Сложение и вычитание двоичных чисел с фиксированной точкой.

1.
Сложение и вычитание двоичных чисел с фиксированной точкой в простых кодах.

Рассмотрим примеры сложения двоичных чисел в одном из простых кодов:

При сложении двух двоичных кодов, по абсолютной величине меньше единицы, код суммы может по абсолютной величине превысить единицу или стать равным единице, в этом случае произойдёт переполнение разрядной сетки, что приведёт к ложному результату.

Внаших примерах прямой код будет равен:

1. Хпр = 1.0010 2. Хпр = 0.0110	3. Хпр = 1.0110 4. Хпр = 0.0010

Переполнение разрядной сетки при образовании суммы по абсолютной величине больше "1" можно обнаружить двумя способами.

1. Сравнением знака полученной суммы со знаком действительной суммы. Как видно из

примеров 1 и 4, происходит полное искажение результата сложения.

2.  Анализом переносов, возникающих при сложении двоичных чисел Признаками переполнения разрядной сетки являются либо наличие переноса а знаковый разряд при отсутствии переноса из разряда знака (пример 1.), либо наличие переноса из знакового разряда суммы при отсутствии переноса в этом разряде (пример 4.). Рели нет переноса из знакового разряда и в знаковый разряд суммы (пример 3.) или есть оба этих переноса (пример 2.), по переполнения разрядной сетки нет.

2. Сложение чисел в модифицированном обратном коде.

Сложение двоичных чисел в этом коде осуществляется по правилам двоичной арифметики. Единицу переноса, возникающую в старшем разряде знаковой суммы, необходимо прибавить к младшему разряду суммы, т.е. образуется циклический перенос

3. Сложение чисел в модифицированном дополнительном коде.

Сложение двоичных чисел в модифицированном коде осуществляется также, как в обратном.

Отличиесостоит в том, что единица переноса, возникающая в старшем знаковом разряде суммы отбрасывается. Знаковым разрядом числа является второй слева от запятой разряд. Первый разряд служит для анализа переполнения разряднойсетки.

Переполнение разрядной сетки в модифицированных машинных кодах обнаруживается способом сравнения знаковых разрядов полученной суммы.

 

Рассмотрим два примера:

Получили в знаковых разрядах комбинации ”01" и "10". что является признаком переполнения разрядной сетки.

 

 

2.9. Сложение и вычитание двоичных чисел с плавающей точкой.

 

Сложение и вычитание двоичных чисел с плавающей точкой производится следующим образом:

1. Производим выравнивание порядков.

При сложении мантисс необходимо, чтобы веса единиц одноимённых разрядов мантиссы чисел были одинаковыми. Для этого мантиссы сдвигаются относительно друг друга так, чтобы их порядки стали равными. При выравнивании порядков нельзя получать мантиссы больше единицы, поэтому их следует выравнивать в сторону большего порядка. Мантисса с меньшим порядком сдвигается вправо на количество разрядов, равное разности порядков.

2. Производим сложение мантисс.

Сложение мантисс с выравненными порядками производится аналогично сложению чисел с фиксированной точкой. Для представления отрицательных мантисс используется дополнительный или обратный модифицированный код. Сумма мантисс является суммой чисел. Порядок суммы чисел равен общему порядку, т.е. порядку большего числа.

3. Нормализация результата.

При сложении мантисс по абсолютной величине меньше единицы, возможны случаи переполнения разрядной сетки - нарушение нормализации слева от запятой. Признаком такого нарушения служит появление в знаковых разрядах модифицированного кода сумма разных цифр 01,011... или 10,101.... Для восстановления нормализации мантисса суммы сдвигается на один разряд вправо, а порядок суммы увеличивается на единицу.

При сложении мантисс возможны случаи получения результата, меньшего 0,010..., т.е. нарушения нормализации справа от запятой. Признаком такого нарушения является наличие в мантиссе суммы одного или нескольких подряд идущих нулей справа от запятой. При нормализации мантисса сдвигается влево на такое количество разрядов, чтобы старшая цифра мантиссы была отлична от нуля. Порядок суммы уменьшается на количество единиц, равное числу сдвигов мантиссы при нормализации. Если все разряды мантиссы суммы равны нулю, то нормализация не производится.

Рассмотрим примеры:

 

1. Сложить два числа: Х₁=0.11010×10⁺¹⁰⁰ Х₂=0.111000×10⁺¹¹⁰

1)
 Выравниваем порядки слагаемых:

 

Т.к. р₁ на две единицы меньше р₂, то сдвигаем вправо мантиссу M₁- 0,11010 = 0,001101

2) Складываем мантиссы:

 

3) Нормализуем результат:

 

X₁+X₂ = 01.000101×10⁺¹¹⁰, для чего сдвигаем мантиссу на один разряд вправо и увеличиваем порядок на единицу.

Получим результат: X₁+X₂ = 00.100010×10⁺¹¹¹

2.
 Сложить два числа: Х₁ = 0.101000×10⁺¹¹⁰ Х₂=-0.111000×10⁺¹⁰¹

1) Выравниваем порядки слагаемых:

 

Т.к. p1 на единицу больше р2, то сдвигаем вправо мантиссу М₂= 0.111000 = 0.011100

2)
Складываем мантиссы:

 

3) Нормализуем результат:

Х₁+Х₂ = 00.001100×10⁺¹¹⁰, для чего сдвигаем мантиссу суммы на два разряда влево и уменьшаем порядок на две единицы. Х₁+Х₂ = 00.1100×10⁺¹⁰⁰

 

2.10. Сложение и вычитание десятичных чисел.

В некоторых ЭВМ предусмотрена возможность выполнения арифметических операций над десятичными числами, представленными в двоично-десятичной системе счисления. Исходные десятичные числа хранятся в оперативной памяти в прямом коде 8-4-2-1. При выполнении операции они преобразуются в другой избыточный код, упрощающий действия в АЛУ.

Рассмотрим операции сложения и вычитания десятичных чисел, представленных в коде с избытком 6.

Операция сложения производится только над модулями десятичных чисел. Знак результата определяется отдельно в результате анализа знаков чисел.

Сложение модулей десятичных чисел, имеющих одинаковые знаки.

Операция выполняется по следующему правилу:

1. Одно из слагаемых представляется в коде с избытком 6. другое - в коде 8-4-2-1.

2. Сложение двоично-десятичных модулей выполняется по правилам двоичной арифметики.

3. Если при сложении тетрад получается результат больше 10. то осуществляется перенос в следующую тетраду. Результат в данной тетраде получается в естественном двоично-десятичном коде 8-4-2-1 и коррекция тетрады не требуется.

4. Если при сложении в каких либо тетрадах переносы отсутствуют, то для получения истинного результата из кодов этих тетрад необходимо вычесть избыток 6 (сложить дополнение до 16. т.е. 1010).Возникающие при этом межтетрадные переносы не учитываются.

Пример: Сложить А=251₁₀ и B=39₁₀

1. Т.к. слагаемые одного знака, то и результат сложения будет положительным.

2. Представим модули десятичных чисел А и В в коде 8-4-2-1:

       А = 0010 0101 0001_2-10

       В = 0000 0011 1001_2-10

3.
Производим сложение модулей А и В. и с избытком 6.

 

4.
Т.к. был перенос из тетрады в тетраду, производим коррекцию:

 

5. Результат сложения:

 

А + В = 0010 1001 0000_2-10 = 290₁₀

Сложение отрицательных чисел производится также, как и положительных. Только результат будет отрицательным.

Сложение модулей десятичных чисел, имеющих разные знаки.

Операция выполняется по следующему правилу:

1. Модуль положительного числа представляется в прямом коде 8-4-2-1: модуль отрицательного

числа в дополнительном коде с избытком 6. Для получения дополнения отрицательного числа от модуля надо инвертировать значения разрядов всех его тетрад и к младшему разряду последней (младшей) тетрады прибавить единицу.

Пункты 2, 3 и 4 выполняются также, как и при выполнении операции сложения с одинаковыми знаками.

5. Если при сложении тетрад возникает перенос из старшей тетрады, то он теряется, а результату присваивается знак т.е. результат получается в прямом коде.

6. Если при сложении тетрад не возникает перенос из старшей тетрады, то результату присваивается знак "-", т.е. результат получается в дополнительном избыточном коде и необходимо перейти к прямому избыточному коду.

7. Для получения истинного результата необходима коррекция прямого избыточного кода по всем тетрадам.

Пример: Сложить А = 69₁₀ и В = 228₁₀.

1. Представим модули десятичных чисел А и В в коде 8-4-2-1:

А = 0000 0110 1001_2-10

В = 0010 0010 1000_2-10

 

2.
Производим сложение модулей А и В, представленных в дополнительном коде с избытком 6:

 

Т к. перенос из старшей тетрады отсутствует, то результат получился в дополнительном коде. Наличие переносов между тетрадами требует коррекции только старшей тетрады.

3.
Производим коррекцию дополнительного кода:

 

4. Переходим от дополнительного кода результата к прямому:

А + В(пр) = 0111 1011 1111

5. Производим коррекцию каждой тетрады результата и получаем истинное значение:

6. Результат сложения:

А + В = -0001 0101 1001_2-10 = -159₁₀

 

2.11. Способы представления и передачи информации в ЭВМ.

Двоичное число в ЭВМ представляется набором двоичных цифр. В цифровых устройствах коды представляются в виде двух различных уровней напряжения или тока, или в виде импульсов. Один уровень или наличие импульса обозначает 1; другой уровень или отсутствие импульса - U.

В современных ЭВМ широко используются потенциальный и импульсный способы представления двоичных чисел электрическими сигналами.

При потенциальном (статическом) способе цифре соответствует высокий U_B (1) или низкий U_H (0) уровни напряжения, которые сохраняются в течение всего времени t представления данной цифры (рис.9).

Рис.9. Потенциальный способ представления двоичных чисел.

 

При импульсном способе цифре соответствуют электрические импульсы определённой полярности (рис. 10).

Рис.10. Импульсный способ представления двоичных чисел.

 

Наличие импульса в течение промежутка времени Δt обычно соответствует коду 1, отсутствие - коду 0. Иногда коду 1 соответствует импульс одной полярности, а коду 0 - импульс противоположной полярности. С переменой кода происходит изменение уровня электрическою сигнала в дискретные моменты времени, временной интервал между этими моментами времени называют тактом или периодом представления информации.

Для передачи двоичной кодовой информации в ЭВМ применяют последовательный, параллельный и параллельно-последовательный способы.

1. Последовательный способ.

При этом способе передачи двоичное число передаётся по одному каналу связи, разряд за разрядом. Для придания временной определённости в работе устройств ЭВМ применяют второй канал связи для вспомогательных синхронизирующих импульсов, отделяющих разряды друг от друга.

На рис. 11 показаны примеры последовательного импульсного и последовательного потенциального кодов, появляющихся в дискретные моменты времени одновременно с синхроимпульсами.

Рис.11. Последовательный способ передачи двоичных сигналов.

 

2. Параллельный способ.

При этом способе передачи все разряды двоичного числа передаются одновременно по одной шине, причём каждый разряд передаётся по своему отдельному каналу связи. Значения цифр всех разрядов слова передаются по нескольким электрическим цепям одновременно (количество цепей равно числу разрядов).

 

3. Параллельно-последовательный способ.

Для достижения высокого быстродействия основные устройства ЭВМ строятся

параллельными, Однако они требуют большего количества аппаратуры, чем устройства последовательного действия. Поэтому в некоторых устройствах применяют параллельно- последовательный код. В этом случае число делится на группы, разряды каждой группы передаются параллельно, а сами группы - последовательно.