Правило перевода чисел произвольного основания в десятичную систему счисления

Лабораторная работа № 1 Системы счисления

Цель: Получение сведений о различных системах счисления и их применении для ЭВМ. Получение практических навыков по переведу чисел из одной системы счисления в другую и выполнению арифметических операций в различных системах счисления.

Теоретическая справка

               

Для регистрации сигналов используются различные средства их формализации – изображения, символы и т.д. Для отображения количественных характеристик описываемых объектов и последующей обработки этой информации уже в древности были изобретены специальные знаки (цифры) и приемы их комбинирования.

    Совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью цифр называют системой счисления. В любой такой системе имеется ряд символов называемых базисными цифрами; все остальные числа отображаются с помощью базисных цифр посредством определенных математических операций.

Системы счисления различаются как выбором базисных цифр, так и правилами образования из них произвольных чисел. Все их можно разделить на два больших класса – непозиционные и позиционные.

 В непозиционных системах значение цифры не зависит от места, занимаемого ею в записи числа. Примером может служить римская система счисления.

В позиционных системах счисления значение любой базисной цифры зависит от ее места в записи числа; это место называется позицией, а количество используемых базовых - основанием системы счисления.

Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555_{7 –} число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, основание, как правило, не указывается.

Рассмотрим последовательность цифр, изображающую некоторое число, в котором целая и дробная части разделены запятой:

.

Если считать, что приведенная выше последовательность изображает число в системе счисления с основанием k, то каждая из цифр этой последовательности может принимать одно из значений диапазона .

Для оценки количественного значения каждого разряда числа используется основание системы счисления, которое указывает, во сколько раз единица i+1 разряда больше единицы i младшего разряда. Учитывая сказанное, заданное число можно представить так:

    (1)

Данное выражение используется для записи чисел в любой позиционной системе счисления.

где  - цифры в представлении данного числа. Так например,

      

Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Особенно удобна для ЭВМ двоичная система, так имеет несомненные технические и математические преимущества;

при ее аппаратной реализации можно использовать физические элементы с двумя возможными состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.д.);

представление информации посредством только двух состояний особенно надежно и помехоустойчиво;

возможно применение стандартного аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований.

Рассмотрим таблицу чисел в различных системах счисления:

 

Таблица 1 – Числа в различных системах счисления

Десятичная система счисления	Двоичная система счисления	Восьмеричная система счисления	Шестнадцатеричная система счисления
0	0000	00	0
1	0001	01	1
2	0010	02	2
3	0011	03	3
4	0100	04	4
5	0101	05	5
6	0110	06	6
7	0111	07	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10

 

Правило перевода чисел произвольного основания в десятичную систему счисления

 

Для перевода целого числа в десятичную систему счисления достаточно представить число согласно выражению и вычислить полученное выражение (1). Например.