Цель работы: освоить метод крутильных колебаний для измерения момента инерции тела, измерить момент инерции тела с осевой симметрией.
Оборудование: проволока, цилиндрическое тело, тело сложной формы с осевой симметрией, масштабная линейка, штангенциркуль, микрометр, секундомер.
Краткая теория
Момент инерции J твердого тела относительно неподвижной оси называется физическая величина, характеризующая способность данного тела запасать количество вращательного движения (т. е. момента импульса 
):
, (1)
где w - угловая скорость. Момент инерции - мера инертности вращательного движения. Это величина, аналогичная массе в поступательном движении.
Момент инерции J материальной точки относительно оси вращения равен произведению m массы точки на квадрат расстояния r от этой точки до оси вращения:
, (2)
Момент инерции твердого тела относительно оси вращения зависит от распределения массы данного тела вокруг выбранной оси и может быть рассчитан по формуле:
, (3)
Где ri – расстояние элемента массы 
от оси вращения. То же в интегральной форме:
, (4)
Если тело однородно, т. е. его плотность 
одинакова по всему объему V, то:
, (5)
Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:
| Тело | Ось, относительно которой определяется момент инерции | Формуламоментаинерции |
| Однородный тонкий стержень массой m и длиной l | Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню | 
|
| Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню | 
| |
| Тонкие кольцо, обруч, труба радиусом R и массой m | Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания | 
|
| Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой m | Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания | 
|
| Однородный шар массой m и радиуса R | Проходитчерезцентршара | 
|
Теорема Штейнера. Момент инерции J тела относительно произвольной оси определяется по формуле:
,(6)
где J 0 – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; 
- расстояние между осями; m – масса тела.
Рассмотрим несколько примеров расчета момента инерции для тел правильной геометрической формы.
Пример 1. Момент инерции сплошного однородного кругового цилиндра массой m и радиусом R относительно его оси.
Разобьем мысленно цилиндр на очень большое число соосных тонкостенных цилиндров. Пусть r – радиус какого-либо из них, а толщина его стенки dr<<r (рис.1). Тогдамоментинерцииэтогоэлементасплошногоцилиндраравен
,
так как все малые элементы его находятся на одном и том же расстоянии R от его оси.
. (*)
где Н – высота цилиндра; r - его плотность. Искомый момент инерции сплошного цилиндра находим, суммируя моменты инерции всех его малых элементов, т.е. интегрируя выражение (*) по r от 0 до R:
, (7)
так как масса цилиндра 
.
Пример 2. Момент инерции однородного тонкого стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей через его середину.
|
Разобьем мысленно стержень на малые отрезки. Пусть x – расстояние от одного из таких элементов до оси, а dx – его длина. Тогда момент инерции этого элемента
,
где S – площадь поперечного сечения стержня (
); r - его плотность. Момент инерции одной половины стержня находим интегрируя выражение (**) от 0 до 
, а искомый момент всего стержня вдвое больше:
, (8)
так как масса стержня m = rlS.
Однако если тело имеет сложную форму, то расчёт его момента инерции по формуле (4) становится трудным и в ряде случаев его проще определить опытным способом. Одним из методов опытного экспериментального определения момента инерции тела является метод крутильных колебаний. Схема крутильного маятника изображена на рис. 3.
Он представляет собой упругую проволоку с закреплённым верхним концом, к нижнему концу которой жёстко присоединено изучаемое тело. Поворачивая тело на угол j, мы создаём в проволоке вращающий момент упругой силы Мупр, который по закону Гука пропорционален деформации кручения j:
, (9)
Коэффициент пропорциональности 
в законе Гука называется модулем кручения и зависит от параметров проволоки:
, (10)
где d – диаметр проволоки, l – длина проволоки, N – модуль сдвига материала проволоки.
По второму закону Ньютона, момент упругой силы создаёт угловое ускорение, пропорциональное этому моменту:
, (11)
Таким образом, свободное вращение крутильного маятника при пренебрежении силами трения, будет описываться дифференциальными уравнениями, объединяющими второй закон Ньютона и Гука:
, (12)
Интегрируя это выражение получим его решение
(13)
Следовательно, при допустимости сделанных нами упрощений, маятник будет совершать гармонические колебания с периодом
(14)
Порядок выполнения работы
Задание №1. Определение модуля кручения и модуля сдвига проволоки
1. Закрепить эталон (цилиндрическое тело) на проволоке (рис.3).
2. Повернуть тело на небольшой угол вокруг оси и отпустить его. Телобудетсовершатьколебания.
3. Измерить (не менее 3 раз) время t 10 - 20 колебаний (n - число колебаний).
4. Рассчитать период колебаний эталона по формуле T э = t / n, найти его среднее значение и среднюю абсолютнуюпогрешность.
5. Результатызанести в таблицу№1.
Таблица №1
| N | n | T | Tэ | DTэ |
| C | с | c | ||
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| Среднеезначение | ||||
6. Содержание последней строки таблицы 1 занести в таблицу 2.
7. Записать в таблицу №2 массу эталона, с указанием максимальной абсолютной погрешности.
8. Измерить радиус R эталона штангенциркулем и, оценив абсолютную и относительную погрешность данного прямого измерения, записать полученные результаты в таблицу №2.
9. Используя формулу (7), рассчитать момент инерции эталона I э. Относительную погрешность косвенного измерения момента инерции эталона εI рассчитать по формуле: 
.
Абсолютную погрешность оценить из соотношения: 
.
Результатызанести в таблицу № 2.
10. Из формулы (14) следует, что модуль кручения проволоки f можно рассчитать, зная I э и Тэ. Рассчитать f, его относительную εf и абсолютную Df погрешности, используя формулы, приведенные ниже. Записатьрезультаты в таблицу № 2.
, 
.
11. Измерить длину проволоки l линейкой, а ее диаметр d при помощи микрометра. Оценить абсолютную и относительную погрешности прямого измерения. Результат занести в таблицу № 2.
Таблица №2
| a | Единицыизмерения | a ± Da |  %
|
| m | |||
| R | |||
| Iэ | |||
| Тэ | |||
| f | |||
| l | |||
| d | |||
| N |
12. Рассчитать по формуле (10) модуль сдвига N материала проволоки. Относительную εN иабсолютнуюΔ N погрешности косвенного измерения модуля сдвига рассчитать по формулам:
, 
.
Результатызанести в таблицу № 2.
13. Определить материал проволоки по модулю сдвига, сравнивая полученный результат с данными справочника.
Задание №2. Определение момента инерции тела сложной формы.
1. Собрать тело сложной формы путем закрепления дополнительного элемента на эталоне. Заставить тело сложной формы совершать крутильные колебания. Измерить время t 10 - 20 колебаний не менее 3 раз. Рассчитать период колебаний по формуле T = t / n, найти его среднее значение и среднюю абсолютнуюпогрешность. Результатызанести в таблицу №3.
Таблица №3
| N п/п | n | T | T | DT |
| С | с | c | ||
| 1. | ||||
| 2. | ||||
| 3. | ||||
| Среднеезначение | ||||
2. Получить выражение для момента инерции из формулы (14). Вычислить момент инерции тела сложной формы, используя значение модуля кручения проволоки f, найденное в первом задании, и среднее значение периода крутильных колебаний для тела сложной формы (таблица 3).
3. Самостоятельно получить формулу для расчета относительной погрешности εI косвенных измерений момента инерции тела сложной формы. Рассчитать относительную погрешность εI и абсолютную погрешность 
косвенных измерений момента инерции тела сложной формы.
4. Выписать окончательные результаты в таблицу № 4.
5. Сделать вывод о проделанной работе.
Таблица № 4
| а | Единицаизмерения | a ± D а | %
|
| f | |||
| N | |||
| I |
Контрольныевопросы
1. Назовите и запишите основные динамические характеристики вращательного движения. Покажите аналогию между основными динамическими характеристиками поступательного и вращательного движения.
2. Дайте определение момента инерции твердого тела. Назовите единицы измерения этой физической величины.
3. Как рассчитать момент инерции материальной точки и твердого тела?
4. Используя формулу (4) получите выражения для моментов инерции некоторых однородных тел правильной геометрической формы:
а) однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести стержня перпендикулярно ему;
б) однородного тонкого стержня относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно ему;
в) кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания;
г) диска относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости основания;
д) шара относительно оси, проходящей через его центр.
5. Покажите на примере, как, используя теорему Штейнера, найти момент инерции тела относительно произвольной оси.
6. Вычислите момент инерции медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска и отстоящей от его центра на расстояние 2 R, если его толщина b =2 мм и радиус R =100 мм.
7. Сформулируйте второй закон Ньютона для вращательного движения. Приведитепримерыеговыполнения.
8. Выведите формулу периода для крутильного маятника.
9. Запишите закон Гука для деформации кручения.
10. Объясните физический смысл модуля кручения и модуль сдвига. В каких единицах измеряются эти величины?
Литература
1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учебн. пособие для студентов втузов. - 8-е изд., стер.- М.: Академия, 2009. - 720 с.
2. Савельев И.В. Курс физики: учеб.пособие для вузов. Т. 1: Механика. Молекулярная физика. — 4-е изд., стер. — СПб.: Лань, 2008. — 352 с.
3. Трофимова Т.И. Физика: учебник для высшего проф. образования. - М.: Академия, 2012. - 320 с.
4. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для инженерно - техн. спец. вузов. - 18-е изд,, стер. - М.: Академия, 2010. – 560 с.
