Преобразование логических формул

Помимо своего «логического» назначения, равносильности широко используются для преобразования и упрощения формул. Грубо говоря, одну часть тождества можно менять на другую. Так, например, если в логической формуле вам встретился фрагмент , то по закону идемпотентности вместо него можно (и нужно) записать просто . Если вы видите , то по закону поглощения упрощайте запись до . И так далее.

Кроме того, есть ещё одна важная вещь: тождества справедливы не только для элементарных высказываний, но и для произвольных формул. Так, например:

, где – любые (сколь угодно сложные) формулы.

Преобразуем, например, сложную импликацию (1-е тождество):

Далее применим к скобке «сложный» закон де Моргана, при этом, в силу приоритета операций, именно закон , где :

Скобки можно убрать, т.к. внутри находится более «сильная» конъюнкция:

Далее напрашивается использовать «простой» закон де Моргана и т.д.

Ну, а с коммутативностью вообще всё просто – даже обозначать ничего не нужно… что-то запал мне в душу закон силлогизма:))

Таким образом, закон можно переписать и в более затейливом виде:

Проговорите вслух логическую цепочку «с дубом, деревом, растением», и вы поймёте, что от перестановки импликаций содержательный смысл закона нисколько не изменился. Разве что формулировка стала оригинальнее.

В качестве тренировки упросим формулу .

С чего начать? Прежде всего, разобраться с порядком действий: здесь отрицание применено к целой скобке, которая «скреплена» с высказыванием «чуть более слабой» конъюнкцией. По существу, перед нами логическое произведение двух множителей: . Из двух оставшихся операций низшим приоритетом обладает импликация, и поэтому вся формула имеет следующую структуру: .

Как правило, на первом шаге (шагах) избавляются от эквиваленции и импликации (если они есть) и сводят формулу к трём основным логическим операциям. Что тут скажешь…. Логично.

(1) Используем тождество . А нашем случае .

Затем обычно следуют «разборки» со скобками. Сначала всё решение, затем комментарии. Чтобы не получилось «масло масляное», буду использовать значки «обычного» равенства:

(2) К внешним скобкам применяем закон де Моргана , где .

(3) К внутренним скобкам применяем закон двойного отрицания . Внешние скобки можно убрать, т.к. за её пределами находятся равные по силе операции.

(4) В силу коммутативности дизъюнкции меняем местами и . Оставшиеся скобки тоже убираем по озвученной выше причине.

(5) В силу коммутативности дизъюнкции меняем местами и , а также и .

(6) Используем закон идемпотентности и закон исключенного третьего

(7) Дважды используем тождество

Вот оно как…, оказалось, что наша формула – тожественно истинна:

Желающие могут составить таблицу истинности и убедиться в справедливости данного факта.

Наверное, все обратили внимание на формализм последних преобразований, но решать лучше именно так! В противном случае с немалой вероятностью гарантированы проблемы с зачётом задания (впрочем, тут от преподавателя зависит). Математическая логика как наука – формальна, и строго говоря, осуществлять «перескоки» наподобие нежелательно.

Пара задач для закрепления материала:

Задание 4

Выразить эквиваленцию через отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и раскрыть скобки

Аккуратно проводим преобразования в соответствии с равносильностями. После этого будет не лишним вернуться к параграфу об эквиваленции и найти там фразу, которая соответствует полученному результату;-)

Задание 5

Упростить логическую формулу

Решения с подробными комментариями совсем близко.

И в заключение урока небольшое напутствие для читателей, которым предстоит погружение в матлогику. Данный предмет у меня был на 1-м курсе института, и в ходе изучения исчисления высказываний, предикатов и прочих «машин тьюринга» я допускал принципиальную ошибку – а именно, пытался «подогнать» под математическую логику неформальную основу. И окончательное понимание всей стройности формальной теории, важности «очевидных» доказательств и т.д. пришло далеко не сразу. Скучно? Нет! – на самом деле очень красиво…. То же самое, кстати, относится к высшей алгебре и некоторым другим предметам.

…но что бы вы прочитали эти строки, я всё-таки преподнёс материал, скорее в «школьном» стиле – с многочисленными содержательными примерами!

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Задание 1 Решение: составим таблицу истинности для формулы :

(подробные инструкции по заполнению таблицы находятся после условия задачи)
Полученный результат совпадает с эквиваленцией высказываний и , таким образом:

Задание 2 Решение: доказательства проведём с помощью таблиц истинности:

а) Дважды записываем все варианты истины и лжи высказывания и применяем к столбцам операцию ИЛИ:

Результат совпадает с . Тождество доказано

б) составим таблицу истинности для левой части тождества
. Сначала к столбцам и применяем операцию ИЛИ, затем к столбцам и – операцию И:

В результате истинность формулы совпала с истинностью высказывания , таким образом, тождество доказано.

Задание 3 Решение: составим таблицу истинности:

Вывод: данная формула не является тождественно истинной (законом логики)

Задание 4 Решение:

(1) Используем тождество .
(2) Дважды применяем тождество .
(3) Используем дистрибутивный закон , в данном случае:
(квадратные скобки можно было не ставить – они не меняют порядок действий, но помогают лучше видеть ситуацию).
(4) В квадратных скобках используем коммутативность конъюнкции.
(5) Дважды используем тот же самый дистрибутивный закон.
(6) Во второй слева скобке используем коммутативность конъюнкции.
(7) Согласно закону противоречия: .
(8) К формуле дважды применяем тожество .
(9) А это уже для красоты:)) Скобки, кстати, можно было убрать намного раньше (я их не опускал с целью улучшить восприятие преобразований).

Примечание: на 3-м шаге можно было раскрыть скобки по «правилу умножения многочленов» и сразу перейти к шагу № 7, но, строго говоря, это действие ещё нужно обосновать. А вдруг в алгебре логики это правило несправедливо?

Задание 5 Решение:

(1) Для левой скобки используем закон де Моргана. Во второй скобке – «раскладываем» импликацию.
(2) В первой скобке дважды применяем закон двойного отрицания. В силу коммутативности конъюнкции меняем местам и .
(3) К «иксу» и правой скобке применяем дистрибутивный закон.
(4) Согласно закону противоречия высказывания, средняя скобка тождественно ложна.
(5) К левой скобке применяем тождество . Убираем все скобки, поскольку это не меняет порядок действий.
(6) Используем коммутативность умножения и закон поглощения .

Ответ: