Взад и вперёд по Садовому шлангу

Наглядный пример Садового шланга и иллюстрации, приведённые на рис. 8.3, призваны прояснить то, почему наша Вселенная может иметь дополнительные пространственные измерения. Но даже специалистам, ведущим исследования в этой области, трудно наглядно представить Вселенную, имеющую более трёх пространственных измерений. По этой причине физики, следуя примеру Эдвина Эббота^{40}, опубликовавшего в 1884 г. увлекательную книгу «Флатляндия»[30], ставшую классикой популярного жанра, часто стремятся развить свои интуитивные представления о дополнительных измерениях, пытаясь представить, на что была бы похожа жизнь в воображаемой вселенной, имеющей меньшее число измерений, живя в которой мы постепенно осознаём, что она имеет больше измерений, чем прямо доступно нашему наблюдению. Попробуем вообразить двумерную вселенную, по форме напоминающую Садовый шланг. При этом мы должны отказаться рассматривать шланг с точки зрения «внешнего» наблюдателя как объект нашей Вселенной. Мы должны переместиться из нашего мира во вселенную Садового шланга, в которой поверхность очень длинного Садового шланга (вы можете считать его бесконечно длинным) являет собой всё пространство этой вселенной. Представьте себе, что вы крошечный муравей, живущий своей жизнью на этой поверхности.

Перейдём к ещё более экстремальной точке зрения. Представим, что длина циклического измерения во вселенной Садового шланга очень мала, настолько мала, что ни вы, ни ваши собратья‑обитатели шланга даже не подозреваете о существовании этого измерения. Напротив, вы и все живущие во вселенной Садового шланга считаете бесспорно очевидным следующий фундаментальный факт вашей жизни – вселенная имеет одно пространственное измерение. (Если бы вселенная Садового шланга породила своего муравьиного Эйнштейна, обитатели шланга могли бы сказать, что их вселенная имеет одно пространственное и одно временное измерение.) В действительности этот факт кажется им настолько самоочевидным, что обитатели шланга называют место, где они проживают, Линляндией [31], подчёркивая тем самым, что оно имеет одно пространственное измерение.

Жизнь в Линляндии сильно отличается от той, к которой мы привыкли. Например, знакомые нам тела просто не могут поместиться в Линляндии. Сколько бы усилий вы ни прилагали, пытаясь изменить форму тела, вам ничего не удастся сделать с тем очевидным фактом, что у вас есть длина, ширина и высота, т. е. пространственная протяжённость в трёх измерениях. В Линляндии нет места для таких экстравагантных конструкций. Хотя ваш мысленный образ Линляндии может быть по‑прежнему связан с длинным, похожим на нить объектом, существующим в нашем пространстве, вспомните, что вы должны думать о Линляндии как о вселенной – это и есть вселенная. Как обитатель Линляндии вы должны помещаться в ней. Попробуйте представить себе это. Даже если у вас будет тело муравья, вы не поместитесь в вашу вселенную. Вы должны сплющить ваше муравьиное тело, чтобы оно выглядело подобно телу червяка, а затем сдавливать его ещё и ещё, пока у него совсем не останется толщины. Чтобы жить в Линляндии, вы должны быть существом, у которого есть только длина.

Теперь представьте, что у вас есть по глазу на каждой стороне вашего тела. В отличие от глаз человека, которые могут вращаться в глазницах, чтобы иметь обзор в трёх измерениях, ваши глаза, глаза линляндца, навсегда зафиксированы в одном положении, каждый из них направлен вдоль единственного измерения. Это не является анатомическим ограничением вашего нового тела. Нет, вы и все другие линляндцы понимаете, что поскольку в Линляндии только одно измерение, здесь просто нет другого направления, в котором могли бы смотреть ваши глаза. Вперёд и назад – вот и все направления, которые существуют в Линляндии.

Мы можем попытаться дальше развивать наши представления о воображаемой жизни в Линляндии, но быстро осознаем, что она не слишком богата. Например, если по соседству с вами есть другой линляндец, представьте себе, как он будет выглядеть: вы увидите один его глаз, тот, который обращён к вам, но в отличие от глаза человека он будет выглядеть просто точкой. Глаза в Линляндии не имеют никаких индивидуальных особенностей и не выражают эмоций – для всего этого здесь просто нет места. Более того, вы навеки обречены видеть этот точечный глаз вашего соседа. Если вы захотите обойти его и исследовать ту часть Линляндии, которая лежит по другую сторону от его тела, вы будете очень разочарованы. Вы не сможете обойти его. Он полностью «загораживает дорогу», и в Линляндии нет места, чтобы обойти его. Последовательность расселения линляндцев после того, как они разместились по Линляндии, фиксирована и не может измениться. Такая вот тоска.

Несколько тысяч лет после пришествия бога в Линляндию, линляндец по имени Калуца К. Лин вселил некоторую надежду в сердца подавленных обитателей Линляндии. По божественному вдохновению или в полной тоске от многолетнего созерцания точечного глаза своего соседа он предположил, что Линляндия, в конце концов, может быть вовсе и не одномерной. Что, если, – теоретизировал он, – Линляндия на самом деле является двумерной, со вторым очень маленьким циклическим измерением, которое до сих пор не было открыто из‑за его крошечного пространственного размера? Он продолжал рисовать картину совершенно новой жизни, которая начнётся, если только удастся увеличить в размере это свёрнутое измерение – возможность, которую нельзя было отрицать согласно недавним работам его коллеги Линштейна. Калуца К. Лин описал вселенную, которая поразила вас и ваших сотоварищей и наполнила ваши сердца надеждой – вселенную, в которой линляндцы могут свободно обходить один другого, используя второе измерение: они перестанут быть рабами пространства. Вы поняли, что Калуца К. Лин описывает жизнь в «утолщённой» вселенной Садового шланга.

В действительности, если циклическое измерение разрастётся, «раздув» Линляндию до вселенной Садового шланга, ваша жизнь изменится очень сильно. Возьмём, например, ваше тело. Поскольку вы линляндец, всё, что находится между вашими глазами, составляет ваше тело. Следовательно, ваши глаза играют такую же роль для вашего линейного тела, как кожа для обычного человеческого тела: они образуют барьер между вашим телом и окружающим его миром. Врач в Линляндии может получить доступ к внутренностям вашего линейного тела только проколов их поверхность, – другими словами, «хирургическое вмешательство» в Линляндии осуществляется через глаза.

А теперь представим, что произойдёт, если Линляндия действительно имеет секретное, скрытое измерение типа предложенного Калуцей К. Лином, и это измерение развернётся до размера, поддающегося непосредственному наблюдению. Теперь другой линляндец может видеть ваше тело под углом и, следовательно, непосредственно сможет увидеть его внутренность, как показано на рис. 8.5.

Рис. 8.5. Когда Линляндия расширится до размеров вселенной Садового шланга, один линляндец сможет заглянуть внутрь тела другого

Используя это второе измерение, врачи смогут оперировать ваше тело, получая доступ непосредственно к вашим открытым внутренностям. Чудеса! Со временем, несомненно, у линляндцев разовьётся покров, подобный кожному, защищающий вновь открывшиеся внутренности их тел от контакта с внешним миром. Более того, они несомненно эволюционируют в существ, имеющих не только длину, но и ширину: они станут плоскими существами, скользящими по двумерной вселенной Садового шланга, как показано на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Плоские двумерные существа, живущие во вселенной Садового шланга

Если циклическое измерение станет очень большим, эта двумерная вселенная начнёт очень походить на Флатляндию Эббота – воображаемый двумерный мир, который Эббот наделил богатой культурой и даже кастовой системой, основанной на геометрической форме тел обитателей. Если в Линляндии трудно представить себе что‑либо интересное – там просто нет места дою этого, – то жизнь на Садовом шланге переполнена возможностями. Эволюция от одного к двум наблюдаемым протяжённым пространственным измерениям очень радикальна.

А теперь как рефрен: почему на этом надо остановиться? Двумерная вселенная сама может иметь свёрнутое измерение и, следовательно, втайне от нас быть трёхмерной. Мы можем проиллюстрировать это рис. 8.4, представив, что существует только два протяжённых пространственных измерения (хотя при первом описании этого рисунка мы считали, что плоская сетка представляет три протяжённых измерения). Если циклическое измерение развернётся, двумерные существа увидят, что они оказались в совершенно ином мире, в котором движения не ограничены направлениями влево‑вправо и вперёд‑назад. Теперь эти существа могут двигаться и в третьем измерении – в направлении «вверх‑вниз» вдоль круга. На самом деле, если третье измерение станет достаточно большим, это будет наша трёхмерная Вселенная. В настоящее время мы не знаем, простираются ли наши пространственные измерения до бесконечности, или они замыкаются на гигантскую окружность, недоступную в самые мощные телескопы. Если циклическое измерение на рис. 8.4 станет достаточно большим – миллиарды световых лет в поперечнике – этот рисунок вполне может быть изображением нашего мира.

И снова рефрен: почему на этом надо остановиться? Это приведёт нас к представлениям Калуцы и Клейна: наша трёхмерная Вселенная может иметь свёрнутое, четвёртое пространственное измерение, о котором никто не подозревал. Если эта поразительная возможность или её обобщение на случай многих свёрнутых измерений (мы вскоре рассмотрим его) истинны, и если эти свёрнутые измерения раскроются до макроскопического размера, то, как показывают приведённые выше примеры с меньшим числом измерений, жизнь в том виде, в котором мы её знаем, изменится очень сильно.

Удивительно, однако, что даже если дополнительные измерения всегда будут оставаться в свёрнутом состоянии и будут малы, сам факт их существования ведёт к глубоким последствиям.