Пусть имеется выборка объема n со значениями признака х1 х2, х3,..., хk. Построим статистическое распределение.
Таблица 4
| xi | x1 | x2 | x3 | … | xk |
| ni | n1 | n2 | n3 | … | nk |
Для того чтобы охарактеризовать наиболее существенные свойства этого распределения, так же как и в теории вероятностей, используют средние показатели или, как их называют, выборочные числовые характеристики. Рассмотрим некоторые из них.
1. Выборочная средняя 
. При наличии повторяющихся значений признака
, (3)
где п — объем выборки, хi ni взяты из табл. 4. Выборочная средняя изменяется при переходе от одной выборки к другой, поэтому в силу случайного отбора является случайной величиной.
Если дано распределение непрерывной случайной величины, то вместо х i берут середину интервала (xi, …, xi+1), т.е. 
.
Для упрощения вычисления выборочных характеристик удобно перейти от данных значений признака x 1|, х2, х3,...,хk к условным значениям и1, и2,. и3,..., uk —по формуле
, (4)
т. е. ввести вспомогательную величину 
, где С –новое начало отсчета, обычно это значение признака с наибольшей частотой, h – масштаб.
Можно показать, что при переходе к условным значениям признака по формуле зависимость, связывающая и 
, имеет вид
(5)
Действительно,
Пример. Дано статистическое распределение:
Таблица 5
| хi | ||||||
| ni |
Найти .
Решение. Перейдем к условным значениям признака, приняв за C значение с наибольшей частотой, т. е. С=5. Далее находим h = xi - xi-1 = 2.
Имеем
Составляем распределение условных значений признака.
Таблица 6
| ui | –2 | –1 | ||||
| ni |
Находим
Особенно выгодно применять формулу (4), если значения признака велики.
2. Выборочная и исправленная дисперсия. Одна числовая характеристика не дает полного представления о статистическом распределении. В агрономической и зоотехнической практике, как и в других сферах производства, при анализе результатов существенным для выводов является характеристика рассеяния значений признака относительно выборочной средней. Отклонение отдельных значений от выборочной средней бывает значительным и с этим нельзя не считаться.
Составим таблицу отклонений 
, указывая соответствующие частоты.
Таблица 7
| 
| 
| 
| … | 
|
| ni | n1 | n2 | n3 | … | nk |
Найдем среднее значение отклонений 
. Имеем
Следовательно, среднее значение отклонения равно нулю, и поэтому непригодно для характеристики рассеяния признака. Для того чтобы освободиться от знака отклонения и при этом сделать влияние больших отклонений «более ощутимыми», их возводят в квадрат и находят среднее значение. Полученную характеристику называют выборочной дисперсией и обозначают 
.
Итак,
или
(5)
Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое значение квадратов отклонений признака от выборочной средней.
Пример. Урожайность двух сортов А и В пшеницы, возделываемых на трех участках с одинаковыми условиями роста и развития, характеризуется следующими таблицами:
сорт А сорт В
| X, ц | Y, ц | 19 ' | ||||||
| Площадь, га | Площадь, га | 
|
Найти дисперсии значений признака обоих сортов.
Решение. Вычислим XB, YB, DX, DY. Находим
Как видим, дисперсия Dy как мера рассеяния или разброса урожайности сорта В относительно среднего значения YB в случае примерно одинаковых площадей больше, чем Dy, а это явление нежелательное. Из двух сортов лучшим является тот, урожайность которого более устойчива. По данным опыта сорт А предпочтительнее сорта В.
Для вычисления выборочной дисперсии используют следующую формулу:
(6)
т. е. дисперсия равна разности между средним значением квадрата и квадратом выборочной средней.
Действительно,
Для облегчения вычисления дисперсии используют следующие свойства:
1°. Дисперсия не изменится, если все значения признака увеличить (уменьшить) на постоянное число.
2°. При умножении значений признака на постоянное число h ≠ 0 дисперсия умножается на h2.
Выборочная дисперсия, как это показано в более подробных курсах (например, [4]), имеет систематическую ошибку, приводящую к уменьшению дисперсии. Чтобы это устранить, вводят поправку, умножая DB, на 
. В результате получают исправленную дисперсию
(7)
или
(8)
На практике часто вместо этой формулы используют другую, ей равносильную, а именно:
(9)
При малых выборках S ощутимо отличается от DB, например, при n = 2 имеем S 2=2 DB. С возрастанием n исправленная дисперсия S 2® DB. Уже при n = 30 дисперсии S 2и DB различаются на 3%.
