Прямая геодезическая задача

В геодезии часто приходится передавать координаты с одной точки на другую. Например, зная исходные координаты точки А (рис. 23), горизон- тальное расстояние S AB   от неё до точки В и направление линии, соединяющей обе точки (дирекционный угол a AB   или румб r AB), можно оп- ределить координаты точки   В.

В такой постановке передача коор- динат называется прямой геоде- зической задачей.

Для точек, расположенных на сфероиде, решение данной задачи представляет значительные труд- ности. Для точек на плоскости она решается следующим образом.

Дано: точка А (X A, Y A), S AB   и a AB.

Найти: точку В (X B, Y B).                 Рис. 23. Прямая геодезическая задача

Непосредственно из рисунка имеем

ΔX = X B – X A,

ΔY = Y B – Y A.

Разности ΔX и Δ Y координат точек последующей и предыдущей на- зываются приращениями координат. Они представляют собой проекции

отрезка АВ на соответствующие оси координат. Их значения находим из прямоугольного прямоугольника АВС

ΔX = S AB cos a AB,

ΔY = S AB sin a AB.

Так как в этих формулах S AB   всегда число положительное, то знаки приращений координат ΔX и ΔY зависят от знаков cos a AB   и sin a AB. Для различных значений углов знаки ΔX и ΔY представлены в табл. 1.

Таблица 1

Знаки приращений координат ΔX и ΔY

Приращения координат	Четверть окружности, в которую направлена линия
	I (СВ)	II (ЮВ)	III (ЮЗ)	IV (СЗ)
ΔX	+	–	–	+
ΔY	+	+	–	–

При помощи румба приращения координат вычисляем по формулам:

ΔX = S AB cos r AB,

ΔY = S AB sin r AB.

Знаки приращениям дают в зависимости от названия румба. Вычислив приращения координат, находим искомые координаты дру-

гой точки:

X B = X A + ΔX, Y B = Y A + ΔY.

Таким образом можно найти координаты любого числа точек по пра- вилу: координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующие приращения.

 

Обратная геодезическая задача

Рис. 24. Обратная геодезическая задача

Обратная геодезическая задача за- ключается в том, что при известных коорди- натах точек А (X A, Y A) и В (X B, Y B) необхо- димо найти длину S AB   и направление линии АВ: румб r AB и дирекционный угол a AB   (рис. 24).

Данная задача решается следующим образом.

Сначала находим приращения координат

ΔX = X B – X A,

ΔY = Y B – Y A.

Величину угла r AB   определяем из отношения

D Y

D X = tgr АВ.

По знакам приращений координат вычисляем четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между ди- рекционными углами и румбами, находим a AB  .

Для контроля расстояние S AB   вычисляем дважды при помощи формул:

 

S АВ

= D Х

cos a АВ

= D Y sin a АВ

= D X sec a АВ

= D Y cos ec a АВ,

 

S АВ

= D Х

cos r АВ

= D Y sin r АВ

= D X sec r АВ

= D Y cos ecr АВ.

Расстояние S AB   можно определить также по формуле

 

S АВ   =                 .

 

 

Связь между дирекционными углами предыдущей и последующей линии

На рис. 25 представлена схема определения дирекционных углов сто- рон теодолитного хода AB. Известен дирекционный угол исходной сторо- ны a 0 и измерены геодезическим прибором теодолитом углы β 1, β 2, β 3, лежащие справа по ходу от А к В.

Рис. 25. Схема определения дирекционных углов сторон теодолитного хода

Найдём дирекционные углы a 1, a 2, a 3 остальных сторон хода.

На основании зависимости между прямыми и обратными дирекцион- ными углами можем написать

a 1 + β 1 = a 0 + 180°.

Из данного выражения следует, что

a 1 = a 0 + 180° – β 1.                                    (1)

Аналогично вычисляются дирекционные углы последующих сторон теодолитного хода

a 2 + β 2 = a 1 + 180° → a 2 = a 1 + 180° – β 2,               (2)

a 3 + β 3 = a 2 + 180° → a 3 = a 2 + 180° – β 3,               (3)

…

a n + β n = a n -1 + 180° → a n = a n -1 + 180° – β n  .              (n)

То есть, дирекционный угол последующей стороны равен дирек- ционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус угол, лежа- щий справа по ходу.

Для получения контрольной формулы в выражение (2) подставим значение a1 из выражения (1)

a 2 = a 0 + 180° – β 1 + 180° – β 2 = a 0 + 2 · 180° – (β 1 + β 2).

Если продолжить аналогичные действия для последующих сторон теодолитного хода, то получим

a n = a 0 + n · 180° – (β 1 + β 2 + β 3 +... + β n) → a n – a 0 =

= n · 180° – ∑ β → a 0 – a n = ∑ β – n · 180°.

Данная формула может служить контрольной при вычислении дирек- ционных углов по увязанным углам β.

Если же вместо суммы исправленных углов подставить сумму изме- ренных углов ∑ β, то та же формула позволит определить невязку f β   из- меренных углов теодолитного хода, если дирекционные углы a 0 и a n   на- чальной и конечной сторон хода известны

f β = ∑ β – n · 180° – (a 0 – a n).

Иногда дирекционные углы вычисляют по углам, лежащим слева по ходу от А до В (l1, l2, …, ln)

β 1 = 360° – l1

β 2 = 360° – l2

........................

β n = 360° – ln

Подставив эти значения в выражения (1), (2),..., (n), получим

a 1 = a 0 – 180° + l1,

a 2 = a 1 – 180° + l2,

.................................

a n = a n -1 – 180° + ln .

Для проверки правильности вычисления дирекционных углов по углам

l, лежащим слева по ходу, используем выражение

a n – a 0 = ∑ Z – n · 180° или a n – a 0 = ∑ l + n · 180°.

Тогда невязка fβ определяется по формуле

f β = ∑ l + n · 180° – (a n – a 0).

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что называется ориентированием на местности?

2. Что называется дирекционным углом линии, и в каких пределах он измеряется?

3. Что такое румб линии, и в каких пределах он измеряется?

4. Что называется истинным и магнитным азимутами?

5. Какова зависимость между дирекционным углом и истинным азиму- том и между истинным азимутом и магнитным азимутом?

6. Что называется сближением меридианов?

7. Что называется склонением магнитной стрелки?

 

Лекция 3

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СЪЕМКА.

РЕЛЬЕФ, ЕГО ИЗОБРАЖЕНИЕ НА КАРТАХ И ПЛАНАХ. ЦИФРОВЫЕ МОДЕЛИ МЕСТНОСТИ

План лекции

Геодезическая съемка. План, карта, профиль

Рельеф. Основные формы рельефа

Изображение рельефа на планах и картах

Цифровые модели местности

Задачи, решаемые на планах и картах

 Геодезическая съемка. План, карта, профиль

Чтобы спроектировать линию местности на горизонтальную плос- кость, нужно определить её горизонтальное проложение (проекцию ли- нии на горизонтальную плоскость) и уменьшить его до определенного

масштаба. Для проектирования на горизонтальную плоскость какого-либо многоугольника (рис. 26) измеряют расстояния между его вершинами и горизонтальные проекции его углов.

Рис. 26. Проектирование участка земной поверхности на горизонтальную плоскость

 

Совокупность линейных и угловых измерений на земной поверхности называется геодезической съемкой. По результатам геодезической съемки составляют план или карту.

План – чертеж, на котором в уменьшенном и подобном виде изобра- жается горизонтальная проекция небольшого участка местности.

Карта – уменьшенное и искаженное вследствие влияния кривизны Земли изображение горизонтальной проекции значительной части или всей земной поверхности, построенное по определенным математиче- ским законам.

Таким образом, и план, и карта – это уменьшенные изображения зем- ной поверхности на плоскости. Различие между ними состоит в том, что при составлении карты проектирование производят с искажениями по- верхности за счет влияния кривизны Земли, а на плане изображение по- лучают практически без искажений.

В зависимости от назначения планы и карты могут быть контурные и то- пографические. На контурных планах и картах условными знаками изобра- жают ситуацию, т. е. только контуры (очертания) горизонтальных проекций местных предметов (дорог, строений, пашен, лугов, лесов и т. п.).

На топографических картах и планах кроме ситуации изображают ещё рельеф местности.

Для проектирования железных, шоссейных дорог, каналов, трасс, во- допроводов и других сооружений необходимо иметь вертикальный раз- рез или профиль местности.

Профилем местности называется чертеж, на котором изображает- ся в уменьшенном виде сечение вертикальной плоскостью поверхности Земли по заданному направлению.

Как правило, разрез местности (рис. 27, а) представляет собой кривую линию ABC...G. На профиле (рис. 27, б) она строится в виде ломаной линии abc...g. Уровенную поверхность при этом изображают прямой линией. Для большей наглядности вертикальные отрезки (высоты, превышения) делают крупнее, чем горизонтальные (расстояния между точками).

Рис. 27. Вертикальный разрез (а) и профиль (б) местности

 

 Рельеф. Основные формы рельефа

Рельеф – форма физической поверхности Земли, рассматриваемая по отношению к её уровенной поверхности.

Рельефом называется совокупность неровностей суши, дна океанов и морей, разнообразных по очертаниям, размерам, происхождению, воз- расту и истории развития. При проектировании и строительстве желез- ных, автомобильных и других сетей необходимо учитывать характер рельефа – горный, холмистый, равнинный и др.

Рельеф земной поверхности весьма разнообразен, но все многообра- зие форм рельефа для упрощения его анализа типизировано на неболь- шое количество основных форм (рис. 29).

К основным формам рельефа относятся.

Гора – это возвышающаяся над окружающей местностью конусооб- разная форма рельефа. Наивысшая точка её называется вершиной. Вершина может быть острой – пик или в виде площадки – плато. Боко- вая поверхность состоит из скатов. Линия слияния скатов с окружающей местностью называется подошвой или основанием горы.

Котловина – форма рельефа, противоположная горе, представляю- щая собой замкнутое углубление. Самая низкая точка её – дно. Боковая поверхность состоит из скатов; линия их слияния с окружающей местно- стью называется бровкой.

 

Рис. 29. Формы рельефа: 1 – лощина; 2 – хребет; 3, 7, 11 –

гора; 4 – водораздел; 5, 9 – седловина; 6 – тальвег; 8 – ре- ка; 10 – обрыв; 12 – терраса

 

Хребет – это возвышенность, вытянутая и постоянно понижающаяся в каком-либо направлении. У хребта два склона; в верхней части хребта они сливаются, образуя водораздельную линию, или водораздел.

Лощина – форма рельефа, противоположная хребту и представляющая вытянутое в каком-либо направлении и открытое с одного конца постоянно понижающееся углубление. Два ската лощины, сливаясь между собой в са- мой низкой части её образуют водосливную линию или тальвег, по которой стекает вода, попадающая на скаты. Разновидностями лощины являются долина и овраг: первая является широкой лощиной с пологими задерно- ванными скатами, вторая – узкая лощина с крутыми обнаженными скатами. Долина часто бывает ложем реки или ручья.

Седловина – это место, которое образуется при слиянии скатов двух соседних гор. Иногда седловина является местом слияния водоразделов двух хребтов. От седловины берут начало две лощины, распространяю- щиеся в противоположных направлениях. В горной местности через сед- ловины обычно пролегают дороги или пешеходные тропы, поэтому сед- ловины в горах называют перевалами.

 

 Изображение рельефа на планах и картах

Для решения инженерных задач изображение рельефа должно обес- печивать: во-первых, быстрое определение с требуемой точностью вы-

сот точек местности, направления крутизны скатов и уклонов линий; во- вторых, наглядное отображение действительного ландшафта местности. Рельеф местности на планах и картах изображают различными спо- собами (штриховкой, пунктиром, цветной пластикой), но чаще всего с по-

мощью горизонталей (изогипсов), числовых отметок и условных знаков.

Горизонталь на местности можно представить как след, образован- ный пересечением уровенной поверхности с физической поверхностью Земли. Например, если представить холм, окружённый неподвижной во- дой, то береговая линия воды и есть горизонталь (рис. 30). Лежащие на ней точки имеют одинаковую высоту.

Рис. 30. Способ изображения рельефа горизонталями

 

Допустим, что высота уровня воды относительно уровенной поверх- ности 110 м (рис. 30). Предположим теперь, что уровень воды упал на 5 м и часть холма обнажилась. Кривая линия пересечения поверхностей во- ды и холма будет соответствовать горизонтали с высотой 105 м. Если последовательно снижать уровень воды по 5 м и проектировать кривые линии, образованные пересечением поверхности воды с земной поверх- ностью, на горизонтальную плоскость в уменьшенном виде, то получим изображение рельефа местности горизонталями на плоскости.

Таким образом кривая линия, соединяющая все точки местности с равными отметками, называется горизонталью.

При решении ряда инженерных задач необходимо знать свойства го- ризонталей:

1. Все точки местности, лежащие на горизонтали, имеют равные от- метки.

2. Горизонтали не могут пересекаться на плане, поскольку они лежат на разных высотах. Исключения возможны в горных районах, когда гори- зонталями изображают нависший утес.

3. Горизонтали являются непрерывными линиями. Горизонтали, пре- рванные у рамки плана, замыкаются за пределами плана.

4. Расстояние между горизонтальными секущими плоскостями назы- вается высотой сечения рельефа и обозначается буквой h.

Высота сечения рельефа в пределах плана или карты строго посто- янна. Её выбор зависит от характера рельефа, масштаба и назначения карты или плана. Для определения высоты сечения рельефа иногда пользуются формулой

h = 0,2 мм × М,

где М – знаменатель масштаба.

Такая высота сечения рельефа называется нормальной.

5. Расстояние между соседними горизонталями на плане или карте называется заложением ската или склона. Заложение есть любое рас- стояние между соседними горизонталями (см. рис. 30), оно характеризует крутизну ската местности и обозначается d.

Вертикальный угол, образованный направлением ската с плоскостью горизонта и выраженный в угловой мере, называется углом наклона ската v (рис. 31). Чем больше угол наклона, тем круче скат.

Рис. 31. Определение уклона и угла наклона ската

 

Другой характеристикой крутизны служит уклон i. Уклоном линии ме- стности называют отношение превышения к горизонтальному проложе- нию. Из формулы следует (рис. 31), что уклон безразмерная величина. Его выражают в сотых долях (%) или тысячных долях – промиллях (‰).

Если угол наклона ската до 45°, то он изображается горизонталями, если его крутизна более 45°, то рельеф обозначают специальными зна- ками. Например, обрыв показывается на планах и картах соответствую- щим условным знаком (рис. 32).

Изображение основных форм рельефа горизонталями приведено на рис. 32.

Для изображения рельефа горизонталями выполняют топографиче- скую съемку участка местности. По результатам съемки определяют ко- ординаты (две плановые и высоту) для характерных точек рельефа и на-

носят их на план (рис. 33). В зависимости от характера рельефа, мас- штаба и назначения плана выбирают высоту сечения рельефа h. Для инженерного проектирования обычно принимают h = 1 м. Отметки гори- зонталей в этом случае будут кратны одному метру.

Рис. 32. Изображение форм рельефа горизонталями

 

 

Рис. 33. Изображение рельефа горизонталями

Положение горизонталей на плане или карте определяется с помо- щью интерполирования. На рис. 33 приведено построение горизонталей с отметками 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57 м. Горизонтали кратные 5 или 10 м проводят на чертеже утолщенными и подписывают. Подписи наносят та- ким образом, чтобы верх цифр указывал сторону повышения рельефа. На рис. 33 подписана горизонталь с отметкой 55 м.

Там, где заложения большие, наносят штриховые линии (полугори- зонтали). Чтобы сделать чертеж более наглядным, горизонтали сопро- вождают небольшими черточками, которые ставятся перпендикулярно горизонталям, по направлению ската (в сторону стока воды). Эти черточ- ки называются бергштрихи.

 

 Цифровые модели местности

В настоящее время в связи с повсеместным использованием в инже- нерной практике методов автоматизированного проектирования, а также с внедрением геоинформационных систем в различные отрасли жизне- деятельности человека всё более широкое применение находят цифро- вые модели местности.

Цифровая модель местности (ЦММ) – множество, элементами ко- торого является топографо-геодезическая информация о местности. Она включает в себя:

· метрическую информацию – геодезические пространственные коор- динаты характерных точек рельефа и ситуации;

· синтаксическую информацию для описания связей между точками – границы зданий, лесов, пашен, водоемов, дороги, водораздельные и во- досливные линии, направления скатов между характерными точками на склонах и т. п.;

· семантическую информацию, характеризующую свойства объектов – технические параметры инженерных сооружений, геологическую харак- теристику грунтов, данные о деревьях в лесных массивах и т. п.;

· структурную информацию, описывающую связи между различными объектами – отношения объектов к какому-либо множеству: раздельные пункты железнодорожной линии, здания и сооружения населенного пунк- та, строения и конструкции соответствующих производств и т. п.;

· общую информацию – название участка, система координат и вы- сот, номенклатура.

Топографическая ЦММ характеризует ситуацию и рельеф местности. Она состоит из цифровой модели рельефа местности (ЦМРМ) и циф- ровой модели контуров (ситуации) местности (ЦМКМ). Кроме этого ЦММ может дополняться моделью специального инженерного назначе-

ния (ЦМИН). В инженерной практике часто используют сочетание цифро- вых моделей, характеризующих ситуацию, рельеф, гидрологические, ин- женерно-геологические, технико-экономические и другие показатели.

ЦММ создаются с помощью таких современных программных ком- плексов как «AutoCad Land Development Desktop», «Autodesk Civil 3D»,

«Autodesk Map 3D» «MapInfo», «Pythagoras», «Credo», «GeoniCS» и др.

Цифровая модель местности, записанная на машинном носителе в определенных структурах и кодах представляет собой электронную кар- ту.

При решении инженерно-геодезических задач на ЭВМ применяют ма- тематическую интерпретацию цифровых моделей, ее называют матема- тической моделью местности (МММ). Автоматизированное проектиро- вание на основе ЦММ и МММ сокращает затраты труда и времени в де- сятки раз по сравнению с использованием для этих целей бумажных то- пографических карт и планов.

Исходными данными для создания цифровых моделей местности яв- ляются результаты топографической съемки, данные о геологии и гидро- графии местности.

По способу размещения исходной информации и правил ее обработки на ЭВМ цифровые модели местности делятся на регулярные, нерегуляр- ные, структурные (рис. 34).

Цифровая модель местности, в которой опорные точки с известными координатами располагаются в узлах геометрических сеток различной формы, например, в виде сети квадратов или равносторонних треуголь- ников (рис. 34, а), называется регулярной. Используют также регуляр- ные ЦММ на поперечниках к магистральному ходу (рис. 34, б).

Если на участок местности имеются крупномасштабные карты и пла- ны, то создают ЦММ в виде массива точек, расположенных через опре- деленные интервалы на горизонталях, путем перемещения визира диги- тайзера по горизонтали (рис. 34, в).

В регулярных ЦММ геоморфология местности не учитывается, поэто- му их предпочтительно использовать для равнинной местности.

Цифровая модель местности, в которой точки располагаются произ- вольно в пределах однородных по рельефу, геологии, гидрологии участ- ков местности без какой-либо определенной системы, но с заданной гус- тотой и плотностью называется нерегулярной.

Цифровая модель местности, которая состоит из точек с известными координатами, расставленных в вершинах переломов структурных (оро- графических) линий рельефа называется структурной.

Структурные ЦММ используют в основном для пересеченной местности.

Точки структурных цифровых моделей рельефа могут располагаться:

- на основных перегибах всех структурных линий (рис. 34, г);

- в местах изменения кривизны склонов (рис. 34, д);

- вдоль скатов по линиям наибольшей крутизны в местах характер- ных переломов с указанием крутизны и направлений линий (рис. 34, е).

а                                                               б

в

г                                 д                                          е

Рис. 34. Схемы цифровых моделей местности

 Задачи, решаемые на планах и картах

Определение отметок точек местности по горизонталям

а) точка лежит на горизонтали. В этом случае отметка точки равна отметке горизонтали (см. рис. 35): H А = 75 м; Н С = 55 м;

б) точка лежит на скате между горизонталями. Если точка В лежит

между горизонталями, то через нее проводят линию так, что бы она была перпендикулярна горизонталям, между которыми точка В находится. Масштабной линейкой измеряют длину a и b и составляют выражение

 

H B = 70 +

a a + b

 

× h = 70 +

5

5 + 7

 

× 5 = 72, 08 м,

где h – высота сечения рельефа.

Рис. 35. Решение задач на карте с горизонталями

 

Определение крутизны ската

Крутизна ската по направлению заложения определяется двумя пока- зателями – уклоном и углом наклона по формуле

 

tg n = h

d

= i.

Следовательно, тангенс угла наклона линии к горизонту называется её уклоном. Уклон выражают в тысячных – промиллях (‰) или в процен- тах (%). Например: i = 0,020 = 20 ‰ = 2 %.

Для графического определения углов наклона по заданному значению заложения d, масштабу М и высоте сечения рельефа h строят график за- ложений (рис. 36).

Вдоль прямой линии основания графика намечают точки, соответст- вующие значениям углов наклона. От этих точек перпендикулярно к ос- нованию графика откладывают в масштабе карты отрезки, равные соот- ветствующим заложениям, а именно

d = h × ctg n.

Концы этих отрезков соединяют плавной кривой (рис. 36).

Заложение линии, угол наклона которой надо определить, снимают с карты при помощи измерителя, а затем, укладывая на графике между ос- нованием и кривой измеренный отрезок, находят соответствующее ему значение угла наклона.

Рис. 36. График заложений для углов наклона

 

Аналогично строят график заложений для уклонов (рис. 37).

 

Рис. 37. График заложений для уклонов

 

 

Построение линии с заданным уклоном

Задача построения линии с заданным уклоном решается в проектиро- вании трасс железных, автомобильных и других линейных сооружений. Она заключается в том, что из некоторой точки, обозначенной на карте, необходимо провести линию с заданным уклоном i по заданному направ- лению. Для этого сначала определяют значение заложения d, соответст- вующее заданным i и h. Его находят по графику заложения уклонов или вычисляют по формуле

d = h  .

i

Далее, установив раствор измерителя равным полученному значению d, ставят одну его ножку в начальную точку K, а другой засекают бли- жайшую горизонталь и тем намечают точку трассы, из которой в свою очередь засекают следующую горизонталь, и т. д. (рис. 38).

Рис. 38. Построение линии с заданным уклоном

 

Построение профиля по топографической карте

Профилем местности называют уменьшенное изображение верти- кального разреза местности по заданному направлению.

Пусть требуется построить профиль местности по линии DE, указан- ной на карте (рис. 39). Для построения профиля на листе бумаги (как правило, используется миллиметровая бумага) проводят горизонтальную прямую и на ней, обычно в масштабе карты (плана), откладывают линию DE и точки её пересечения с горизонталями и полугоризонталями. Далее из этих точек по перпендикулярам откладывают отметки соответствую- щих горизонталей (на рис. 39 это отметки 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80 и 82,5 м). Чтобы отобразить профиль более рельефно, отметки точек обычно откладывают в масштабе в 10 раз крупнее масштаба плана. Соединив прямыми концы перпендикуляров, получают профиль по линии DE.

 

 

Рис. 39. Построение профиля по топографической карте

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Что понимают под рельефом местности?

2. Какие бывают формы рельефа?

3. Что такое горизонталь? Каковы её основные свойства?

4. Что такое высота сечения рельефа?

5. Что называется заложением горизонталей?

6. Что такое уклон линии?

7. Как определяется нормальная высота сечения рельефа?

8. Что представляет собой цифровая модель местности и электрон- ная карта?

9. Какие исходные данные необходимы для создания цифровых мо- делей местности?

10. Как классифицируются цифровые модели местности по способу размещения исходной информации и правил ее обработки на ЭВМ?

11. Как определить на карте высоту точки и крутизну ската линии?

 

Лекция 4