Плоскопараллельное движение твердого тела

 

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П (рис.1.5).

Рис.1.5

 

Плоское движение совершают многие части механизмов и машин, например катящееся колесо на прямолинейном участке пути, шатун в кривошипно-ползунном механизме. Частным случаем плоскопараллельного движения является вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Прямая  плоскости П движется поступательно и для изучения плоского движения достаточно рассмотреть движение плоской фигуры S.

Положение плоской фигуры S в плоскости Оху определяется положением двух произвольных точек А и В этой фигуры (рис.1.6).

 

Рис.1.6

 

Положение отрезка АВ можно определить, зная координаты x_A и y_A точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью Oх. Точку A, выбранную для определения положения фигуры S, будем в дальнейшем называть полюсом.

Для задания плоского движения тела достаточно задать положение полюса А – ,  и угла φ

x_A = f ₁(t); y_A = f ₂(t); φ = f ₃(t).

Первые два уравнения определяют поступательное движение вместе с полюсом A. Третье уравнение определяет вращательное движение вокруг оси проходящей через полюс (ось Az).

Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения полюса:

; ; ; ,

а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса

; .

 

Определение скоростей точек плоской фигуры

 

Скорость произвольной точки М фигуры определим как сумма скоростей, которые точка получает при поступательном движении вместе с полюсом и вращательном движении вокруг полюса.

Представим положение точки М как  (рис.1.6).

Рис.1.6

Продифференцировав это выражение по времени получим:

, т.к. 

.                                                      

При этом скорость v_MA. которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А, будет определяться из выражения

v_MA = ω · MA,

где ω - угловая скорость плоской фигуры.

Скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости точки А, принятой за полюс, и скорости, точки М при вращении фигуры вокруг полюса. Модуль и направление скорости этой скорости находятся построением параллелограмма скоростей.

 

Задача 1

Определить скорость точки А, если скорость центра катка равна 5м/с, угловая скорость катка . Радиус катка r =0,2м, угол . Каток катиться без скольжения.

Решение

Так как тело совершает плоскопараллельное движение, то скорость точки А будет состоять из скорости полюса (точка С) и скорости полученной точкой А при вращении вокруг полюса С.

,

Ответ: