* на все базисные функции :
. 
Значения 
могут быть легко восстановлены с помощью знаковой функции:
(5.50)
Если 
, то скрытая информация была утрачена. При малых значениях средней мощности G2 возрастает вероятность извлечения ошибочного значения бита информации, однако контейнер при этом искажается в меньшей степени.
Основное преимущество стеганографических методов, основанных на расширении спектра — сравнительно высокая стойкость к различного рода атакам на изображение, поскольку скрываемая информация распределена в широкой полосе частот и ее трудно удалить без полного разрушения контейнера. Искажения стеганоизображения увеличивают значение 
, однако до тех пор, пока выполняется условие 
, скрытое сообщение не пострадает.
Приведем пример реализации метода стеганографического скрытия с помощью расширения спектра в программе MathCAD.
Шаг 1
Импортируем изображение-контейнер:
С:= READBMP("C. bmp");
X:= rows(C); X=128;
Y:=cols(C); Y:=128.
Шаг 2
Формируем массив 
ортогональных базисных функций, который должен иметь размерность сигнала-контейнера 
и представлять собой сумму всех базисных неперекрывающихся функций .
Очевидно, что для получения ортогональных базисных функций достаточно провести деление массива на непересекающиеся сегменты, каждый из которых поместить в массив нулевых элементов размерностью 
по соответствующим координатам.
Генерирование массива осуществляется программным модулем (М.89). При этом +1 и -1 чередуются в шахматном порядке. Конечно, при создании более надежной стеганосистемы необходимо выбрать более сложный алгоритм формирования массива ортогональных базисных функций.
Шаг 2
Пусть общее количество базисных функций 
. Размерность значащего подмассива отдельной базисной функции (размерность выделяемого сегмента) определим, исходя из размерности массива и общего количества базисных функций
Формирование массива базисных функций 
осуществим путем выделения соответствующего базисной функции значащего подмассива 
из общего массива и последующего его встраивания на соответствующие позиции нулевого массива размерностью с помощью функции 
. Указанные операции осуществляет программный модуль (М.90)
Для упрощения, нулевой массив формируется умножением на 0 массива . Результат присваивается псевдослучайному элементу массива . Для генерирования ПСП используется программный модуль (M.57) при следующих исходных значениях:
• примитивный полином 8-й степени 
, например, следующего вида; 
, что означает
;
• значение начального состояния регистра s — произвольное целое число из диапазона возможных значений 
Графическое отображение массива и некоторых массивов базисных функций приведены на рис. 5.53.
Рис. 5.53. Графическая интерпретация массивов ортогональных базисных функций
Шаг 4
Рассмотрим степень ортогональности сигнала контейнера С к полученным базисным функциям , для чего воспользуемся программным модулем (М.91).
Результат вычисления модуля (М.91) изображен на рис. 5.54. При выбранном контейнере и алгоритме формирования массива максимальное абсолютное значение погрешности ортогональности составляет 312.
Рис. 5.54. График оценки степени ортогональности массива контейнера С к базисным функциям
Шаг 5
Пусть скрываемое сообщение — М:="© Пузыренко А.Ю., 2005г.". Двоичный объем сообщения составляет 
бит что не превышает общего количества базисных функций 
.
Используя программный модуль (М.92), проведем модуляцию сообщения М базисными функциями (см. формулу (5.47)), предварительно присвоив тем элементам двоичного вектора сообщения, которые имели нулевое значение, значение -1.
Рис. 5.55. Пример модулированного сообщения
Результат модуляции приведен на рис. 5.55. Присутствие на рис. 5.55 полностью черных сегментов 
говорит о том, что некоторые базисные функции не принимали участия в модуляции по причине отсутствия в сообщении бит с соответствующими им индексами. В данном случае количество неиспользованных базисных функций:
Шаг 6
С учетом максимального значения погрешности , проведем вычисление достаточного коэффициента усиления мощности встроенного в контейнер модулированного сообщения: Для этого используем специальный вычислительный модуль решения неравенств (М.93).
Данный модуль открывается директивой Given, после которой следует логическое неравенство, в выполнении которого мы заинтересованы. Функция Find(KG) возвращает минимальное значение переменной КG, предварительно заданной как KG:= 1. позволяющее получить точное решение неравенства. Полученный результат с помощью функции 
округляется до наименьшего целого, превышающего точное решение.
Шаг 7
Принимая во внимание значение коэффициента КG, проводим предварительное нормирование массива контейнера, используя программный модуль (М.94),
Без проведения такой операции весьма вероятны случаи, когда в результате встраивания данных в контейнер значения яркостей отдельных пикселей последнего выйдут за пределы диапазона [0,255]. При этом яркость 
будет вычисляться с помощью функции записи в файл изображения как значение 
А это вызовет ощутимый зрением человека скачок значения яркости через весь диапазон ее изменения и, очевидно, является недопустимым[11].
До нормирования имеем: min(C) =0, mах(С) =255. После выполнения модуля (М.94): min(Cnorm) = 5, max(Cnorm) = 250.
Очевидно, что даже в случае прибавления к граничным значениям яркости пикселя контейнера 
элемента сообщения, модулированного определенной базисной функцией (который может принимать значение 
), яркость пикселя заполненного контейнера 
не выйдет за допустимые пределы (рис. 5.56):
; при этом 
,.
Шаг 8
Для извлечения сообщения должны быть, известны:
• стеганоконтейнер S*;
• размерность контейнера X * и Y*;
• общее количество базисных функций 
;
• конфигурация (в простейшем случае — n*) и алгоритм получения базисныхфункций 
Рис. 5.56 Пустой (С), нормированный (Сnorm) и заполненный при КG=5(S) контейнеры
Программный модуль извлечения скрытого путем расширения спектра прямой последовательностью сообщения — (М.95).
Результат вычисления показателей искажения контейнера сведен в табл. 5.5 (стр. 189).
Более эффективным, по мнению авторов [88], является алгоритм реализации метода РСПП, который заключается в использовании «двойного канала» встраивания: каждая базисная функция 
по заранее оговоренному алгоритму делится на две равные значащие части, которые модулируются последовательностями (-1)(+1) для встраивания "0", и (+1)(-1) для встраивания "1". При извлечении сообщения из контейнера, каждый бит является результатом двойной демодуляции — для случаев (-1)(+1) и (+1)(-1) проводится вычисление значений функции корреляции. Очевидно, что истинное (при идеальном канале связи) значение бита сообщения ("0" или "1") будет определяться большим значением корреляции.
Реализация приведенного алгоритма требует внесения изменений в блоки "(*)" программных модулей встраивания (М.92) и извлечения (M.95). Возможный вариант замены представлен фрагментами программных модулей (М.96), (М.97).
Как на этапе встраивания, так и во время извлечения, для деления значащих элементов базисных функций на два подмножества используется значение переменной-счетчика V, которая в первом случае (см. модуль (М.96)) представлена как вектор.
Таблица 5.5 Показатели визуального искажения в случае скрытия данных методом расширения спектра
| Название показателя искажения | Оригинал | РСПП-1 | РСПП-2 |
| Максимальная разность. МD | |||
| Средняя абсолютная разность. AD | 4.614 | 4.624 | |
| Нормированная средняя абсолютная разность, NAD | 0.031 | 0.032 | |
| Среднеквадратическая ошибка MSE | 31.721 | 31.817 | |
| Нормированная cреднеквадратическая ошибка HMSE | 1.101·10-3 | 1.104·10-3 | |
| Lp- норма, р=2 | 5.632 | 5.641 | |
| Лапласова cреднеквадратическая ошибка LMSE | 0.113 | 0.102 | |
| Отношение "сигнал/шум" SNR | ∞ | 908.381 | 905.628 |
| Максимальное отношение "сигнал/шум", PSNR | ∞ | 2.050·103 | 2.044·103 |
| Качество изображения ІF | 0.998899 | 0.998896 | |
| Нормированная взаимная корреляция NC | 0.986079 | 0.986052 | |
| Качество корреляции СQ | 196.672 | 193.934 | 193.929 |
| Структурное содержание SC | 1.027477 | 1.027529 | |
| Общее сигма-отношение "сигнал/шум" GSSNR | ∞ | 566.540 | 563.058 |
| Сигма-отношение "сигнал/шум" SSNR | ∞ | 103.8 | 103.5 |
| Нормированное отношение "сигма/ошибка" NSER | |||
| Подобие гистограмм HS |
Значения показателей искажения контейнера в случае использования данного алгоритма занесены в табл. 5.5.
