Класифікація математичних моделей

Математичні моделі, що складають абстрактну частину спектра (див. рис. 6.3), для зручності використання в різних сферах, у тому числі і в менеджменті, класифікують за 6-ма провідними ознаками (рис. 6.6):

Ø спосіб одержання моделі;

Ø спосіб подання чи презентації об'єкта чи його властивостей;

Ø спосіб формалізації об'єкта чи його властивостей;

Ø приналежність до єрархічного рівня;

Ø ступінь масштабності подання об'єкта чи його властивостей;

Ø ступінь складності подання об'єкта чи його властивостей.

За способом одержання моделі поділяють на теоретичні, нейронні (персептрони) й емпіричні.

Теоретичні моделі виводяться математично на основі знання первинних законів класичної механіки, електродинаміки, хімії тощо.

Моделі, одержувані з реального життя на основі статистичного оброблення результатів спостережень, формують групу емпіричних моделей. Проблема побудови такої емпіричної моделі включає і вибір відповідної форми, а також прийнятного ступеня її складності, сумісних з наявними експериментальними даними.

В останні роки в галузі моделювання економічних процесів усе більшого значення набувають нейронні моделі (персептрони), складаються з бінарних нейроподібних елементів і прості за топологією. Найпростіший персептрон містить у собі матриці бінарних входів (сенсорні нейрони або сітківки, куди подаються вхідні образи), комплект бінарних нейроподібних елементів з фіксованими зв'язками до підмножин сітківки, бінарного нейроподібного елемента зі зв'язками, що модифікуються до цих предикатів (вирішальний елемент).

Персептрон, як правило, використовувався для автоматичної класифікації, що загалом є поділом простору ознак між заданою кількістю класів. Сьогодні умовах на рівні нейронних мереж під час вирішення проблем менеджменту щодо прогнозування (моделювання) ситуації формалізується через завдання розпізнання образів

Розглянемо приклад. Маємо дані про поточний попит на продукцію фірми за 6 років (к = 6): 71; 80; 101; 84; 60; 73.

Для формалізації завдання використовуємо метод вікон. Задаємо розміри вікон п = 3, т = 1 і рівень порушень нейропо-дібного елемента 5=1. Далі за допомогою методу вікон із уже фіксованими параметрами п, т, з для нейронної мережі генеруємо наступну навчальну вибірку:

71 80 101 -> 84 80 101 84 -> 60 101 84 60 -> 73.

Як бачимо, кожний наступний вектор враховує результат зрушення вікон Щ і \У$ вправо на один елемент (д = 1). При цьому, передбачається наявність схованих залежностей у тимчасовій послідовності як численність спостережень. Нейронна мережа, навчаючи на цих спостереженнях і відповідно будуючи свої коефіцієнти, намагається віднайти ці закономірності і в результаті сформувати необхідну функцію прогнозу, тобто створити архітектоніку моделі. Прогнозування здійснюється за тим саме принципом, що і формування навчальної вибірки.

За способом подання об'єкта моделі підрозділяють на: алгебраїчні; лінійного і математичного програмування (Л і МП); мережеві (сітьові); статичні Астатичні=імовірнісно-статичні, що поєднують у собі моделі теорії черг, моделі запасів і статистичні моделі; регресійно-кореляційні.

Алгебраїчні моделі використовуються під час розв'язання таких завдань як аналіз "критичної точки" і "витрати — прибуток".

Моделі лінійного і математичного програмування усе ширше використовуються для вирішення проблем виробничого спрямування.

Мережеві (сітьові) моделі належать до теорії керування великими системами — до теорії мережевих методів планування і керування — і базуються на ідеї критичного шляху (метод СРМ), оцінюванні і засобах аналізу (наприклад, система РЕКТ-Рго§гат Еуаіиііоп ЯезеагсЬ Тазк).

Статистичний А~статистичні-імовірнісно-статис-тичні моделі засновані на фенологічних явищах і гіпотезах. Вони можуть бути детермінованими чи схоластичними. Так, наприклад, залежність У = (р(Х), установлювана за результатами спостережень випадкових величин X та У за методом найменших квадратів, є детермінованою моделлю. Якщо ж врахувати випадкові відхилення експериментальних точок, що спостерігаються в результаті досвідів від кривої в = 1(х) і написати залежність У від X в вигляді

У=<р(Х) + г, (6.1)

де 2 — деяка випадкова величина, - то вийде стохастична модель.

При цьому, величини X та У можуть бути як скалярними, так і векторними. Функція (р(х) може бути як лінійною комбінацією даних функцій, так і даною нелінійною функцією, параметри якої визначаються за методом найменших квадратів.

Кореляційні моделі, що є узагальненням екстраполяційних та статистичних моделей, використовуються для подання специфіки описуваного об'єкта або його властивостей.

Узагальнена характеристика моделей, що класифікуються за способом подання об'єкта, наведена в табл. 6.1.

У табл. 6.1 зазначені найефективніші сфери застосування даних моделей з попередньо оціненою точністю одержуваних оцінок. Дана інформація корисна операційним менеджерам на етапі побудови моделей або їхнього вибору для розв'язання виниклої проблеми.

За характером відображуваних властивостей об'єкта моделі класифікуються на структурні і функціональні, що сукупно відбивають взаємозв'язок і взаємовплив окремих елементів на процеси, що протікають в об'єкті під час його функціонування (виготовлення).

Структурні моделі призначені для відображення структурних властивостей об'єкта: складу, взаємозв'язку і взаєморозташування, а також форми компонентів.

Функціональні моделі призначені, в основному, для відображення процесів, що протікають в об'єкті за його функціонування (виготовлення) і, як правило, містять алгоритми, що зв'язують фазові перемінні, внутрішні, зовнішні чи вихідні параметри.

За способом формалізації об'єкта за складності справжніх фізичних ситуацій потрібне спрощене подання за допомогою аналітичних і алгоритмічних моделей, що відповідно "абстрагують" обрані "істотні" властивості об'єктів і ситуацій. Комп'ютерна імітація реальних об'єктів — це важливий інструмент для аналізу складних систем сервісу, політики обслуговування й інвестиційного вибору.

Розподіл об'єктів за єрархічними рівнями призводить до певних рівнів моделювання, єрархія яких визначається як складністю об'єктів, так і можливістю засобів керування. Тому відповідно до приналежності до єрархічного рівня, математичні моделі поділяються на мікро-, макро- і метамоделі. Відмінність даних моделей в тому, що на більш високому рівні єрархії компоненти моделі приймають вид досить складних сукупностей елементів попереднього рівня. Цими ж аспектами визначається і поділ моделей за ступенем масштабності і складності подання об'єкта.

Дана класифікація моделей має допомогти операційним менеджерам у більш прискореному і правильному прийнятті рішень з метою здійснення місії організації.

6.6. Рекомендації щодо вибору моделей

Отже, запропоновані моделі використовуються під час вирішення різних проблем в операційному менеджменті. Деякі з них оперують статистичними даними й імовірнісними характеристиками, а деякі — графами тощо. Для операційного менеджера виникає питання: чому (або навіщо) необхідно розглядати (або вивчати) таку кількість методів? Чи не ліпше зосередити увагу на одному прогресивному методі, описати його і дати як дійовий "рецепт" для вирішення завдань? Спроба точно визначити суть "ефективнішого" методу зіштовхується зі значними складностями. Коли завдання задано, може виявитися, що від деяких методів слід відмовитись як від непридатних. Однак навіть після того, як деякі методи будуть виключені, усе-таки звичайно виявляється необхідним здійснити вибір одного чи двох методів з декількох, застосування яких у даному випадку можливе. Практика розрахунків показує, що не існує єдиного методу, який успішно може бути застосований до широкого кола завдань реального життя. Крім того, якщо маємо декілька методів, розроблених для вирішення однієї проблеми, не можна стверджувати, що вони тотожні об'єктивним і можуть бути усі застосовані. Для доказу наведемо, як приклад, результати кількісного порівняння деяких операційних моделей розрахунку потреб у запасних частинах (табл. 6.2).

Як виходить з табл. 6.2, значення потреби у зазначеній деталі як запасній частині (у штуках на 100 автобусів за рік), розраховані за різними методами, дають розбіжності більш ніж у два рази, а розбіжності з фактичними даними за деякими методиками перевищують 60%. Це не є несподіваним, оскільки практика демонструє велику розмаїтість змін і впливу як зовнішнього, так і внутрішнього середовища. Тому, якщо задане яка-небудь завдання оптимізації, операційному менеджерові слід вибирати модель (метод), що якомога однозначно визначає порядок операцій, що приводить до вирішення проблеми й одержання необхідного результату. При цьому, важливо знати, чи існує яка-небудь розумна основа для вибору "об'єктивної" операційної математичної моделі.

Для вибору тієї чи іншої операційної математичної моделі можуть бути використані три критерії: адекватності, універсальності й економічності.

Критерій адекватності характеризує точність операційної математичної моделі, тобто ступінь наближеності кінцевого значення цільової функції і кінцевого вектора перемінних до реальних мінімальних значень.

Отже, адекватність операційної моделі — це її здатність відображати об'єкт або його властивості з погрішністю не вищою за задану.

Критерій універсальності показує, наскільки повно в операційній моделі відображені властивості описуваного реального об'єкта чи процесу.

Критерій економічності операційної математичної моделі характеризується сукупними розрахунковими витратами. Тут важливо приділити увагу кількості обчислених значень оптимізаційної функції, одержаних у процесі вирішення завдання, і у машинному часі, необхідному для реалізації моделі.

Підсумково слід ще раз зазначити, що сучасні уявлення про відносну цінність різних методів досить розпливчасті, а тому ухваленню рішення про вибір і використання конкретної операційної математичної моделі повинні передувати глибокий аналіз і порівняльні дослідження.