Оценивание параметров модели ARFIMA

 

Неверное определение параметров p и q   приводит к несогласованной оценке коэффициентов AR - и MA - моделей, но ошибка в оценке параметра d дает неверную интерпретацию обеих моделей из-за потери идентификации. Некоторые процедуры, разработанные для моделей с короткой памятью (ARMA), могут быть адаптированы и для моделей ARFIMA, но нет гарантии в приемлемости такого подхода. Это выглядит особенно некорректно в ситуации, когда при моделировании свойств рядов с короткой памятью пытаются оценить характеристики ряда с долгой памятью. 

    Существует несколько методов для оценки параметра d во временной или частотной областях.

 

    Временная область

Метод нормированного размаха. Рассматриваемый метод был предложен английским ученым Г.Херстом в 50-е годы прошлого века для оценки цикличности колебаний уровня воды в водохранилищах, которые заполнялись водой из Нила. Он обратил внимание на цикличность подъема и падения уровней воды, но трудно было установить какую-либо закономерность известными статистическими методами. Вследствие этого Херст разработал собственную методологию измерения колебания уровня воды в резервуаре относительно среднего с течением времени. Можно было ожидать, что диапазон этих флуктуаций будет меняться в зависимости от величины временного промежутка измерений. Для нормировки временных измерений Херст ввел безразмерное отношение посредством деления размаха R на стандартное отклонение наблюдений S. Этот способ стал называться методом нормированного размаха (R / S -анализ). Размах определяется разностью между максимальным и минимальным значениями Y_r

                                             (3.45)

Здесь параметр Y   определяет собой кумулятивный временной ряд, равный

                                                            (3.46)

      В выражении (3.46) величины    являются центрированными значениями исходного временного ряда; x_m - среднее значение ряда. При этом последнее значение Y_n всегда будет равно нулю, так как   

   Вследствие того, что Y отрегулирован до нулевого среднего значения, максимальная величина Y всегда будет неотрицательной, а минимальная – неположительной. При этом условии величина R_n всегда неотрицательна.

      Величина R_n, по существу, является расстоянием, которое проходит система за временной интервал n. При n = T можно применить уравнение, найденное А. Энштейном для расстояния, которое покрывает случайная частица за время T

R = T .                     (3.47)

 

Это уравнение обеспечивает независимость временных рядов для увеличивающихся значений n. Однако выражение (3.47) применяется только для броуновского движения. Для использования   этой концепции к временным рядам, не подчиняющимся броуновскому движению, нужно обобщить уравнение (3.47) для систем, которые не являются независимыми.

     Херст нашел более общую форму уравнения (3.47), имеющего вид

                                                                       (3.48)

Здесь с – константа; H – показатель Херста.

     R / S называется нормированным размахом, так как имеет нулевое среднее и выражается в виде локального среднеквадратического отклонения (СКО). Нормировка размаха R делением на СКО S_n позволяет сравнивать различные явления, а также периоды времени, которые удалены друг от друга.

     После логарифмирования выражения (3.48) приходим к следующему результату

                                                       (3.49)

который может быть использован для построения графика log  в зависимости от log n и нахождения наклона с помощью регрессии. Угловой коэффициент в выражении (3.49) дает оценку показателя Херста.  В качестве примера на рис.3.38.а показан график обобщенного гауссова шума, содержащего 1000 точек отсчета, а на рис.3.38.б - график log (R / S) _n    в функции от log t.  (Графики ряда и   log (R / S) _n    построены в системе Fractan).

 

                   а)

 

                   б)

 

Рис.3.38. Обобщенный гауссов шум (а) и график log (R / S) _n (б)

 

    Поскольку показатель Херста H связан с параметром d  соотношением (3.30), то по найденному значению H = 0,64 можно определить параметр d =0,14.  

    В ряде работ было продемонстрировано превосходство R / S -анализа в определении долговременной зависимости над традиционными методами: анализом автокорреляций, спектральным анализом. Кроме того, R / S -анализ в отличие от спектрального анализа, который определяет периодические циклы, может обнаруживать и непериодические циклы с длительностями, равными или превышающими период наблюдения. 

 

Оценка параметра d по графикам дисперсий. Можно показать, что дисперсия выборочного среднего процесса с долгой памятью, основанная на m наблюдениях, определяется как 

где с - положительная постоянная величина.  

    Следовательно, разделив выборку размером n, т.е. { x ₁,..., x_n } на k  блоков, каждый из которых имеет длину m таким образом, что           n = k m, получим 

                                  (3.50)

 

где   - среднее значение j –го блока, определяемое выражением 

                                                                          (3.51)

    Из формулы (3.50) оценка d, полученная методом наименьших квадратов, становится равной 

где   

    Таким образом, для процессов с короткой памятью при d = 0 наклон прямой, описываемой уравнением (3.50), должен быть равен -1. С другой стороны, для процессов с ДП наклон составляет величину, равную (2 d – 1).

    Для практической реализации такого подхода можно предложить следующую методику.

    1. Для целого m  между 2 и n /2 разделить выборку размером n  на блоки длиной m и вычислить выборочное среднее внутри каждого j –го блока по формуле (3.51).

    2. Для каждого блока вычислить выборочную дисперсию величины , равную

где   - среднее значение всей выборки.

    3. Построить график зависимости lg s_m ² в функции от lg m.

    4. Для больших значений m результатом должна быть прямая линия с наклоном 2 d – 1. Если ряд не имеет долговременной зависимости, то наклон должен быть равен - 1.   

    На рис.3.39 показан пример зависимости дисперсии для фрактального шума с параметром d = 0,4 и размером выборки n =1000 единиц. При k = 20 и m = 50 получим график уравнения регрессии вида (3.50), в котором коэффициенты пересечения и наклона рассчитываются по МНК.

Рис. 3.39 – График дисперсии для фрактального шума

 

Частотная область

 

    Асимптотическое поведение СП указывает на то, что при моделировании рядов с короткой памятью несущественно влияние очень низких частот и очень длинных лагов, т.е. в ситуациях доминирования d. Вследствие этого становится понятно, что оценки d  должны основываться на информации о низких частотах или длинных лагах. С точки зрения требований устойчивости оценки должны быть основаны на очень малой части данных при увеличении объема выборки данных, поэтому естественно ожидать более медленной скорости сходимости, чем для оценок, полученных по модели с целыми значениями параметров. Однако в очень длинных временных рядах (в экономике, метеонаблюдениях) доступное число степеней свободы может быть достаточным для обеспечения адекватной точности. Такие оценки обычно называются полупараметрическими (semiparametric), хотя их медленная сходимость делает их более близкими к непараметрическим оценкам в других областях статистики [12].Полупараметрические оценки (ПП-оценки) в противоположность параметрическим имеют преимущество в том, что в первых исключается необходимость точного определения оценок. ПП процедуры моделируют только низкочастотную часть СП. 

       Оценка d по спектральной плотности. В частотной области одна из первых оценок d была предложена в [15]. Сущность метода заключается в построении уравнения регрессии логарифма периодограммы на низких частотах как функции частоты: ожидаемый наклон зависит от параметра d. В [15] использовалось только несколько первых ординат периодограммы, и авторы работы пришли к выводу, что результирующая оценка регрессии для d может описать характеристику долгой памяти ВР без искажения ее свойствами краткой памяти процесса.               

    Рассмотрим более подробно задачу оценки параметра d. Обратимся к модели (3.33), в которую вместо белого шума в правой части введем стационарный линейный процесс u_t со спектральной плотностью S_u (f), т.е. рассмотрим процесс

                                    (1 – B) ^d X_t = u_t.   

Для процесса X_t СП S (f) можно представить следующим образом

                              

    После логарифмирования получим

       (3.52)

 

    Положим, что в распоряжении имеется выборка процесса   X_t длиной Т. Пусть   определяют ординаты  гармоник, а величины I (f_{j , T}) - значения периодограмм на этих частотах. Оценим уравнение (3.52) при f_{j , T} и после перегруппировки членов приходим к следующему результату

 

    Предложенный метод оценки d (назовем эту оценку оценкой - GPH по аббревиатуре фамилий авторов), обусловлен формальным сходством последнего выражения   с уравнением простой линейной регрессии:

·   - аналог независимой переменной;

·   - объясняющая переменная;

·   - член, учитывающий искажения (помеху);

· (- d) - коэффициент наклона;

·  - часть выражения, определяющая пересечение с осью.

Слагаемое ln[ S_u (f_{j , T}) / S_u (0)] становится пренебрежимо малым, так как внимание уделяется частотам, находящимся вблизи нуля.    

Предложенная оценка- GPH определяется коэффициентом наклона в уравнении линейной регрессии следующего вида  

ln{ I (f_j,T)} = α + β ln[4sin²(f_j,T)] + v_j,

где v_j - определяет искажения.

Можно показать, что при d < 0 оценка этого параметра является состоятельной, а традиционная интерпретация стандартной ошибки для коэффициента наклона - асимптотически нормальной. Такая оценка является полупараметрической, так как при ее построении допускалось отсутствие информации о каких-либо компонентах краткой памяти, хотя присутствие последних может смещать оценки d в конечных выборках. 

 

       Литература

1. Tsay R.S. Analysis of financial time series. John Wiley and Sons, 2002. - 448p.

2. Бокс Дж.,Дженкинс Г.  Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып.1. М.: Мир, 1974. - 408с.

3. Чураков Е.П. Прогнозирование эконометрических временных рядов М.: Финансы и статистика, 2008.- 208с.

4. Brockwell P.V., Davis R.A.   Introduction to Time Series and Forecasting. Springer text in statistics, 2002. - 438p.

5. КанторовичГ.Г. Анализ временных рядов Экономический журнал ВШЭ" Том. 6 (2002), №1, 85-116.

6. НоскоВ.П. Введение в регрессионный анализ временных рядов. М.: НФПК, 2002.- 272с.

7. Кричевский М.Л., Кричевский А.М. Временные ряды в финансово-экономических задачах. СПб: Изд. МБИ, 2011. - 124с.

8. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка.   М.: Мир. 2000. - 334с. 

9. Granger C.W., Joyeux R. Introductoin to long-memory time series models and fractional differencing. Journal of Time Series Analysis. 1980, v.1, 15-29. 

10. Гренджер К. Хатанака М.   Спектральный анализ временных рядов в экономике/К.Гренджер, М.: Статистика, 1972. - 312с.

11. Hosking J.R.M. Fractional differencing. Biometrica, 68,1,P.165-176. 

12. Robinson P.M. Long-memory Time Series. / in Times Series with Long Memory. Oxford, University Press, 2003, 4-32.

13. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы.  Миниатюры из бесконечного рая. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2005. - 528с.

14. Palma W. Long-memory Time Series. J.Wiley&Sons, New Jersey, 2007. - 286р.

15.   Granger C.W., Ding Z. Varieties of long memory models.Journal of Econometrics, 1996, 73, 61-77.