Некоторые свойства параллелепипеда

1. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны, и равны.

Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда, например А1А2А'2А'1 и A3A4A'4A'3. Так как все грани параллелепипеда - параллелограммы, то прямая A1A2 параллельна прямой А4А3, а прямая А1А'1 параллельна прямой А4А4'. Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней параллельны.

 

Из того, что грани параллелепипеда - параллелограммы, следует, что отрезки А1А4, А1'А4', A'2A'3 и A2A3 - параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань А1А2А'2А'1 совмещается параллельным переносом вдоль ребра А1А4 с гранью А3А4А'4А'3. Значит, эти грани равны.

Аналогично доказывается параллельность и равенство любых других противолежащих граней параллелепипеда. Теорема доказана.

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Доказательство.

Рассмотрим какие-нибудь две диагонали параллелепипеда, например А₁А'₃ и A₄A'₂ (рис. 14). Так как четырехугольники А₁А₂А₃А₄ и A₂A'₂A'₃A₃ - параллелограммы с общей стороной A₂A₃, то их стороны А₁А₄ и A'₂A'₃ параллельны друг другу, а значит, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскости противолежащих граней параллелепипеда по параллельным прямым A₁A'₂ и A₄A'₃. Следовательно, четырехугольник A₄A₁A'₂A'₃ - параллелограмм. Диагонали параллелепипеда A₁A'₃ и A₄A'₂ являются диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересекаются и точкой пересечения О делятся пополам.

Аналогично доказывается, что диагонали A1A'3 и A2A'4, а также диагонали A1A'3 и A3A'1 пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.

3. Сумма квадратов всех диагоналей прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов всех его ребер,

то есть:

d₁² + d₂² + d₃² + d₄² = 4b² + 4c²

 

 

4. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

 

d² = a² + b² + c²

Доказательство:

Так как AA1 перпендикулярно к основанию ABCD, то угол AA1C прямой. Из прямоугольного треугольника AA1C по теореме Пифагора получаем:

 

A₁C² = AC² + AA₁²

но AC – это диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC²=AB²+AD². Кроме того, AA1=CC1, следовательно, A₁C²=AB²+AD²+CC₁². Теорема доказана.

 

Диагонали прямого параллелепипеда вычисляются по формулам:

 

d₁² = a² + b² + c² + 2ab cos ά

d₂² = a² + b² + c² - 2ab cos ά

 

 

5. В параллелепипед можно вписать тетраэдр.

Объем такого тетраэдра равен 1/3 части объема параллелепипеда.

 

V = 1/6 d₁d₂ p(d₁,d₂) sin (d₁,d₂)

 

Площадь боковой поверхности (или просто боковая поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма площадей всех ее боковых граней.

Площадью полной поверхности (или просто полная поверхность) призмы (параллелепипеда) называется сумма ее боковой поверхности и площадей оснований.

Объем параллелепипеда равен произведению высоты на площадь грани, к которой она проведена:

V = H₁ S₁

Объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда находится по формулам:

 

V = a b c, S_полн = 2 (ab + ac + bc)

Кубом называют прямоугольный параллелепипед, все двенадцать ребер которого равны.

Все шесть граней куба – равные квадраты.

Диагональ куба рассчитывается по формуле d = a√3.

Объем и площадь поверхности куба выражаются так: V = a³, S_полн = 6a²

 

 

5. Теорема Эйлера о многогранниках

Теорема Эйлера:

Если В – количество вершин многогранника, Г – количество граней, а Р – количество ребер, то В + Г = Р + 2.

Пусть Г_k обозначает количество k-угольных граней многогранника, В_k – количество вершин, из которых исходит k ребер. Тогда

3Г₃ + 4Г₄ + 5Г₅ + … = 3В₃ + 4В₄ + 5В₅ + … = 2Р

Для любого многогранника верны неравенства:

 

 

Другие факты.

1. Всякий многогранник имеет хотя бы одну вершину, из которой исходит не более 5 ребер, а также грань, в которой не более 5 ребер.

 

2. В любом многограннике есть хотя бы одна треугольная грань или хотя бы один трехгранный угол.

 

 

3. Не существует многогранника, у которого ровно 7 ребер. Число 6 и любое целое число n 8 могут быть количеством ребер выпуклого многогранника.

 

4. Для всякого выпуклого многогранника имеют место неравенства:

 

5. У любого многогранника есть по крайней мере две грани с одинаковым количеством сторон.

 

6. Во всяком выпуклом многограннике сумма плоских углов всех граней вдвое больше суммы углов выпуклого многоугольника, имеющего то же число вершин.

 

Если на каждой грани выпуклого многогранника выбрать по одной внутренней точке и соединить ребрами те из выбранных точек, которые лежат на смежных гранях, то получится новый многогранник, называемый сопряженным с данным. Количества вершин, ребер и граней данного и сопряженного многогранников связаны соотношениями В*=Г, Г*=В, Р*=Р.

Задача 1. Проверить теорему Эйлера для выпуклого многогранника с вершинами в серединах ребер куба.

Решение. Количество вершин нашего многогранника равно количеству ребер куба, то есть В=12.

Далее, многогранник имеет 8 треугольных граней (столько, сколько вершин у куба) и 6 четырехугольных граней (на каждой грани куба одна грань нашего многогранника). Следовательно, Г=8+6=14. Наконец, число ребер равно: Р=1/2 х (8х3+6х4)=24.

Имеем: 12+14=24+2.

 

Задача 2. Привести пример какого-нибудь многогранника, у которого 9 вершин и 7 граней.

Решение. Возьмем какой-нибудь многогранник с близкими значениями чисел В, Р, Г. Например, куб - у него В=8, Г=6.

Заметим, что если срезать куб так, как показано на рисунке, то получится многогранник с требуемым количеством вершин, ребер и граней.

 

 

Задача 3. Найти все значения, которые может принимать количество граней многогранника с 10 вершинами.

Решение. Пусть n1 – количество i-угольных граней многогранника. Тогда

n₃+n₄+n₅+… =Г

3n₃+4n₄+5n₅+… =2P 3B

Следовательно, n₃+n₄+…=10, 3n₃+ 4n₄+…=2Р 30

Таким образом, Р 15. Так как В+Г=Р+2, то 10+Г 15+2, откуда Г 7.

С другой стороны, 2Р=3n₃+4n₄+5n₅+… 3(n₃+n₄+…)=3Г, то есть Р 3/2Г.

Далее получаем: В+Г 3/2Г+2, откуда Г 16. Итак, 7 Г 16.

Нарисуем многогранник, у которого В=10,Г=7 (это наименьшее количество граней). Для этого «срежем» у куба одну из его вершин, как показано на рис.2.91.

Далее поднимаем вершину С, сделав «надлом» грани ABCD по прямой BD, а затем «спускаем» вершину С1, «надламывая» грань A1B1C1D1 по прямой B1D1. Мы получаем многогранники с Г=8 и Г+9. Многогранник с В=10, Г=10 – это девятиугольная пирамида.

«Надламывая» диагонали ее основания, будем получать многогранники, у которых В=10, а Г=11, 12, 13, 14, 15, 16. Таким образом, мы получаем, что количество граней может быть равно 7,8,9, …, 16.

 

Подобие многогранников

 

Два многогранника называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее один многогранник в другой.

 

Подобные многогранники имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными.

 

У подобных многогранников двугранные углы равны и одинаково расположены, а сходственные ребра пропорциональны.

 

Кроме того, справедливы следующие теоремы:

 

Теорема 1. Если в пирамиде провести секущую плоскость параллельно основанию, то она отсечет от нее пирамиду, подобную данной.

 

Теорема 2. Площади поверхностей подобных многогранников относятся как квадраты, а их объемы – как кубы сходственных линейных элементов многогранников.

 

 

Правильные многогранники

 

Многогранник называется правильным, если все его грани – равные друг другу правильные многоугольники, к каждой вершине примыкает одинаковое количество граней и двугранные углы между смежными гранями одинаковы.

 

Теорема. Существуют ровно пять правильных выпуклых многогранников. (Их называют также телами Платона).

Это тетраэдр (№ 1), гексаэдр (куб) (№ 2), октаэдр (№ 3), додекаэдр (№ 4), икосаэдр (№ 5)

Доказательство.

По формуле Эйлера: В + Г = Р + 2. Найдем число Р. Во – первых, в каждой грани n ребер, поэтому общее число ребер Р равно nГ. Учитывая, что каждое ребро мы при этом считаем дважды, получаем 2Р=nГ. Следовательно, Г=2Р/n. Во – вторых, в каждой вершине сходится k ребер, поэтому аналогично предыдущему случаю: 2Р=kB. Следовательно, В=2Р/k. Подставляя в формулу Эйлера полученные выражения для Г и В, получим: 2Р/n + 2Р/k = Р + 2, откуда

 

Полученное равенство возможно лишь в случае, если

Учтем, что n 3, k 3. Простым перебором убеждаемся, что возможны только следующие случаи:

(1) n=3; k=3, k=4, k=5 (2) n=4;k=3 (3) n=5, k=3

Следовательно, возможные варианты для (n,k) исчерпываются следующими: (3;3), (3;4), (3;5), (4;3), (5;3).

 

Примечание: тетраэдром называют также произвольную треугольную пирамиду.

Среди выпуклых многогранников еще выделяют полуправильные многогранники (тела Архимеда), гранями которых являются правильные многоугольники, но уже не обязательно равные, например правильные призмы и пирамиды.

Основываясь на том, что многогранник – совокупность плоских многоугольников, и каждая сторона одного из многоугольников является стороной еще только одного многоугольника, называемого смежным с ним (по этой стороне), рассматривают также невыпуклые (звездчатые) правильные многогранники, получившие общее название тел Пуансо.

Сводная таблица параметров правильных

Многогранников

 

Введенные обозначения: a – ребро многогранника, Г – количество граней, В – количество вершин, Р – общее количество ребер, φ₁ – угол, под которым ребро многогранника видно из центра описанной сферы, φ - угол, между смежными боковыми гранями, R – радиус описанного шара, r – радиус вписанного шара, S – площадь поверхности, V – объем.

 

Заключение

 

Если мы хотим построить загородный дом, отражающий нашу индивидуальность, конечно, это возможно, но лучше посоветоваться с архитектором, обладающим знанием основ строительства и прекрасным пространственным воображением. Тогда наш особняк будет не только поражать своеобразием геометрических форм, но, что самое главное, будет прочно стоять на земле. То же самое относится к профессиям дизайнеров (например, для гоночного автомобиля не подойдет форма трактора, и наоборот), модельеров (знание свойств ткани позволяет скрыть недостатки фигуры или подчеркнуть красоту линий силуэта), ювелиров (для разных драгоценных камней требуются различные способы огранки, чтобы подчеркнуть их природную красоту). Принципы стереометрии можно проследить на некоторых физических и химических моделях. Например, кристаллы имеют форму геометрических тел, поверхности которых составлены из многоугольников. И такие поверхности называются многогранниками, простейшим из которых является куб.

Для начала посмотрим на это с точки зрения психологии. С самого рождения и до 2 лет, ребенок не может воспринимать предметы объемные, а видит только одну сторону, несмотря на то, что мы живем в трехмерном пространстве. Если от ребенка спрятать игрушку, он будет считать, что она пропала. Поэтому, когда мама уходит, дети начинают искать ее и пугаться, что она исчезла. Сами они не могут догадаться, что игрушка под подушкой, а мама просто вышла за дверь.

Психологами был проведен опыт. На стол поставили макет горы, задачей детей было нарисовать ее с той стороны, с которой они ее видят. С этим заданием все справились великолепно, но, когда их попросили нарисовать гору со стороны соседа, они нарисовали то же самое, что и в первый раз. Отсюда вывод - наше подсознание, наш мозг не способны воспринимать вещи в полном объеме до определенного возраста, вот почему стереометрия преподается в старших классах.

Итак, я попытался проанализировать роль стереометрии с социальной, математической и психологической позиций. Совершенно очевидно, что без стереометрии человек не сможет в реальном пространстве представить себе окружающий мир.

Оглянитесь вокруг, и вы увидите, как наш мир прекрасен. И согласитесь, что с утра действительно приятно посмотреть на себя в зеркало.

 

 

 

Список литературы:

 

 

1. Геометрия для школьников и абитуриентов. Полный справочник. Гусев В.А., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А. – М.: Махаон, 2006 г. – 320 с.

 

2. Большой справочник школьника, 3-е издание. – М.: Дрофа, 2000 г.. – 1104 с.

 

3. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. – 11 издание. – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2002 г. – 206 с.

 

4. Геометрия в таблицах. Справочное пособие для 7-11 классов, Звавич Л.И., Рязановский А.Р. – 11 издание. –М.: Дрофа, 2006 г. – 124 с.

 

5. Геометрия. Словарь-справочник. 7-11 классы. Смолякова Н.В. – М. «Издат-школа 2000 г.» - 240 с.

 

6. Элементарная геометрия. Том. 2. Стереометрия, преобразование простарства. Панарин Я.П. – МЦНМО, 2006 г. – 256 с.

 

7. Геометрия. Стереометрия. Задачник. 10-11 классы. Шарыгин И.Ф. – М.: Дрофа, 2000 г. – 272 с.