Теоремы Ляпунова и Лапласа.

Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема). 

Если случайная величина   представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то   имеет распределение близкое к нормальному.

Оглавление.

1. Теорема Ляпунова.

2. Основной закон ошибок.

3. Интегральная теорема Лапласа.

 

1. Теорема Ляпунова.

Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых, весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым * и составляют содержание теоремы, названной его именем.

Приведем без доказательства только следствие из теоремы Ляпунова.
Пусть    последовательность попарно независимых. случайных величин с математическими ожиданиями   и дисперсиями , причем эти величины обладают следующими двумя свойствами:

1) Существует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

2) Сумма  неограниченно растет при .
Тогда при достаточно большом n сумма  имеет распределение, близкое к нормальному. Пусть  и  - математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда

Так как, по следствию из теоремы Ляпунова, случайная величина  для больших значений n имеет распределение, близкое к нормальному, то согласно формуле (32), имеет место соотношение:

                    (56)

где Ф(х) - интеграл вероятностей.

 

2. Основной закон ошибок.

Когда мы производим некоторое измерение, то на его результат влияет большое количество факторов, которые порождают ошибки измерений. Ошибки измерений в основном можно подразделить на три группы: 1) грубые ошибки; 2) систематические ошибки; 3) случайные ошибки.

Грубые ошибки возникают от невнимательности при чтении показателей прибора, неправильной записи показаний, неправильном использовании прибора. Эти ошибки могут быть исключены соблюдением правил измерения.

Систематические ошибки искажают обычно результат измерения в определенную сторону. Они происходят, например, от несовершенства приборов, от личных качеств наблюдателя и могут быть устранены соответствующими поправками.

Случайные ошибки вызываются большим числом отдельных причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном случае различным образом. Эти ошибки возникают от незаметных механических причин, из-за изменения параметров измерительных приборов, зависящих от метеорологических условий, и т. д. Каждая из этих причин в отдельности порождает при измерении ничтожную ошибку . Складываясь, эти ничтожно малые ошибки порождают суммарную ошибку , которой уже нельзя пренебречь. Эта суммарная ошибка v есть случайная величина, являющаяся суммой огромного числа незначительных, независимых друг от друга случайных величин и имеет, согласно следствию из теоремы Ляпунова, нормальное распределение. Предполагая измерение свободным от грубых и систематических ошибок, можно считать, что возможный результат измерения есть случайная величина , математическое ожидание которой равно истинному значению а измеряемой величины:  (см. Теорему Ляпунова). Так как суммарная ошибка  подчиняется нормальному закону распределения, то возможный результат измерения  также подчиняется нормальному закону распределения (см. § 4, п. 3). В этом заключается основной закон ошибок.

 

3. Интегральная теорема Лапласа.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А одна и та же и равна . Пусть m - число появления события A в   n  опытах. Тогда для достаточно больших   n  случайная величина m имеет распределение, близкое к нормальному с параметрами , .

Доказательство. Пусть  - число наступления события A в i -м опыте. Тогда ,  (cм. § 4, п. 2, пример 2). Так как  может принимать только два значения 0 и 1, то для любого i имеем . Кроме того, величина  стремится к бесконечности при . Итак, последовательность случайных величин  удовлетворяет условиям следствия из теоремы Ляпунова. Поэтому сумма этих величин  достаточно больших n имеет распределение, близкое к нормальному, что и требовалось доказать.

Вычислим вероятность того, что случайная величина m, т. е. число наступлений события А в n опытах, удовлетворяет неравенствам , где   и   - данные числа. Так как ,    (cм. § 4, п. 2, пример 2). То согласно формуле (32) получим

                     (57)

где Ф(х) - интеграл вероятностей.

 

Пример. При установившемся технологическом режиме завод выпускает в среднем 70% продукции первого сорта. Определить вероятность того, что из 1000 изделий число первосортных заключено между 652 и 760.

Решение. Здесь , , , , , .

Используя формулу (57) и значения интеграла вероятностей из таблицы II приложения, получим