loger (, ), , , . , , , , , .
, , - . . . , , . , , , .
. ? , . . , . .
( , - ) . , , , , , , ( ) , , , , , . , . , .. , .
- , . , , 1915 . . , ( , .. 1934 .), . , , , , , [7]. .
|
|
. y(t) t, t > 0. , .. y(t) > 0 t. , .. t0 = 0, t1, t2, Q0, Q1, Q2, . , y(t) (.1), , .
. 1.
, ti y(t) Qi. , y(t) t1, t2, , .
s . , y(t) (t;t+dt), dt , .. , sy(t)dt. , [0; T), T , ( s) y(t)
g . , . , g+g1Q, Q , , . , , g+g1Q+ g2Q2 Q.
n(T) , [0; T). t = 0 t = T ( ). gn(T). , (, ) T
, y=y(t) 0 < t<T. . , F(T;y) T , .
, , . , .
(), , , . , .
, y=y(t) 0 < t<T. y=y(t), 0 < t<T, (.1) . , . t0 = 0, t1, t2, Q0, Q1, Q2, , fT(y) . (.. ) - ( ), s ( ), g ( ), ( ).
|
|
, 2 n(T)- 1 , . .
. , , , .. 0 . , . , .
. . , 0 (.. y(t) = 0) , .
1. , , , .
, , . t1 Q1 0, ( y(t) t1). , t = 0 t = t1. , Q0 Q01 = Q0 - y(t1-), Q1 Q11 = Q0 + y(t1-). (0; t1), 0 t1, t1. , , , ( s) , (0; t1) (. .2).
. 2.
, , . , t = 0 t = t1. , , t2 .
, . . , ( ). , , , ( ).
1 , . , , , .
2. , .
. , .
:
, Qi-1 ti-1, ti .
|
|
, - , . ,
n = n(T).
, .
,
. , 0, 0, ..
. , 2 .
.
( ) :
, . n(T) .
, T , , . ( - ):
,
( ) Q:
(1)
f1(Q) Q. ,
f1(Q), Q >0. 0 , .
(2)
, , 0, ..
(3)
. , Q0. , , .. . ,
n ,
(4)
3.
Q1, Q2.
, Q0, Q2, Q0, Q1. , (2) Q0 Q0, , f1(Q) Q0 Q0. , Q = Q2, - Q = Q1 3.
, .
1. Q0 (3).
2. n (4).
3. f1(Q) (1) Q = Q1 Q = Q2, Q1 Q2 (4).
4. f1(Q1) f1(Q2) , Q1 Q2, . Qopt.
, Qopt.
. f1(Q1) = f1(Q2), Q1 Q2. .
|
|
1. , . 1 5 . 1 . 50 . 980 . 10 . .
=5 (/), s =50 (./.), g =980 (./), = 10 (). (3)
Q
, Q1 = 12,5 Q2 = 16,67. , .
f1(Q1) < f1(Q2), Qopt = Q1 = 12,5. , .
, Q=Q0. ?
Q=Q0 . , t0 = 0; t1 = 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4. =10, t4 = 11,2. , . =10 10 8,4 = 1,6 , , 14 8 = 6 . Q=Q0 , =10.
Q=Q0. . 58,8. t3 = 8,4 =10, .. 14 6 . 10 8,4 = 1,6, , 58,8 + 16 = 74,8, .
10 4 ( t0 = 0; t1 = 2,8; t2 = 5,6; t3 = 8,4), , . 10 3740+3920 = 7660 ., 766 . 766/704,5 = 1,087 , .. 8,7%.
,
.. , . , - 4,5 ., .e. 0,64%. (12,5 ) Q0 = 14 1,5 , .. Qopt / Q0 = 0,89 11%. f1(Q). , Q0 f1(Q) , 0.
f1(Q0) . ? , . ,
, , , .
Q=Q0 .
.
:
,
(.. g) , .
. , Q=Q0 , , ..
(5)
. . , [0; T ].
? ( = 0), . . (1) . . . , . (2) , ( ). ..
, . , , . . , [7, 13]. , .
|
|
, . , Q0. y0(t), , Q0. , [0; T). , [0; T) . , , , , . [7].
, ( , (5)). , , . , . , 1 2 , y0(t), , , [0; min { 1, 2 }).
. ,
yopt(T) [0; T).
, , - yopt(T), [0; T), f(T;y) - .
1. y = y0 .
, y0 (t),0 < t < T, Q0, , . , , [0; T) , .
. [7] , ( ) .
.
(6)
. n ,
Tf(T; yopt (T)) - (0; ) (0; nQ0/) (0; ) , , , ( ), , ..
Tf(T; yopt (T)) > .
, .. (0; nQ0/), 0, 0(nQ0/),
>
( f(T; y) , nQ0/). ,
Tf(T; yopt (T)) > . (7)
(0; ) (0; (n + 1)Q0 /) 0, ,
Tf(T; y0 (T)) <
,
Tf(T; y0 (T)) < (8)
(7) (8) ,
→ ∞, , (6), 1. , 0 .
. f(T; y0 (T)), ( ). .
T = tk + ε, tk (k +1)- , ε > 0. , ,
, ( ) T = tk, k = 1, 2, , tk . , . , tk, tk, {1+1/(2 k)} . ( ) , 1 () tk+1 . , {1+1/(2 k +2)}. ..
1,5 ( 50%), 1,25 ( 25%), 1,167 ( 16,7%), 1,125 ( 12,5%), 1,1 ( 10%), .. , , . , . 0,5%.
. , Q0, (3). , . , ( ) , , , , .., Q0 , , .
Q, Q0, . . ,
,
Q - .
(9)
.
2. Q = 0,9 Q 0.
, 10% 0,56%.
3. Q 30%. ?
(9) , Q = 0,7 Q 0.
, 6,43%.
, Q ( 10%) . . , , , , . , , - , . . ..
1. , . , g (x), . 0. -
0 ( )
, ( ( - 0)2)
(10)
, .
= 0 + ε,
g (x) - g (x 0) = ε2,
. f1(Q) g (x). (10) ,
. f 1(Q).
,
,
. (9) , Q Q 0.
. , , - , . , . - [5, 7]. .
, , g, s * = + Δ, g * = g + Δ g, s * = s + Δ s. ,
. (9) (10) (Δ Q)2 ( ).
Δ Q :
(11)
( ).
Δ , [7], , [5]. g s . , . g s . , [7].
2. , . , . [7] . .
Δ g Δ s , , g s, , . , (11). ,
(12)
, .
(12) , . , (12) , , . , .
. . .
, , .. . , , , ?
, , ? , , . .
, . . .3.
.3.
.
, .1 .3 , , .1 .
h (, ).
χ() , .. χ(y (t) > 0) = 1 y (t) > 0 χ(y (t) > 0)=0 y (t)<0, χ(y(t)<0) = 1 y (t)<0 χ(y (t)<0) = 0 y (t) > 0. , , , s, y (t), , h.
, . . Y (.4).
.4. .
Y, ( s) ( h), . .4 Y, .
, ,
. , . , , , , .. . , (), :
(13)
. , , ,
, /, (13) Q = . , , n ,
,
, Q = Q 1 Q = Q2, , .
, . ,
, , , Q = , .
. , , .
υ, .. , Δ t υΔ t ( , , υ>). , , , . υ.
, . , . , , ( , ..). . , , .
. , ( ).
, , ( ) ( ).
. .. . , ( ). ( , .) . .
. , 36 [14]. ( (1), (2), (3), (4)). .
(1) = 0, , (1) = 1, υ, υ>.
sy, (2) = 0. ( ) , .. sy + a, a >0, (2) =1.
(.. ), (3) = 0. hy ( ), (3)=1. ( ), .. hy + b, b > 0, (3) = 2.
, (4) = 0, Q g. , .. g + g 1 Q, (4) = 1. , .. Q g + g 1 Q + g 2 Q 2, (4) = 2.
(1) , (2) , (3) , (4) . 2 2 3 3 = 36 , .. 36 . (0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0).
. (1, 1, 2, 2). , , . , ,
.
, Q = .
Q . , g 1. , . , .. υ>>, , (1) = 0
a = b. , ( ) , , 0. ,
, ( ) .
. h :
g 1, .
3. ( ) . , , . , , , , [5].
. - , , . , , - . , . , . ( , ), , , , , , , , . , , - , , , , .
(12). . , . g s - - . (12) g s. , (s Δ s, s + Δ s) (g Δ g, g + Δ g) , , , . , g s ( , ).
26% ( 22,5% 25,95%). 3 ( 260% 349% ). , , 2 [15].
, , ( , ) , . . , [7].
. - ( ), - , ( ) (). (). - .
, . . R < 0, Q R + Q >0. , , .
y (t) , χ() , .. χ(y (t) > 0) = 1 y (t) > 0 χ(y (t) > 0)=0 y (t)<0, χ(y(t)<0) = 1 y (t)<0 χ(y (t)<0) = 0 y (t) > 0, s, h, g , . R R+Q, .
1950- . ( ) , , [7]. . 1970- [7].
. τ() . . , τ() .
,
Xj j - . , X 1, X 2, , Xn, - MX 1. , . ,