Раздел 10. Двумерные случайные величины. Зависимость случайных величин

1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (X, Y) задан таблицей

 

	Y = -1	Y = 0	Y = 1
X = 2	0,15	0,5	0,1
X = 3	0,1	0,1	0,05

 

1. Найти законы распределения случайных величин X и Y.

2. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

3. Найти математические ожидания дисперсии и среднеквадратичные отклонения случайных величин X и Y.

4. Найти условные распределения Y | X = 2, Y | X = 3, X | Y = -1, X | Y = 0, X | Y = 1.

5. Найти условные математические ожидания M (Y | X = 2), M (Y | X = 3), M (X | Y= -1),

M (X | Y = 0), M (X | Y = 1).

6. Построить по точкам линии регрессии и .

7. Найти условные дисперсии D (Y | X =2), D (Y | X =3), D (X | Y = -1), D (X | Y = 0), D (X | Y = 1).

8. Построить по точкам скедастические линии D (Y | X = x) и D (X | Y = y).

9. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

10. Найти корреляционные отношения случайных величин X и Y.

 

 

1. Закон распределения двумерной случайной величины (X, Y) задан таблицей

 

	Y = 2	Y = 3	Y = 4	Y = 5
X = 2	1/8	1/8
X = 3	1/16	1/16	1/16
X = 4		1/16	1/8	1/8
X = 5			3/16	1/16

 

1. Найти законы распределения случайных величин X и Y.

2. Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

3. Найти математические ожидания дисперсии и среднеквадратичные отклонения случайных величин X и Y.

4. Найти условные распределения Y | X = 2, Y | X = 3, Y | X = 4, Y | X = 5.

5. Найти условные математические ожидания M (Y | X = 2), M(X | Y =3), M (Y | X = 4),

M (Y | X = 5).

6. Построить по точкам линию регрессии .

7. Найти условные дисперсии D (Y | X =2), D (Y | X =3), D (Y | X =4), D (Y | X =5).

8. Построить по точкам скедастическую линию D (Y | X = x).

9. Найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

10. Найти корреляционное отношение

 

1. При измерении веса (случайная величина Х) и роста (случайная величина Y) у 5 человек получены следующие данные:

 

X
Y

 

Составить таблицу распределения двумерной случайной величины (X, Y) и найти коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

 

4. Доказать, что для независимых дискретных случайных величин X и Y

 

 

Раздел 11. Предварительная обработка выборки. Эмпирическая функция рапределения. Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.

1. Из генеральной совокупности Х извлечена выборка объёма n = 10:

6, 3, 3, 4, 6, 1, 4, 3, 1, 6.

 

1. Записать вариационный ряд выборки. Найти размах выборки.

2. Составить таблицу эмпирического (выборочного) распределения .

3. Найти статистические ряды частот и относительных частот выборки. Оценить вероятности Р (Х = 3), Р (Х = 4), Р (Х = 5).

4. Построить гистограммы частот и относительных частот выборки. Сформулировать гипотезу о типе распределения генеральной совокупности.

5. Найти эмпирическую функцию распределения. Оценить вероятности .

6. Найти точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.

 

2. Размах выборки оказался равным 0. Какое предположение о генеральной совокупности наиболее естественно?

 

3. Тестирование знаний 30 студентов дало следующий результат:

 

1 балл получил 1 студент,

2 балла получили 5 студентов

3 балла - 10 студентов

4 балла - 9 студентов

5 баллов - 3 студента

6 баллов - 2 студента.

 

Считаем результат этого теста случайной выборкой из генеральной совокупности – уровня знаний студентов всего курса.

 

1. Найти статистические ряды частот и относительных частот выборки. Оценить вероятности Р (Х = 3), Р (Х = 5).
2. Построить гистограммы частот и относительных частот выборки. Сформулировать гипотезу о типе распределения генеральной совокупности.
3. Найти эмпирическую функцию распределения. Оценить вероятности .
4. Найти точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.

 

 

1. При апробации некоторого теста было изменено время решения одной контрольной задачи каждым из 50 тестируемых. Получены следующие результаты измерений (в сек.):

 

67 65 39 48 43 54 60 42 50 59

59 54 57 14 49 48 46 47 68 52

61 30 58 32 42 58 49 77 28 47

45 44 30 55 40 41 72 47 61 35

42 33 45 51 21 41 53 60 38 60.

 

1. Найти группированные статистические ряды частот и относительных частот выборки при её группировке в 7 интервалов (размах выборки равен 63).

2. Построить гистограмму частот группированной выборки. Сформулировать гипотезу о типе распределения генеральной совокупности.

3. Найти точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности.

 

1. Построить полигоны частот и относительных частот выборки, представленной статистическим рядом

 

 

Найти выборочное среднее и несмещённую оценку дисперсии.

 

1. Найти эмпирическую функцию распределения по выборке, представленной статистическим рядом

1)

 

2)

 

 

 

1. Контроль качества производства некоторых изделий проводился по большому числу выборок объёма 3 изделия. Результат контроля сведён в статистический ряд относительных частот

 

	0,4	0,45	0,1	0,05

 

где - среднее число бракованных изделий в выборке. Оценить процент брака, допускаемого при производстве этих изделий. (Данные в задаче смоделированы на партии из 25 изделий с 6 бракованными, брак 24%.)

 

 

1. Генеральная совокупность объёмом N = 10000 со случайной величиной X, принимающей целочисленные значения от - N до N, моделируется с помощью последовательности из N опытов следующим образом. Значения , которое случайная величина X принимает в i -ом опыте, является абсциссой так называемой «блуждающей (по оси Ox) точки.» Перед первым опытом «блуждающая точка» находится в точке 0 на оси Ох.

 

Первый опыт. Производится одно бросание монеты. При выпадении герба «блуждающая точка» смещается по оси Ох на 1 единицу вправо, т.е. , а при выпадении цифры «блуждающая точка» смещается по оси Ох на 1 единицу влево, т.е.

 

Второй опыт. Производится одно бросание монеты. При выпадении герба «блуждающая точка» смещается в точку , а при выпадении цифры – в точку . Таким образом, принимает одно из значений -2, 0, 2.

 

i - ый опыт. Производится одно бросание монеты. , если выпал герб, или , если выпала цифра.

 

Таким образом проводится серия из N опытов, в результате которой формируется генеральная совокупность X.

 

Требуется:

1. Смоделировать описанной выше серией из 50 опытов выборку объёмом n = 50 из генеральной совокупности X.

2. Построить статистический ряд частот и гистограмму выборки.

3. Сформулировать гипотезу о типе распределения генеральной совокупности.

4. Вычислить выборочное среднее.

 

 

Раздел 12. Доверительный интервал

1. Сделано 4 измерения расстояния от орудия до цели дальномером с точностью σ = 40м. Среднее выборочное этих 4 измерений равно 2000 м. Найти доверительный интервал для оценки истинного расстояния до цели при доверительной вероятности 0,95. Установить, сколько надо измерений, чтобы с той же вероятностью 0,95 точность оценки расстояния до цели составила 10м.

 

2. При исследовании содержания чистого серебра в 10 монетах «рубль», чеканившихся в Росcии с 1730 г по 1761 г, получена средняя величина 20,75г. Оценить истинное значение содержания серебра в монете «рубль» этого периода при уровне значимости 0,1, если среднеквадратичная погрешность применённого для анализа метода составляла 0,1г.

 

3. Для данных из условия задачи №4 из раздела 11 найти доверительный интервал для выборочного среднего при уровне значимости 0,2. Среднеквадратичное отклонение в генеральной совокупности считать равным 13с.

 

4. При тестировании общего интеллекта у 25 человек получен средний балл 45. Считая, что общий интеллект имеет нормальное распределение со среднеквадратичным отклонением 16 баллов, найти доверительную вероятность, при которой этот средний балл получен с точностью до 3 баллов, 5 баллов, 8 баллов.

 

5. Игровой автомат должен обеспечивать в среднем один выигрыш в ста играх. При его проверке в 400 играх было 5 выигрышей. Найти доверительный интервал для неизвестной вероятности выигрыша при доверительной вероятности 0,95.

Указание. При большом объёме выборки n границы доверительного интервала находятся по приближённым формулам

 

, где ν – точечная оценка параметра p по выборке, - квантиль нормального распределения N (0, 1).

 

 

Раздел 13. Проверка статистических гипотез

1. Для исследования возможности телепатии в НИИ психологии проведён опыт. В одной комнате сидел экспериментатор, который по сигналу брал один из лежавших перед ним картонных прямоугольников: чёрный, белый и полосатый. Сидящий во второй комнате второй экспериментатор по тому же сигналу выбирал один из таких же прямоугольников. Очевидно, что вероятность случайного совпадения выбранных прямоугольников равна . Произведя 100 наблюдений, экспериментаторы получили 39 совпадений выбранных прямоугольников. Проверить по правостороннему биномиальному критерию гипотезу о том, что в данном опыте телепатия не проявилась, при значениях уровня значимости α = 0,05 и α = 0,15.

 

1. Проведено 600 случайных бросаний игральной кости, при которых «6» выпало 75 раз.

а) По двухстороннему биномиальному критерию при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о симметричности и однородности этой кости.

б) По левостороннему биномиальному критерию при уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о том, что вероятность выпадения «6» у данной кости равна 1/6.

 

1. При 4040 бросаниях монеты Бюффон получил 2048 выпадений «герба». По правостороннему биномиальному критерию при уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу о том, что монета была правильной, то есть, что вероятность выпадения «герба» для неё равна ½.

 

1. На факультете проведено выборочное тестирование 60 студентов. Результаты тестирования: оценку 4 получили 23 студента, 3 - 22 студента. Проверить по хи-квадрат критерию гипотезу о том, что уровень подготовки студентов распределён равномерно по этим градациям. Взять уровень значимости α = 0,1.

 

1. Метод генерирования случайных чисел был применён 250 раз и дал следующий результат

 

Цифра
Частота появления

 

Проверить для уровня значимости 0,1, что метод даёт случайные числа, то есть распределение цифр равномерное.

 

1. Датчик микрометеоритов, установленный на борту космической станции, за 12 часов наблюдения дал следующие данные о количестве микрометеоритов, попавших в станцию

 

№.ч.

К.м.

 

Можно ли считать поток микрометеоритов равномерным за время наблюдения? Уровень значимости взять равным 0,05.

 

1. Проверить при уровне значимости 0,1, что данная выборка получена из нормально распределённой генеральной совокупности

 

Гр. интерв.	3 - 4	4 - 5	5 - 6	6 - 7	7 - 8
Частота

 

.

1. По выборке, представленной статистическим рядом, проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности для значений уровня значимости 0,05 и 0,01.

 

Гр.инт.	3,0 - 3,6	3,6 – 4,2	4,2 – 4,8	4,8 – 5,4	5,4 – 6,0	6,0 – 6,6	6,6 – 7,2
Частота

 

Указание. В расчёте объединить интервалы 1 и 2, 6 и 7.

 

1. По выборке из задачи 4 раздела 11 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности при уровне значимости 0,05.

 

1. Проверить, одинаковый ли уровень подготовки показали на экзамене две группы студентов. Взять уровень значимости 0,1.

 

а)

Оценка
Частота в гр.1
Частота в гр.2

 

б)

Оценка
Частота в гр. 1
Частота в гр. 2

 

1. В таблицу сопряжённости сведены оценки по математике, полученные студентами на экзамене, и средние оценки этих же студентов за текущую работу в семестре. Зависимы ли эти оценки?

 

Оценки на экзамене

 

Оценки за семестр

 

Взять уровень значимости 0,01.

 

1. Зависит ли результат опыта (0 или 1) от использованного катализатора? Проверить для уровня значимости 0,1.

 

 

 

1. При тестировании двух групп получены следующие оценки:

 

Группа 1 33, 19, 34, 25, 24;

Группа 2 32, 24, 28, 16.

 

Считая, что оценки по данному тесту имеют нормальное распределение, проверить гипотезу о равенстве средних оценок в этих группах. Взять уровень значимости 0,1.

 

1. Приведены оценки студентов данной группы по двум контрольным работам (КР).

 

КР1: 4 2 2 2 2 5 4 2 2 2 2 2 5 4 2 2

КР2: 5 4 4 2 2 5 4 2 2 3 4 2 5 4 3 4

 

Проверить при уровне значимости 0,01, улучшилась ли подготовка студентов ко второй контрольной работе.

 

Ответы