Если в – число элементов множества в разбиении множество А, то частным чисел а и b называется число подмножеств в этом разбиении

Действие, при помощи которого находят частное, называется делением, число а – делимым, число b – делителем.

8 тетрадей раздали по 2 ученикам. Сколько учеников получили тетради. || || || || А n(А)= 8 || || || || n(А)= 2 с=? Первый вид деления связан с разбиением данного множества на равномощные подмножества при условии: дано кол-во элементов в каждом из подмножеств.

8 тетрадей раздали 2-м ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый ученик? || || || || А n(А)= 8 в=2 n(А)= с А~А~А n(А)=? Второй вид деления связан с разбиением данного множества на равномощные подмножества, причем задано кол-во этих подмножеств, а кол-во элементов в каждом из них является искомым. а:в=с а= n(А) в – кол-во подмножеств с = n(А) кол-во элементов в каждом подмножестве

К табличному умножению относят случаи умножения однозначных натуральных чисел на однозначные натуральные числа, результаты которых находят на основе конкретного смысла действия умножения (находят суммы одинаковых слагаемых).

Согласно программе М. И. Моро изучение табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления начинается во втором классе, после усвоения смысла умножения и деления и переместительного свойства умножения. При этом изучение таблицы умножения с числом 2 и 3 распределяется во времени. Тем самым создаются более благоприятные условия для формирования вычислительных навыков.

Таблица действия умножения изучается последовательно с увеличением первого множителя на единицу по программе М. Моро.

Составление каждой таблицы умножения и соответствующих случаев деления ведется примерно по одному и тому же плану, с постепенным усилением доли самостоятельного участия детей в этой работе. При составлении таблиц используются все те приемы, которые были уже усвоены детьми на предыдущих уроках.

Начиная с числа 4, все четыре столбика вводятся на одном уроке.

Каждая таблица состоит из 4-х столбиков.

Первый столбик, он имеет одинаковый первый множитель и называется так каков он. (2,3,4..)

Его теоретической основой является – конкретный смысл действия умножения.(2·4 заменяем 2+2+2+2)

Второй столбик имеет одинаковый второй множитель и называется умножением на 2,3,4,5…

Теоретической основой является переместительный закон умножения.

Третий столбик – деление, где делитель одинаковый. Называется третий столбик деление на…

Четвертый столбик имеет одинаковое значение частного (8:4=2, 18:9=2)

Теоретической основой третьего и четвертого столбика является взаимосвязь между компонентами и результатом действия умножения. 2·9=18

18:2=9

18:9=2

Из четырех столбиков главным является первый столбик и учащиеся должны этот столбик заучить наизусть.

Процесс запоминания таблицы будет успешным, если учащиеся осознают принцип составления таблицы, принцип получения результата и на основе, какого теоретического материала составляются таблицы.

Теоретическим материалом является взаимосвязь между компонентами и результатом действия умножения, компоненты дейстия умножения и деления, конкретный смысл умножения и деления.

Начинается работа по изучению каждого случая таблицы умножения и деления (с числом 2, 3 и т. д.) с составления таблицы по постоянному первому множителю. При таком подходе в большей мере используется хорошо усвоенный детьми смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых. Дети легко устанавливают связь каждого следующего примера из таблицы с предыдущим. Уже здесь с самого начала (начиная с изучения таблицы умножения двух) полезно использовать для получения результата переместительное свойство произведения. Так, скажем, вместо того чтобы складывать 9 раз по 2, вычисляя произведение 2*9, можно заменить этот пример другим: 9*2 -- и найти результат так: 9+9=18.

Каждая составляемая впервые таблица умножения того или иного числа должна возникать на глазах у детей, чтобы они уловили и принцип ее составления. Таблица записывается на доске столбиком, затем по отношению к каждому из примеров составляется соответствующий ему пример, получаемый перестановкой множителей, и два примера на деление. С такой работой дети тоже уже хорошо знакомы. Часть работы, поэтому можно выполнить под руководством учителя, а остальную -- поручить детям проделать самостоятельно. Эта работа должна обязательно дублироваться на доске, чтобы в тетрадях оказались правильно записанные таблица умножения и соответствующие таблицы деления.

Каждая новая таблица начинается со случая умножения двух одинаковых чисел (например, при изучении умножения четырех: 4*4), так как все предыдущие случаи умножения данного числа являются уже известными -- они могут быть получены в рассмотренных ранее таблицах, если переставить множители,, поэтому количество строк по мере увеличения множителя уменьшается.

В итоге после рассмотрения каждой таблицы выписывать отдельно те новые случаи из данной таблицы, которые должны быть усвоены на память. Таких случаев всего 36.

При составлении таблиц полезно использовать наглядные пособия. Это могут быть карточки с изображенными на них парами, тройками и т. п. предметов; «числовые фигуры»; разбитые на равные квадраты прямоугольники; квадратный дециметр, разбитый на квадратные сантиметры, и вырезанный из картона угол, с помощью которого можно отделить заданное число квадратных сантиметров на этом пособии.

После рассмотрения каждой таблицы умножения и соответствующих случаев деления на всех следующих уроках должна проводиться систематическая работа по запоминанию таблиц. Установка на запоминание должна быть с самого начала задана детям. Случаи, которые должны быть усвоены на память, каждый раз выписываются не только в ходе классной работы, но и дома на специально отведенной для этого странице тетради.

Первые приемы составления таблиц умножения связаны со смыслом действия умножения. Результаты этих таблиц получают последовательным сложением одинаковых слагаемых.

Например: Умножение числа 2

Вычисли и запомни:

2 + 2 2 * 2

2 + 2 + 2 2 * 3

2 + 2 + 2 + 2 2 * 4

При значении второго множителя больше 5, удобнее использовать для получения результатов табличных значений другой прием: прием прибавления к предыдущему результату.

Например: Вычисли и запомни:

2*6 = 2*5 + 2 =...

2*7 = 2*6 + 2 = …

2*8 = 2*7 + 2 = …

Аналогичным образом составляется таблица значений умножения числа 3.

Следующим приемом, на основе которого составляются таблицы значений умножения чисел, является прием перестановки множителей.

Этот прием фактически является первым математическим законом относительно действия умножения в начальной школе: От перестановки множителей произведение не меняется.

Способ знакомства детей с этим правилом (законом) обусловлен ранее введенным смыслом действия умножения. Используя предметные модели множеств, дети сосчитывают результаты группировки их элементов разными способами, убеждаясь, что результаты не меняются от изменения способов группировки. прием перестановки множителей. 2*3=6 3*2=6.

Во 2-м классе не обобщаются все табличные случаи с числами 2 и 3, каждый из них рассматривается как отдельный столбик и целостного представления о табличном умножении и делении во 2 классе не складывается.

Систематическое изучение табличных случаев умножения и деления на усвоенной методологической базе происходит в 3 классе, практически всю 2 четверть.

В системе Л.В. Занков а первым шагом в составлении таблицы умножения является выделение из таблицы сложения сумм, в которых сложение можно заменить умножением.

Таким образом, первый столбик таблицы умножения объединяет все случаи умножения однозначных натуральных чисел на число 2:

2 x 2 = 4
3 x 2 = 6
4 x 2 = 8
В дальнейшем величина второго множителя последовательно увеличивается от столбика к столбику, пока не достигнет 9.

Такой подход к составлению таблицы умножения является более предпочтительным и потому, что после сокращения составленной таблицы на основе переместительного закона умножения и использования особых случаев этого действия оставшаяся для заучивания часть таблицы легче запоминается детьми, так как по мере увеличения второго множителя число равенств, оставшихся в таблице, сокращается. Табличное деление выполняется учащимися на основе использования таблицы умножения и взаимосвязи между этими действиями.

Таким образом, в системе Л.В. Занкова таблицы умножения и деления составляются по второму постоянному множителю до изучения необходимой теории, после чего происходит постепенное сокращение числа равенств, необходимых для заучивания.

Интересный подход предлагают нам авторы учебника математики А.М. Захарова и Т.И. Фещенко: целесообразно начать конструирование таблиц умножения с тех, в которых связь обнаруживается в наиболее явном виде (таблицы умножения 9, 2, 5 и 6). Таблицы умножения 4, 8, 3 и 7 следует сконструировать, опираясь на сочетательное и распределительное свойства умножения. Поскольку результаты табличного умножения оказываются прямым продуктом действий учеников, создаются предпосылки для их продуктивного непроизвольного запоминания, что снимает необходимость в специальном заучивании таблиц. Авторы учебника очень разумно показывают не только, как можно получить результат, но и как его можно запоминать. В данном учебнике принята последовательность:

9 · а, 2 · а, 5 · а, 3 · а, 4 · а, 6 · а.

Начинать составление таблиц умножения с изучения умножения числа 9 имеет смысл. Именно здесь важно обратить внимание детей, как можно получить каждый результат, показать различные способы рассуждений.

9 · а =

9 · 2 = 9 · 1 + 9 = …

9 · 3 = 9 · 2 + 9 = …

9 · 4 = 9 · 3 + 9 = …

Теперь можно предложить ученику не только вариант осознанного запоминания таблицы, но и прием: при умножении числа 9 на однозначное число большее 1, получится:

а) двузначное число;

б) количество десятков на 1 меньше, чем дугой множитель;

в) количество единиц равно дополнению количества десятков до 9, или сумма числа в разряде единиц и второго множителя равна 10.

Таблица умножения 9 составлена.

Аналогично рассматривается умножение числа 2. Подробно останавливаться на этом случае не будем, т.к. эта таблица запоминается детьми быстро, без труда.

Дети могут заметить интересное в последовательности однозначных чисел на “двойку”.

Первые четыре значения в таблице 2, 4, 6, 8. Они повторяются в разряде единиц в последних четырех значениях. Они стоят “через один” в числовом ряду: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Интересные выводы могут получить дети, анализируя таблицу умножения 5:

а) при умножении числа 5 (на 5) получится 5 или двузначное число:

б) если получается двузначное число, то в разряде единиц стоит 0 или 5 (последняя цифра произведения 0 или 5).

Следовательно, при умножении на 5 не может получиться 34, 83, 44, 27 и т.д.

Для того чтобы дети лучше запоминали табличные случаи умножения, необходимо создать такую ситуацию, когда именно ученику будут необходимы эти знания.

Рассмотрев подходы к изучению темы «Табличное умножение и деление», я могу сделать вывод, что М. И. Моро в своём учебнике больше делает ставку на наглядно образное мышление детей; у Н. Б. Истоминой же опора в большей степени идет на логическое мышление.

Занимательное о таблице умножения на 9. (но детям лучше об этом рассказать после того, как они выучат таблицу умножения).В тетради по математике (автор Л. Г. Петерсон) описан способ умножения на 9 на пальцах. Положить все 10 пальцев веером перед собой ладошками вниз и загадать число, которое хочешь умножить на 9. Например, 8. Найти 8-й по счету палец (считать от левого мизинца до правого): слева от этого [т.е. восьмого ] пальца будут семь пальцев, это — число десятков, справа от него будут 2 пальца — это единицы. Итак: 9х 8 = 72.Например, девять умножить на три. Приподнимем (или согнем) третий палец – получается, что слева от разделителя 2 пальца, а справа – 7. Ответ – двадцать семь.

Для запоминания таблицы умножения существуют такие приемы как:

- прием счета двойками, тройками, пятерками;

- прием последовательного сложения – основной прием получения результатов табличного умножения. Данный прием связан со смыслом действия умножения как сложения одинаковых слагаемых;

- прием прибавления слагаемого к предыдущему результату (вычитания из предыдущего результата).

- прием взаимосвязанной пары: 2*6 6*2 (перестановка множителей);

- прием запоминания последовательности случаев с ориентиром на возрастание второго множителя;

- прием «порции»;

- прием запоминающегося случая в качестве опорного. Например, 5*6 =30, значит 5*7 =30+5 =35;

- прием внешней опоры; В качестве опоры используется рисунок или прямоугольная таблица чисел. Детям, которые обладают плохой механической памятью, можно па первых порах предложить использовать клетчатое поле тетради. Обводя на клетчатом поле прямоугольник с заданным количеством клеток в сторонах, ребенок использует эту модель для контроля полученного результата или просто подсчитывает клетки как умеет. Например:
4 * 5 = 20

- прием запоминания таблицы «с конца»;

- пальцевый счет при запоминании таблицы умножения. Например, нужно умножить 6 на 7. Зажимаем пальцы на обеих руках в кулак, а затем на каждой руке отгибаем столько пальцев, на сколько каждый множитель больше, чем пять. На двух руках отогнуто три пальца - это число десятков в искомом числе. На одной руке остались прижатыми к ладони три пальца, на другой — четыре пальца. Эти числа перемножаем 3 * 4 = 12 и прибавляем к числу имеющихся десятков. 30 + 12 = 42. Ответ: 6 * 7 = 42.

Действие деления рассматривается в начальной школе как действие, обратное умножению.

Приемы запоминания таблицы деления

Приемы запоминания табличных случаев деления связаны со способами получения таблицы деления из соответствующих табличных случаев умножения.

- прием, связанный со смыслом действия деления. При небольших значениях делимого и делителя ребенок может либо произвести предметные действия для непосредственного получения результата деления, либо выполнить эти действия мысленно, либо использовать пальцевую модель.

- прием, связанный с правилом взаимосвязи компонентов умножения и деления. В этом случае ребенок ориентируется на запоминание взаимосвязанной тройки случаев, например:

3*7 =21 21:7 =3 21:3 =7

Если ребенку удается хорошо запомнить один из этих случаев (обычно опорный — это случай умножения) или он может получить его с помощью любого из приемов запоминания таблицы умножения, то, используя правило «если произведение разделить на один из множителей, то получится второй множитель», легко получить второй и третий табличные случаи.

Таким образом, первый этап методической деятельности учителя по подготовке урока довольно объемен по содержанию. Результатом этой деятельности стало, во-первых, уяснение темы урока и его места в ряду др. уроков, во-вторых, актуализация собственных методических и математических знаний рамках темы.

Продуктом работы на втором этапе стал проект урока по теме «Таблица умножения и деления на 5»

Тема: Таблица умножения и деления на 5

Цели: формировать представления учащихся о умножении и делении чисел на 5

Задачи: 1. Познакомить уч-ся с таблицами умножения и деления на 5.

2. Отрабатывать решение задач, на увеличение и уменьшение на несколько единиц и в несколько раз, в прямой и косвенной форме.

3. Развивать логическое мышление, математическую речи, аккуратность при решении задач в тетрадях.

Тип урока: комбенированный

Оборудование: карточки для устного счёта; карточки – помощники; веер с цифрами, лист с задачами, с кодом для работы в паре; рисунок с изображением Карлсона.

 

Деятельность учителя. Вопросы.

Деятельность учащегося. Предполагаемые ответы.

І. Орг. момент. Цель: настроить детей на предстоящую работу Методы и приемы: словесный (1 минута).   Все расселись по местам, никому не тесно, По секрету скажу вам: «Будет интересно! Будем мы считать, писать, и решать задачи, Чтоб сегодня, как всегда, в руки шла удача. ІІ. Актуализация знаний. Цель: провести устный счет, подводящий к изучению новой темы; повторить имеющиеся ЗУН. Устный счёт направлен на повторение табличных случаев умножения и деления изученных на предыдущих уроках, которые являются основой для изучения новой темы урока и познавательной активности. (10-15 минут) Методы и приемы: словесный, беседа, наглядный, практический. - Сейчас у нас урок математики. А кто придёт к нам в гости, вы узнаете, когда сделаете задание № 1 на ваших листах. Работаем в парах.     С 9 х 4     А 80 - 68     Л 15+18     Н 64+27     К 27: 9     О 92 -45     Р 9 х 2         К А Р Л С О Н                                       Молодцы. Это к нам прилетел Карлсон. Но он болен. А какое лекарство помогает ему при болезнях?   Тогда помогите ему составить выражения для задач. а) На одной полке а банок варенья, а на другой - на 5 банок больше. Сколько банок варенья на второй полке?.   б) На одной полке а банок варенья. Это на 5 банок больше, чем во второй полке. Сколько банок варенья на второй полке? в) На одной полке а банок варенья, а на другой - в 5 раз больше. Сколько банок варенья на второй полке?   г) На одной полке а банок варенья. Это в 5 раз больше, чем на второй полке. Сколько банок варенья на второй полке? Для каждой задачи ответьте на вопрос: «Сколько банок варенья было на двух полках?» Что такое а? Давайте подставим число 3 к выражению а + а + 5 и узнаем, сколько банок варенья достанется Карлсону.   Данное задание готовит уч-ся к изучению таблицы умножения на 5, с помощью составления выражения с суммой одинаковых слагаемых.