Справочный материал по математике

1.Векторы.

    Для успешного освоения предлагаемого курса физики нужно вспомнить, что такое вектор и как с ним работать, поскольку в описании физической реальности нельзя обойтись без векторных величин. Многие физические величины являются векторами.

    Вектор можно изобразить в виде направленного отрезка определенной длины. Вектор имеет две характеристики: модуль (абсолютную величину или просто величину) и направление. Каждая из этих характеристик может быть постоянной или изменяться независимо от другой.

    Векторы складываются по правилу треугольника, как это показано на рисунке.

 

 

 

 

 

    При умножении вектора на число получается новый вектор, который направлен в ту же сторону, что и старый, если число положительное, и в противоположную сторону, если число отрицательное. Модуль нового вектора равен произведению модуля старого вектора на модуль этого числа.

    При умножении вектора на число 0, получается нулевой вектор, не имеющий ни величины, ни направления.

    Любой вектор можно спроецировать на ось координат. Проекция вектора на ось координат равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между вектором и осью. Если угол острый, то его косинус и соответственно проекция вектора положительны. Если угол тупой, то его косинус и соответственно проекция вектора отрицательны. Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю.

 

 

 

 

α

        0                       

 

    Любой вектор можно представить в виде суммы трех его составляющих по осям координат:

где , ,и – проекции вектора, а  – единичные векторы (орты) соответствующих осей координат.

Вектор равен сумме трех векторов , , , каждый из которых направлен вдоль своей оси координат.

 

0

 

 

 

2.Изменение векторной величины.

    Допустим некоторая векторная физическая величина, например скорость , изменилась с течением времени. Тогда изменение скорости тоже будет вектором:

Для нахождения вектора  это векторное равенство перепишем по-другому

и найдем этот вектор по правилу треугольника. Откладываем из одной точки два вектора  и . По правилу треугольника строим вектор . Обратите внимание, какой физический смысл здесь раскрывается: Вектор изменения скорости  соединяет конец первого вектора с концом второго, то есть показывает, как изменился вектор скорости (увеличился или уменьшился и в какую сторону повернулся).

 

 

 

 

3. Скалярное и векторное произведение векторов.

    Существуют два разных умножения вектора на вектор: скалярное и векторное.

    Результатом скалярного произведения вектора на вектор является число, равное произведению модуля первого вектора на модуль второго и на косинус угла между ними:

или равное сумме произведений одноименных проекций этих векторов на оси координат:

Скалярное умножение обозначается точкой.

 

 

α

         0                       

 

    Результатом векторного произведения вектора на вектор является вектор. Векторное умножение обозначается косым крестиком. Например, вектор равен векторному произведению векторов  и :

 

Модуль вектора  равен произведению модуля первого вектора на модуль второго и на синус угла между ними:

 

α

 

    Вектор  перпендикулярен векторам  и  и его направление определяется по правилу буравчика (правого винта), как это показано на рисунке. Буравчик вращается от первого вектора  в сторону второго вектора . Если векторы – множители поменять местами, то вектор  изменит направление на противоположное.

    Если два вектора параллельны, то их векторное произведение равно нулевому вектору .

 

4.Дифференциал, производная и интеграл.

    Для успешного освоения предлагаемого курса физики нужно также вспомнить основы математического анализа и, как минимум, уметь найти производную от комбинации элементарных функций и взять табличный интеграл.

    Напомним определение производной. Пусть некоторая физическая величина, например вектор скорости, меняется с течением времени. Тогда время t является независимой переменной, то есть аргументом (играет роль x из математики).А скорость  является зависимой переменной, то есть функцией (играет роль y из математики).Производной называется предел

    Если , то и Существует обозначение для величины, которая стремится к 0, но не равна 0. Эта величина называется бесконечно малой. Все дело в том, что она не имеет конкретного значения. Зато она всегда меньше любого сколь угодно малого числа, какое бы мы ни назвали. Для такой бесконечно малой величины существует обозначение: . Это выражение называется дифференциалом и является в данном случае бесконечно малым промежутком времени.  – бесконечно малое приращение вектора скорости. Имеем дробь:

которая обладает всеми свойствами дроби из математики, за исключением того, что ее значение нельзя получить обычным делением числителя на знаменатель, а нужно перейти к пределам и раскрыть получившуюся неопределенность. Для любой функции в математике это все проделано и сведено в правила взятия производной от элементарной функции.

    Например, некоторое тело движется так, что модуль его скорости зависит от времени по уравнению:

где  и  – константы.Найдем производную от модуля скорости по времени:

Как Вы вероятно помните, эта производная является ускорением.

    Настоятельно рекомендуем каждую производную от функции y по аргументу x, которая встретится Вам в физике, обозначать только такой дробью:

    Производная по времени от любой физической величины является скоростью изменения этой величины.

    Действие, обратное к взятию производной, называется интегрированием. Пусть

Тогда

Для нахождения величины , если известно значение , нужно взять определенныйинтеграл от  по :

5. Поток и циркуляция вектора.

    Пусть имеется некоторая векторная величина Потоком вектора через бесконечно малую площадку dS называется скалярное произведение

где – вектор, направленный перпендикулярно (по нормали) к площадке с ее лицевой стороны, по величине равный площади , а  – проекция вектора  на этот перпендикуляр (нормаль).

 

 

 

    Поток вектора  через поверхность S равен интегралу от скалярного произведения вектора  на вектор  вдоль всей поверхности S:

    Циркуляция вектора  – это интеграл от скалярного произведения вектора  на вектор элементарного перемещения  вдоль некоторого контура (замкнутой линии в пространстве):

где  – проекция вектора  на направление перемещения.

 

 

6. Степень и логарифм.

    Для успешного освоения предлагаемого курса физики нужнотакже вспомнить, что такое степень и логарифм. Степенью называется двухуровневое выражение вида , нижняя и верхняя части которого неравнозначны.

 

Показатель степени

Степень

 

b

a

Основание степени

 

 

    Для удобства обозначим эту степень буквой у. Имеем равенство

где а – основание степени у, а b – показатель степени у. Чтобы выразить а и b из этого равенства, нужно применить разные правила.

    Основание а степени у равно корню из этой степени:

а показатель b степени у равен логарифму этой степени по основанию а:

Итак, показатель степени и логарифм степени – это практически одно и то же.

    Чтобы убедиться, проверьте тождество:

и левая и правая части которого равны у.

 

СОДЕРЖАНИЕ

		Стр.
1.	Введение	1
2.	Календарный план.	2
3.	Типы задач по классической механике.	3
4.	Вопросыпо механике к контрольной работе № 1.	4
5.	Сравнительная таблица по механике.	6
6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.	Формулы по механике к контрольной работе № 1. Задачи по механике к контрольной работе № 1. Типы задач и вопросов по теме «Электромагнетизм и волны». Формулы по электромагнетизму к контрольной работе № 1. Задачи по электромагнетизму к контрольной работе № 1. Вопросы к контрольной работе № 2. Типы задач к контрольной работе № 2. Формулы к контрольной работе № 2. Задачи к контрольной работе № 2. Вопросы для подготовки к первому домашнему заданию.	7 7 10 11 12 14 15 17 19 24
16.	Радиоактивность	26
17. 18.	Вопросы для подготовки ко второму домашнему заданию. Элементарные частицы.	28 31
19. 20. 21. 22.	Задание для самостоятельной работы. Адроны. Вопросы и формулы для подготовки к экзамену. Содержание зачетной работы.	33 34 35 40
23.	Справочный материал по математике.	42