Теоремы 1 и 2 хотя и являются общими, т. е. сформулированы при достаточно широких предположениях, они не дают возможности установить, насколько близки оценки к оцениваемым параметрам. Из факта, что —оценки являются состоятельными, следует только то, что при увеличении объема выборки значение P (| θ * – θ | < δ), δ < 0, приближается к 1.
Возникают следующие вопросы.
1) Каким должен быть объем выборки п, чтобы заданная точность
| θ * – θ | = δ была гарантирована с заранее принятой вероятностью?
2) Какова точность оценки, если объем выборки известен и вероятность безошибочности вывода задана?
3) Какова вероятность того, что при заданном объеме выборки будет обеспечена заданная точность оценки?
Введем несколько новых определений.
Определение. Вероятность γ выполнения неравенства, | θ *– θ | < δ называется доверительной вероятностью или надежностью оценки θ.
(1)
Перейдем от неравенства | θ *– θ | < δ к двойному неравенству. Известно, что 
. Поэтому доверительную вероятность можно записать в виде
(2)
Так как θ (оцениваемый параметр) – число постоянное, а θ * – величина случайная, понятие доверительной вероятности сформулировать так: доверительной вероятностью γ называется вероятность того, что интервал (θ *– δ, θ *+ δ) накрывает оцениваемый параметр.
Определение. Случайный интервал (θ *– δ, θ *+ δ), в пределах которого с вероятностью γ находится неизвестный оцениваемый параметр, называется доверительным интервалом İ, соответствующим коэффициенту доверия γ,
İ= (θ*– δ, θ*+ δ). (3)
Надежность оценки γ может задаваться заранее, тогда, зная закон распределения изучаемой случайной величины, можно найти доверительный интервал İ. Решается и обратная задача, когда по заданному İ находится соответствующая надежность оценки.
Пусть, например, γ = 0,95; тогда число р = 1 – у = 0,05 показывает, с какой вероятностью заключение о надежности оценки ошибочно. Число р=1–γ называется уровнем значимости. Уровень значимости задается заранее в зависимости от конкретного случая. Обычно р принимают равным 0,05; 0,01; 0,001.
Выясним, как построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенного признака. Было показано, что
Оценим математическое ожидание с помощью выборочной средней 
учитывая, что также имеет нормальное распределение*. Имеем
(4)
а по формуле (12.9.2) получаем
Принимая во внимание (13.5.12), получим
(5)
Пусть известна вероятность γ. Тогда
Для удобства пользования таблицей функции Лапласа положим 
тогда 
а
(6)
Интервал
(7)
накрывает параметр а = М (Х)с вероятностью γ.
В большинстве случаев среднее квадратическое отклонение σ(Х) исследуемого признака неизвестно. Поэтому вместо σ (Х)при большой выборке (n > 30) применяют исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение s, являющееся, в свою очередь оценкой σ (X), 
доверительный интервал будет иметь вид
İ = 
Пример. С вероятностью γ = 0,95 найти доверительный интервал для М (Х)– длины колоса ячменя сорта «Московский 121». Распределение задается таблицей, в которой' вместо интервалов изменения (х i, х i + 1) взяты числа 
, см. Считать, что случайная величина X подчинена нормальному распределению.
| 7,5 | 8,5 | 9,5 | 10,5 | 11,5 | 12,5 | 13,5 |
| ni |
Решение. Выборка большая (n = 50). Имеем
Найдем точность оценки
Определим доверительные границы:
Таким образом, с надежностью γ = 0,95 математическое ожидание заключено в доверительном интервале I = (9,5; 10,3).
Итак, в случае большой выборки (n > 30), когда исправленное среднее квадратическое отклонение незначительно отклоняется от среднего квадратического отклонения значения признака в генеральной совокупности, можно найти доверительный интервал. Но делать большую выборку удается не всегда и это не всегда целесообразно. Из (7) видно, что чем меньше п, тем шире доверительный интервал, т. е. I зависит от объема выборки п.
Английский статистик Госсет (псевдоним Стьюдент) доказал, что в случае нормального распределения признака X в генеральной совокупности нормирования случайная величина
(8)
зависит только от объема выборки. Была найдена функция распределения случайной величины Т и вероятность P (T < tγ), tγ – точность оценки. Функция, определяемая равенством
s (n, tγ) = P (| T | < tγ) = γ (9)
названа t-распределением Стьюдента с п – 1 степенями свободы. Формула (9) связывает случайную величину Т, доверительный интервал İ и доверительную вероятность γ. Зная две из них, можно найти третью. Учитывая (8), имеем
(10)
Неравенство в левой части (13.7.10) заменим равносильным ему неравенством 
. В результате получим
или
(11)
где tγ = t (γ, n). Для функции tγ составлены таблицы (см. Приложение 5). При n >30 числа tγ и t, найденные по таблице функции Лапласа, практически совпадают.
Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σx в случае нормального распределения.
Теорема. Пусть известно, что случайная величина имеет нормальное распределение. Тогда для оценки параметра σх этого закона имеет место равенство
(12)
где γ – доверительная вероятность, зависящая от объема выборки п и точности оценки β.
Функция γ = Ψ (n, β) хорошо изучена. С ее помощью определяют β = β (γ, п). Для β = β (γ, п) составлены таблицы, по которым по известным п (объему выборки) и γ (доверительной вероятности) определяется β.
Пример. Для оценки параметра нормально распределенной случайной величины была сделана выборка (дневной удой 50 коров) и вычислено s = 1,5. Найти доверительный интервал, накрывающий с вероятностью γ = 0,95.
Решение. По таблице β (γ, п) для n = 50 и γ = 0,95 находим β = 0,21 (см. Приложение 6).
В соответствии с неравенством (13) найдем границы доверительного интервала. Имеем
1,5 – 0,21·1,5 = 1,185; 1,5 + 0,21·1,5 = 1,185;
1,185 < σ < 1,185.
