Теорема о проекциях скоростей двух точек тела, движущего плоскопараллельно

 

Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры. Принимая точку А за полюс (рис.1.7), получаем

.

Отсюда, проецируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор  перпендикулярен АВ, находим

v_B · cos β = v_A · cos α + v _{В A} · cos90°.                                         

т.к. v _{В A} · cos 90°=0 получаем: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны.

 

Рис.1.7

 

Задача 1

Стержень АВ скользит по гладкой стене вниз и гладкому полу, скорость точки A V_A =5м/с, угол между полом и стержнем АВ равен 30⁰. Определить скорость точки В.

Ответ:

Решение Так как точки А и В принадлежат одному телу, то воспользуемся теоремой о проекции двух скоростей точек тела на прямую проходящую через эти точки.

 

 

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

 

При определении скоростей точек плоской фигуры через скорость полюса, скорость полюса и скорость вращательного движения вокруг полюса могут быть равны по величине и противоположны по направлению и существует такая точка Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю , называют ее мгновенным центром скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было мгновенно вращательным вокруг оси проходящей через  мгновенный центр скоростей (рис. 1.8).

v_A = ω · PA; ().

Рис.1.8

 

Т.к. v_B = ω · PB; (), то w = v_B / PB = v_A / PA                 

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны кратчайшим расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1) для определения положения мгновенного центра скоростей надо знать величину и направления скорости  и направление скорости  каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры; мгновенный центр скоростей P находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек;

2) угловая скорость ω плоской фигуры в данный момент времени  равна отношению скорости  к расстоянию от нее до мгновенного центра Р скоростей: ω = v _А / PА;

3) Скорость точки  по отношению к мгновенному центру скоростей P укажет направление угловой скорости w.

4) Величина скорости точки  прямопропорциональна кратчайшему расстоянию от точки В к мгновенному центру скоростей Р     v_А = ω·ВР

 

Задача 1

Кривошип ОА длиной 0,2м вращается равномерно с угловой скоростью ω =8 рад/с. К шатуну АВ в точке С шарнирно прикреплен шатун CD. Для заданного положения механизма определить скорость точки D ползуна, если угол .

Решение Так как точка А принадлежит кривошипу ОА совершающему вращательное движение вокруг точки О, то скорость этой точки равна  и направлена  к ОА в сторону .

Движение точки В ограничено горизонтальными направляющими, ползун может совершать только поступательное движение по горизонтальным направляющим. Скорость точки В  направлена в туже сторону что и . Так как две точки шатуна имеют одинаковое направление  скоростей, то тело совершает мгновенно поступательное движение, и скорости всех точек шатуна имеют одинаковое направление и значение.

Шатун CD совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей шатуна С D – P лежит на пересечении перпендикуляров к  и . Определим угловую скорость шатуна CD и скорость точки D.

          

   

Ответ: