принтер | сканер 450
поскольку последнее число равно сумме двух предыдущих, можно сразу же придти к выводу, что в этом сегменте сети нет сайтов, на которых ключевыми словами являются одновременно принтер и сканер:
принтер & сканер 0
диаграмма Эйлера для этого случая показана на рисунке справа:
2) с этого момента все просто: для того, чтобы определить, сколько сайтов удовлетворяют заданному условию
достаточно просто сложить числа, соответствующие запросам принтер & монитор и
сканер & монитор
3) таким образом, правильный ответ: 40 + 50 = 90.
Возможные проблемы: · обратите внимание, что в условии была лишняя информация: мы нигде не использовали количество сайтов в данном сегменте Интернета (1000) и количество сайтов с ключевым словом монитор (450) · не всегда удается «раскрутить» задачу в уме, здесь это несложно благодаря «удачному» условию |
Решение (вариант 3, таблицы истинности):
1) для сокращения записи обозначим через C, П, М высказывания «ключевое слово на сайте – сканер» (соответственно принтер, монитор)
2) если рассматривать задачу с точки зрения математической логики, здесь есть три переменных, с помощью которых можно составить всего 8 запросов, выдающих различные результаты
С | П | М | |
? | |||
? | |||
? | |||
? | |||
? | |||
? | |||
? | |||
? | |||
всего |
3) составим таблицу истинности, в которую добавим левый столбец и последнюю строку, где будем записывать количество сайтов, удовлетворяющих условиям строки и столбца (см. рисунок справа); например, первая строка соответствует сайтам, на которых нет ни одного из заданных ключевых слов; такая схема непривычна, но она существенно упрощает дело
4) сумма в последней строчке получается в результате сложения всех чисел из тех строк первого столбца, где в данном столбце стоят единицы. Например, сумма в столбце С – складывается из четырех чисел в последних четырех строчках первого столбца. Мы пока не знаем, сколько результатов возвращает каждый из восьми запросов отдельно, поэтому в первом столбце стоят знаки вопроса
5) добавим в таблицу истинности остальные запросы, которые есть в условии, в том числе и тот, который нас интересует:
П | С = принтер | сканер 450
П & М = принтер & монитор 40
C & М = сканер & монитор 50
(П | C) & М = (принтер | сканер) & монитор?
С | П | М | П | С | П & М | C & М | (П | C) & М | |
? | |||||||
? | |||||||
? | |||||||
? | |||||||
? | |||||||
? | |||||||
всего |
6) проанализируем столбец П | С в этой таблице: его сумма (450) складывается из суммы столбцов С (200) и П (250) – выделены ярким зеленым цветом – плюс последние две строчки (голубой фон), то есть, 450 = 200 + 250 + X, откуда сразу получаем, что X = 0, то есть, последним двум строчкам (запросам) не удовлетворяет ни одного сайта
7) теперь составим таблицы истинности для остальных запросов, отбросив заведомо «нулевые» варианты:
С | П | М | П | С | П & М | C & М | (П | C) & М | |
? | |||||||
? | |||||||
? | |||||||
? | |||||||
всего |
из оставшихся шести строк таблицы запросы П & М и С & М затрагивают только по одной строчке, поэтому сразу можем вписать соответствующие числа в первый столбец; в последнем запросе, который нас интересует, присутствуют именно эти две строки, то есть, для получения нужно сложить 40 и 50
8) таким образом, правильный ответ: 40 + 50 = 90.
Решение (вариант 3, через диаграммы и систему уравнений):
1) для сокращения записи обозначим через C, П, М высказывания «ключевое слово на сайте – сканер» (соответственно принтер, монитор) и нарисуем эти области виде диаграммы (кругов Эйлера); интересующему нас запросу (П | C) & M соответствует объединение областей 4, 5 и 6 («зеленая зона» на рисунке)
2) количество сайтов, удовлетворяющих запросу в области i, будем обозначать через Ni
3) составляем уравнения, которые определяют запросы, заданные в условии:
сканер N1 + N2 + N4 + N5 = 200
принтер N2 + N3 + N5 + N6 = 250
принтер | сканер N1 + N2 + N4 + N5 + N3 + N6 = 450
из первого и третьего уравнений сразу следует
200 + N3 + N6 = 450 Þ N3 + N6 = 250
далее из второго уравнения
N2 + N5 + 250 = 250 Þ N2 + N5 = 0
поскольку количество сайтов не может быть отрицательной величиной, N2 = N5 = 0
4) посмотрим, что еще мы знаем (учитываем, что N5 = 0):
принтер & монитор N5 + N6 = 40 Þ N6 = 40
сканер & монитор N4 + N5 = 50 Þ N4 = 50
5) окончательный результат:
(принтер | сканер) & монитор N4 + N5 + N6 = N4 + N6 = 40 + 50 = 90
6) таким образом, правильный ответ 90.
Возможные проблемы: · внимательнее с индексами переменных, очень легко по невнимательности написать N5 вместо N6 и получить совершенно другой результат · этот метод ярко демонстрирует, что в общем случае мы получаем систему уравнения с семью неизвестными (или даже с восемью, если задействована еще и область вне всех кругов); решать такую систему вручную достаточно сложно, поэтому на экзамене всегда будет какое-то условие, сильно упрощающее дело, ищите его |
Еще пример задания:
В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос | Количество страниц (тыс.) | ||
мезозой | |||
кроманьонец | |||
неандерталец | |||
мезозой | кроманьонец | |||
мезозой | неандерталец | |||
неандерталец & (мезозой | кроманьонец) |
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
Решение (способ 1, круги Эйлера):
1) обозначим области «мезозой», «кроманьонец» и «неандерталец» буквами М, К и Н; пронумеруем подобласти, получившиеся в результате пересечений кругов (см. рисунок справа)
2) через Ni обозначим количество сайтов в области с номером i
3) нас интересует результат запроса
кроманьонец & (мезозой | неандерталец)
то есть N2 + N5 + N6(зеленая область на рисунке)
4) из первых двух запросов следует, что
N1 + N2 + N4 + N5 = 50 (мезозой)
N2 + N3 + N5 + N6 = 60 (кроманьонец)
5) складывая левые и правые части уравнений, получаем
(1) N1 + 2·N2 + N3 + N4 + 2·N5 + N6 = 110
6) в то же время из запроса 4 получаем
(2) N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 80 (мезозой | кроманьонец)
7) вычитая из уравнения (1) уравнение (2), отдельно левые и правые части, получаем
N2 + N5 = 30 (мезозой & кроманьонец)
вспомним, что наша цель – определить N2 + N5 + N6, поэтому остается найти N6
8) из запросов 1 и 3 следует, что
N1 + N2 + N4 + N5 = 50 (мезозой)
N4 + N5 + N6 + N7 = 70 (неандерталец)
9) складывая левые и правые части уравнений, получаем
(3) N1 + N2 + 2·N4 + 2·N5 + N6 + N7 = 120
10) в то же время из запроса 5 получаем
(4) N1 + N2 + N4 + N5 + N6 + N7 = 100 (мезозой | неандерталец)
11) вычитая из уравнения (3) уравнение (4), отдельно левые и правые части, получаем
(5) N4 + N5 = 20 (мезозой & неандерталец)
12) теперь проанализируем запрос 6:
неандерталец & (мезозой | кроманьонец)
(6) N4 + N5 + N6 = 20
13) вычитая из уравнения (6) уравнение (5) получаем N6 = 0, поэтому
N2 + N5 + N6 = N2 + N5 = 30
14) таким образом, ответ – 30.
Решение (способ 2, М.С. Коротков, г. Челябинск, Лицей № 102):
1) пп. 1-3 такие же, как в первом способе;
2) из запросов 1 и 6 следует, что
(1) N4 + N5 + N6 + N7 = 70 (неандерталец)
(2) N4 + N5 + N6 = 20 неандерталец & (мезозой | кроманьонец)
3) вычитая (2) из (1), сразу получаем, что N7 = 50
4) из запросов 5 и 4 следует, что
(3) N1 + N2 + N4 + N5 + N6 + N7 = 100 (мезозой | неандерталец)
(4) N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 80 (мезозой | кроманьонец)
5) вычитая (4) из (3), сразу получаем, что N7 - N3 = 20
6) в п. 3 мы уже определили, что N7 = 50, поэтому 50 - N3 = 20, откуда N3 = 30
7) из запроса 2 получаем
N2 + N3 + N5 + N6 = 60 (кроманьонец)
поэтому размер интересующей нас области равен
N2 + N5 + N6 = 60 – N3 = 60 – 30 = 30
8) таким образом, ответ – 30.
Решение (способ 3, круги Эйлера, И.Б. Курбанова, г. Санкт-Петербург, ГОУ СОШ № 594):
1) обозначим: М – мезозой, К – кроманьонец, Н – неандерталец.
2) нас интересует результат запроса (см. диаграмму Эйлера)
K & (M | Н)
3) т.к. по условию М = 50, К = 60, а объединение этих множеств М | К = 80, можно сделать вывод, что область пересечения
M & K = 50 + 60 – 80 = 30;
4) т.к. по условию М = 50, Н = 70, а объединение этих множеств М | Н = 100, можно сделать вывод, что область пересечения
M & Н = 50 + 70 – 100 = 20;
5) заметим, что M & Н = 20 и Н & (М | К) = 20, следовательно множества Н и К не пересекаются (К & Н = 0);
6) перерисуем диаграмму Эйлера так, чтобы множества К и Н не пересекались (см. рисунок справа); из новой схемы видно, что
К & (М | Н) = (К & М) | (К & Н) = К & М = 30
7) ответ: 30
Задачи для тренировки[3]:
Во всех задачах для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – символ &.
1) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) физкультура
Б) физкультура & подтягивания & отжимания
В) физкультура & подтягивания
Г) физкультура | фитнесс
2) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) волейбол | баскетбол | подача
Б) волейбол | баскетбол | подача | блок
В) волейбол | баскетбол
Г) волейбол & баскетбол & подача
3) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
A) чемпионы | (бег & плавание)
Б) чемпионы & плавание
В) чемпионы | бег | плавание
Г) чемпионы & Европа & бег & плавание
4) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) музыка | классика | Моцарт | серенада
Б) музыка | классика
В) музыка | классика | Моцарт
Г) музыка & классика & Моцарт
5) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
А) реферат | математика | Гаусс
Б) реферат | математика | Гаусс | метод
В) реферат | математика
Г) реферат & математика & Гаусс
6) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Ответ запишите в виде последовательности соответствующих букв.
a) Америка | путешественники | Колумб
b) Америка | путешественники | Колумб | открытие
c) Америка | Колумб
d) Америка & путешественники & Колумб
7) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Ответ запишите в виде последовательности соответствующих букв.
а) Информатика & уроки & Excel
b) Информатика | уроки | Excel | диаграмма
с) Информатика | уроки | Excel
d) Информатика | Excel
8) В таблице приведены запросы к поисковому серверу, условно обозначенные буквами от А до Г. Расположите запросы в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Ответ запишите в виде последовательности соответствующих букв.
А) Гренландия & Климат & Флора & Фауна
Б) Гренландия & Флора
В) (Гренландия & Флора) | Фауна
Г) Гренландия & Флора & Фауна
9) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
а) спорт | футбол
b) спорт | футбол | Петербург | Зенит
с) спорт | футбол | Петербург
d) спорт & футбол & Петербург & Зенит
10) Каким условием нужно воспользоваться для поиска в сети Интернет информации о цветах, растущих на острове Тайвань или Хонсю
1) цветы & (Тайвань | Хонсю)
2) цветы & Тайвань & Хонсю
3) цветы | Тайвань | Хонсю
4) цветы & (остров | Тайвань | Хонсю)
11) Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:
Ключевое слово | Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым |
сомики | 250 |
меченосцы | 200 |
гуппи | 500 |
Сколько сайтов будет найдено по запросу
сомики | меченосцы | гуппи
если по запросу сомики & гуппи было найдено 0 сайтов, по запросу
сомики & меченосцы – 20, а по запросу меченосцы & гуппи – 10.
12) Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:
Ключевое слово | Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым |
сомики | 250 |
меченосцы | 200 |
гуппи | 500 |
Сколько сайтов будет найдено по запросу
(сомики & меченосцы) | гуппи
если по запросу сомики | гуппи было найдено 750 сайтов, по запросу сомики & меченосцы – 100, а по запросу меченосцы & гуппи – 0.
13) Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:
Ключевое слово | Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым |
сканер | 200 |
принтер | 250 |
монитор | 450 |
Сколько сайтов будет найдено по запросу
принтер | сканер | монитор
если по запросу принтер | сканер было найдено 450 сайтов, по запросу принтер & монитор – 40, а по запросу сканер & монитор – 50.
14) В таблице приведены запросы к поисковому серверу, условно обозначенные буквами от А до Г. Расположите запросы в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Ответ запишите в виде последовательности соответствующих букв.
А) (огурцы & помидоры) & (прополка | поливка)
Б) огурцы | помидоры
В) огурцы
Г) огурцы & помидоры
15) В таблице приведены запросы к поисковому серверу, условно обозначенные буквами от А до Г. Расположите запросы в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Ответ запишите в виде последовательности соответствующих букв.
А) экзамен | тестирование
Б) (физика | химия) & (экзамен | тестирование)
В) физика & химия & экзамен & тестирование
Г) физика | химия | экзамен | тестирование
16) В таблице приведены запросы к поисковому серверу, условно обозначенные буквами от А до Г. Расположите запросы в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Ответ запишите в виде последовательности соответствующих букв.
А) сомики | меченосцы | содержание
Б) сомики & содержание
В) сомики & меченосцы & разведение & содержание
Г) (сомики | меченосцы) & содержание
17) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &.
1) канарейки | щеглы | содержание
2) канарейки & содержание
3) канарейки & щеглы & содержание
4) разведение & содержание & канарейки & щеглы
18) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &.
1) барокко | (классицизм & ампир)
2) барокко | классицизм
3) барокко | ампир | классицизм
4) классицизм & ампир
19) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &.
1) барокко | (классицизм & ампир)
2) барокко | классицизм
3) (классицизм & ампир) | (барокко & модерн)
4) барокко | ампир | классицизм
20) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &.
1) зайцы & кролики
2) зайцы & (кролики | лисицы)
3) зайцы & кролики & лисицы
4) кролики | лисицы
21) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &.
1) кролики | лисицы
2) (зайцы & кролики) | (лисицы & волки)
3) зайцы & кролики & лисицы & волки
4) зайцы & кролики
22) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &.
1) шкафы | столы | стулья
2) шкафы | (стулья & шкафы)
3) шкафы & столы
4) шкафы | стулья
23) В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» – &.
1) яблоки | сливы
2) сливы | (сливы & груши)
3) яблоки | груши | сливы
4) (яблоки | груши) & сливы
24) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос | Количество страниц (тыс.) |
фрегат | эсминец | 3000 |
фрегат | 2000 |
эсминец | 2500 |
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
фрегат & эсминец
25) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос | Количество страниц (тыс.) |
фрегат & эсминец | 500 |
фрегат | 2000 |
эсминец | 2500 |
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
фрегат | эсминец
26) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос | Количество страниц (тыс.) |
фрегат & эсминец | 500 |
фрегат | эсминец | 4500 |
эсминец | 2500 |
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Фрегат
27) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос | Количество страниц (тыс.) |
крейсер | линкор | 7000 |
крейсер | 4800 |
линкор | 4500 |
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
крейсер & линкор
28) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос | Количество страниц (тыс.) |
торты | пироги | 12000 |
торты & пироги | 6500 |
пироги | 7700 |
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу
Торты
29) В таблице приведены запросы и количество страниц, которые нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте Интернета:
Запрос | Количество страниц (тыс.) |
пирожное | выпечка | 14200 |
пирожное | 9700 |
пирожное & выпечка | 5100 |
Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу