C лучайные ошибки измерений

Если повторять несколько раз измерения одной и той же физической величины (например, веса или, скажем, времени падения грузика), стараясь при этом сохранить все условия опыта постоянными, то, тем не менее, полученные результаты будут обязательно несколько отличаться друг от друга (если, конечно, для результатов каждого измерения записать достаточное количество значащих цифр). Тому существует множество разных причин, которые практически невозможно учесть. Как пример: неточности в фиксации времени включения и выключения секундомера, которые, кстати, важны для точного определения интервалов времени не только при физических измерениях, но и во многих других случаях, в частности, на спортивных соревнованиях. Как уже указывалось ранее, соответствующие ошибки называют случайными ошибками.

Со случайными изменениями некоторых величин мы встречаемся и в повседневной жизни, например, многократно отмечая время, которое требуется, чтобы доехать до нужного пункта. Случайные величины важны для многих разделов естествознания, например, для молекулярной физики при измерениях скорости теплового движения молекул газа или в ядерной физике при изучении закономерностей радиоактивности. Для количественного описания всех таких случайно изменяющихся величин используют хорошо разработанные методы теории вероятностей. Эти методы позволяют строго определить не только средние и наиболее вероятные значения величин, но и вероятности отклонений от этих значений.

Среднее значение любой случайной величины х, а в данном случае результатов нескольких последовательных её измерений (x ₁, x ₂, x _3… x_n), определяют как среднее арифметическое значение x по формуле:

 ,                                    (5)

где n – число измерений.

Далее необходимо установить тот интервал значений (  - D x ≤ x ≤ + D x), так называемый доверительный интервал, в пределах которого с обусловленной доверительной вероятностью P(Δ x) (определяющей коэффициент надежности полученных результатов измерения) должны находиться значения x.

Доверительная вероятность P(Δ x) в случае непрерывного распределения значений x определяется как:

 

                  ,                       (6)

где ρ(x) – плотность вероятности реализации значений x в диапазоне от x до x + d x, причем знаменатель в этом выражении обычно принимается равным 1 (условие нормировки).

Еще важнее, что эти две величины (доверительный интервал и доверительная вероятность) однозначно определяют отличие измеренного значения x от истинного значения той же физической величины a. Именно в их определении и состоит основная задача математической обработки результатов измерений.

Для решения этой задачи необходимо, помимо , найти среднюю квадратичную ошибку измерений в данной серии опытов, которая определяется по следующей формуле:

.                                 (7)

Вычисление средней квадратичной, а не, как часто делается, средней арифметической ошибки измерений:

,                (8)

позволяет более корректно и просто определить затем доверительный интервал и доверительную вероятность, как это будет показано в дальнейшем.

При большом числе измерений (n > 30) можно воспользоваться и более простым расчётом средней арифметической ошибки, так как в этом случае: ()_ср ≈ 0,8 .

Таким образом, при n ®¥, ®0 и случайную ошибку измерения можно в принципе сделать столь угодно малой величиной, что однако потребует бесконечно долгого процесса измерения.

Определение доверительного интервала для случайной ошибки и, соответственно, отличие среднего значения  от истинного значения этой величины а для заданного значения доверительной вероятности P(D x) очевидно требует знания конкретного вида функции распределения ρ _i (x_i), т.е. функции реализации определенных значений x _i.

 Рассмотрим вначале наиболее простой для математической обработки, но сложный для практического осуществления случай достаточно большого числа измерений. Строго говоря, для этого необходимо, чтобы n ®¥ и дискретная функция распределения ρ _i (x_i) переходила в непрерывную функцию плотности вероятности ρ(x). Однако, как будет показано далее, для этого достаточно n > 100 или даже n > 30. При этом обычно реализуется функция нормального распределения или функция Гаусса, названная так в честь великого немецкого математика, впервые установившего вид этой функции:

 

.                                   (9)

Здесь использована новая величина s – среднестатистический предел средней квадратичной ошибки одного измерения при очень большом количестве измерений. Квадрат этой величины s², однозначно определяющей ширину функции распределения для ошибок измерения и вообще распределения случайных величин, называют нормой или дисперсией распределения.

Для обоснования применимости формулы Гаусса необходимо выполнение трех положений, а именно:

— ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений,

— при достаточно большом числе измерений ошибки одинаковой абсолютной величины, но разного знака, встречаются одинаково часто

— большие ошибки наблюдается реже, чем меньшие.

Тогда измеренные значения величины x, будут находиться внутри доверительного интервала ( - D x ≤ x ≤ + D x) с доверительной вероятностью P(D x), определяемой по формуле:

       .    (10)

При этом, чем больше требуется доверительная вероятность P(D x) и, соответственно, надежность того, что измеренные значения x отличаются от истинного значения этой величины а не более, чем на ±D x, тем шире по отношению к s становится доверительный интервал. Так, если, например, требуется, чтобы P(D x) = 0,7; 0,95; 0,98 или 0,999, то соответствующие доверительные интервалы будут равны s; 2s; 2,3s или 3,3s. В учебных лабораториях достаточно выбирать доверительный интервал не более 2σ, то есть брать доверительную вероятность не более 0,95.

Для выбора конкретного значения доверительной вероятности P(D x), определяющей значения доверительного интервала ±D x, необходимо понимать, насколько опасен выход за пределы этого интервала, вероятность которого, очевидно, равна 1 – P(D x). Такие задачи возникают на практике, например, при отбраковке изделий, выпускаемых в машиностроительной промышленности, по их габаритам или другим параметрам.

Реально очень трудно осуществить (по причинам большой длительности и малой продуктивности) вышеуказанный идеализированный случай, требующий, чтобы число измерений было, по крайней мере, больше тридцати. Поэтому необходимо рассмотреть реальный, но более сложный для анализа случай относительно небольшого числа измерений (3 < n < 10). Интуитивно понятно, что в этом случае возникают повышенные требования к доверительному интервалу (  - D x;  + D x) при заданном значении P(D x), то есть он становится шире. Увеличение числа измерений, наоборот, сужает этот интервал.

На опыте часто измеряют физические величины, которые могут принимать лишь дискретные значения, а число этих измерений конечно. В ряде случаев вероятность реализации определенных значений таких величин хорошо описывается распределением Пуассона (знаменитый французский математик и физик).

 

                  Коэффициенты Стьюдента a.   Таблица №1.

 

n (число измерений)	Доверительная вероятность P
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
2 3 4 5   6 7 8 9 10   11 12 13 14 15   16 17 18 19 20   21-24 25 26-27 28 29 30   40 60 120	0,16 0,14 0,14 0,13   0,13 0,13 0,13 0,13 0,13   0,13 0,13 0,13 0,13 0,13   0,13 0,13 0,13 0,13 0,13   0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13   0,13 0,13 0,13 0,13	0,33 0,29 0,28 0,27   0,27 0,27 0,26 0,26 0,26   0,26 0,26 0,26 0,26 0,26   0,26 0,26 0,26 0,26 0,26   0,26 0,26 0,26 0,26 0,26 0,26   0,26 0,25 0,25 0,25	0,51 0,45 0,42 0,41   0,41 0,40 0,40 0,40 0,40   0,40 0,40 0,40 0,39 0,39   0,39 0,39 0,39 0,39 0,39   0,39 0,39 0,39 0,39 0,39 0,39   0,39 0,39 0,39 0,39	0,73 0,62 0,58 0,57   0,56 0,55 0,55 0,54 0,54   0,54 0,54 0,54 0,54 0,54   0,54 0,54 0,53 0,53 0,53   0,53 0,53 0,53 0,53 0,53 0,53   0,53 0,53 0,53 0,52	1,00 0,82 0,77 0,74   0,73 0,72 0,71 0,71 0,70   0,70 0,70 0,70 0,69 0,69   0,69 0,69 0,69 0,69 0,69   0,69 0,69 0,68 0,68 0,68 0,68   0,68 0,68 0,68 0,67	1,38 1,06 0,98 0,94   0,92 0,90 0,90 0,90 0,88   0,88 0,87 0,87 0,87 0,87   0,87 0,86 0,86 0,86 0,86   0,86 0,86 0,86 0,86 0,86 0,85   0,85 0,85 0,85 0,84	2,0 1,3 1,3 1,2   1,2 1,1 1,1 1,1 1,1   1,1 1,1 1,1 1,1 1,1   1,1 1,1 1,1 1,1 1,1   1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1   1,1 1,0 1,0 1,0	3,1 1,9 1,6 1,5   1,5 1,4 1,4 1,4 1,4   1,4 1,4 1,4 1,4 1,3   1,3 1,3 1,3 1,3 1,3   1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3   1,3 1,3 1,3 1,3	6,3 2,9 2,4 2,1   2,0 1,9 1,9 1,9 1,8   1,8 1,8 1,8 1,8 1,8   1,8 1,7 1,7 1,7 1,7   1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7   1,7 1,7 1,7 1,6	12,7 4,3 3,2 2,8   2,6 2,4 2,4 2,3 2,3   2,2 2,2 2,2 2,2 2,1   2,1 2,1 2,1 2,1 2,1   2,1 2,1 2,1 2,0 2,0 2,0   2,0 2,0 2,0 2,0	31,8 7,0 4,5 3,7   3,4 3,1 3,0 2,9 2,8   2,8 2,7 2,7 2,7 2,6   2,6 2,6 2,6 2,6 2,5   2,5 2,5 2,5 2,5 2,5 2,5   2,4 2,4 2,4 2,3	63,7 9,9 5,8 4,6   4,0 3,7 3,5 3,4 3,3   3,2 3,1 3,1 3,0 3,0   2,9 2,9 2,9 2,9 2,9   2,8 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8   2,7 2,7 2,6 2,6	636,6 31,6 12,9 8,6   6,9 6,0 5,4 5,0 4,8   4,6 4,5 4,3 4,2 4,1   4,0 4,0 4,0 3,9 3,9   3,8 3,7 3,7 3,7 3,7 3,7   3,6 3,5 3,4 3,3

 

Для многих лабораторных работ, когда число измерений не велико, распределение погрешностей описывается еще более сложными, специальными гамма–функциями (распределение Стьюдента или “t”– распределение. “Стьюдент” – это псевдоним английского математика Уильяма Сита Госсета.). Для такого распределения с высокой точностью вычислены и затабулированы так называемые коэффициенты Стьюдента a (таблица №1). Они определяют отношение доверительного интервала D x к средней квадратичной ошибке  для данной серии измерений и определенных значений n и P(D x), то есть:

                                   .                           (11)

Из таблицы 1 следует, что при доверительной вероятности P(D x) > 0,7 доверительный интервал D x всегда несколько превышает значение , но для P(D x)=0,7 по мере увеличения числа измерений n стремится к этому значению, причем их различие становится незначительным (меньше 10%) уже при n ³ 7. Аналогичное, но более медленное уменьшение a наблюдается и для более высоких значений P(Dx)= 0,95; 0,98; 0,999. Для этих значений P, чтобы достаточно приблизиться к предельным значениям a (2; 2,3; 3,3), соответствующим функции Гаусса, необходимо значительно большее число измерений (n > 15, 20 и 40). В большинстве лабораторных работ число измерений (3 < n £ 10), а доверительная вероятность P(D x) принимается равной 0,95, так что соответствующие коэффициенты Стьюдента изменяются от 4,3 до 2,3. Если значения доверительной вероятности не указаны, то её обычно выбирают равной 0,7.

Таким образом, окончательный результат измерений с указанием доверительной вероятности P в лабораторных практикумах следует представлять в виде:

 

,                                    (12)

где за скобкой указывают единицу измерения данной величины в общепринятой международной системе единиц (СИ).

При этом необходимо, чтобы среднее значение  и доверительный интервал D x были записаны в одних и тех же единицах и с одинаковой точностью. Доверительный интервал D x обычно записывают в виде двух (реже одной) значащих цифр, округляя последующие цифры. Если число n измерений невелико (менее 5 – 6), что имеет место в большинстве лабораторных работ, то достаточно округления доверительного интервала до первой значащей цифры, и только если она является единицей – до двух значащих цифр. При большем числе измерений (n > 10) одна значащая цифра в доверительном интервале оставляется только, когда она больше трёх. При ещё большем числе измерений (n ~ 30 и более) оставляются две значащие цифры. Предварительные вычисления   и следует проводить, разумеется, с несколько более высокой точностью.

Таким же образом округляются и приборные абсолютная D x _пр и относительная d _пр ошибки: с точностью до двух значащих цифр, если первая значащая цифра равна 1, и до одной значащей цифры, если она больше единицы.

При округлении последняя из оставляемых цифр в доверительном интервале D x всегда увеличивается на 1 (округление с избытком).

Среднее значение измеряемой величины  округляется до того же порядка величины, что и значение D x, при этом   и D x должны быть выражены в одинаковых единицах измерения. Если в значении  первая отбрасываемая цифра, следующая за последней оставляемой, больше или равна 5 (но только, если за этой пятёркой есть ещё цифры), то последняя из оставляемых цифр увеличивается на 1 (округление с избытком). Если же первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя из оставляемых цифр не изменяется (округление с недостатком).

Так, если полученные при вычислении значения ∆ x составляют, например, в одном случае: 1,255, а в другом случае: 2,455, то, округляя их, в первом случае следует записать: D x = 1,3 (округление с избытком до двух значащих цифр, т.к. первая значащая цифра - единица), а во втором – D x = 3 (округление с избытком до одной значащей цифры, т.к. она – больше единицы). Если при этом результат измерения составил, скажем,  = 40,71, то окончательно правильная запись:

в первом случае x = 40,7 ± 1,3,

во втором случае x = 41± 3.

Если же в полученном результате измерения первая отбрасываемая цифра равна 5, а других цифр после неё нет, то можно как оставить предыдущую цифру неизменной, так и увеличить её на 1. Часто для удобства расчётов делают эту последнюю из оставленных цифр чётной. Если, скажем, получено значение тока 2,375 А, а погрешность 0,125 А, то результат удобнее записать так:

 

I = (2,38 ± 0,13) A.

В случае приборных погрешностей допустима запись, когда в самой величине и погрешности не совпадают разряды, в которых стоят последние оставленные цифры, например:

                               I = (2,38 ± 0,005) А.

Если случайная ошибка D x _сл заметно превосходит приборную D x_np (приблизительно, раза в три и более), то последней можно пренебречь, и, наоборот. Если случайные и приборные ошибки сравнимы, то они складываются по общему закону сложения всех случайных величин, а именно:

                            .

Рассмотрим как пример расчёта случайных ошибок, а также учета приборных ошибок и правильной записи окончательного результата, измерение величины тока I через фотоэлемент, возникающего при его освещении. Опыт повторялся пять раз (n = 5) при одинаковых условиях освещения и были зафиксированы следующие результаты: I₁ = 0,292 мА; I₂ = 0,284 мА; I₃ = 0,305 мА; I₄ = 0,293 мА; I₅ = 0,290 мА. Измерения проводились цифровым миллиамперметром, приборная ошибка которого составляет единицу последнего разряда цифрового табло индикатора миллиамперметра: ∆I_пр = 0,001 мА

Среднее значение  = 0,2928 мА.  Для доверительной вероятности P = 0,95 в таблице находится коэффициент Стьюдента α = 2,8. Тогда доверительный интервал: ∆I = 2,8·

· = 0,009594 мА.

Так как ∆I >> ∆I_пр, то окончательный результат с учётом округления: I = 0,293±0,010 мА.

Всё вышесказанное справедливо, прежде всего, для прямых измерений, когда на опыте непосредственно измеряется интересующая нас физическая величина. При косвенных измерениях, когда эта величина определяется по известной формуле, в которую входят несколько других измеряемых на опыте независимых величин, необходимо провести дополнительный анализ общей ошибки измерения. Если искомая величина y = ¦(x ₁, x ₂ …. x_k), то есть является известной функцией нескольких непосредственно измеряемых величин x _i, то её среднее значение определяется, как . Если в данном опыте преобладают приборные ошибки, тооценку абсолютной D y   ошибки измерения следует производить по формуле:

 

,                                     (13)

 

Если, наоборот, в измерениях преобладают случайные ошибки, то расчет общей ошибки производят по формуле:

 

.                                  (14)

Вопрос о том, какими формулами пользоваться, решают при анализе результатов измерений. Если отклонения большинства из результатов измерений от среднего арифметического значения не превышает абсолютную ошибку используемых приборов, то расчет производят по формуле (13), а в противоположном случае, по формуле (14).

В общем случае случайные D x _сл и приборные ошибки D x_np складываются по общему закону сложения всех случайных величин, а именно:

                           (15)

и расчёт абсолютной ошибки ∆y косвенных измерений производят по формуле (14).

Поэтому, если одна из этих ошибок в три и более раз превышает другую ошибку, то последняя из этих ошибок будет очень слабо влиять на общую точность измерения. Исходя из этих соображений, обычно и выбирается необходимое число измерений n, поскольку нет никакого смысла стремиться получить случайную ошибку значительно меньше приборной ошибки.

Наглядной иллюстрацией систематических и случайных ошибок могут служить результаты стрельбы из различных видов оружия, в том числе на спортивных соревнованиях. Так, если имеется только систематическая ошибка (сбит прицел, неправильное прицеливание или расчеты), то все пули (снаряды, стрелы, бомбы и т.д.) попадут в одно и то же место, но смещенное от центра мишени или цели. Наоборот, если существуют только случайные ошибки, то будет значительный разброс в местах попадания («плохая кучность»), но усредненное отклонение от центра мишени (или цели) будет стремиться к нулю. Реально, конечно, наблюдаются оба вида ошибок, но один из них обычно существенно преобладает над другим.

Разберём пример нахождения плотности ρ материала шара по измерениям его массы m и объёма V (объём шара находится через его диаметр D: V = πD³/6): ρ = 6m/πD³.

Если масса шара была измерена на отъюстированных рычажных весах с точностью 0,02 г и составила m = 11,20 г, то результат измерения запишется: m = 11,20 ± 0,02 г.

Диаметр шара измерялся штангенциркулем, имеющем погрешность ∆D_пр = 0,05 мм. Десятикратное (n = 10) повторение измерений диаметра даёт среднее значение диаметра = 13,615 мм. При этом для случайных ошибок измерений доверительный интервал ∆D находится по формуле (11): = , где n = 10, и для доверительной вероятности P = 0,95 по таблице №1 коэффициент Стьюдента α = 2,3.

Произведённый подсчёт показывает, что ∆D = 0,1676 мм, то есть случайная ошибка более чем в три раза превосходит приборную ошибку ∆D_пр = 0,05 мм, и последнюю можно не учитывать: D = 13,62 ± 0,17 мм.

Среднее значение плотности находится из:  = 6m/π = 8,480 г/см³. А ошибка в определении плотности находится по формуле (14): = .

Подставляя полученные ранее значения , , , ∆m, ∆D, находится ∆ρ = 0,1069 г/см³. Округляя результаты, окончательный результат записывается: ρ = 8,48 ± 0,11 г/см³.

При сложении (вычитании) неточных значений величин в окончательной записи полученной суммы следует оставлять только те разряды, которые имеются во всех складываемых величинах, проводя соответствующее округление. При умножении (делении) неточных значений величин в результате оставляется только то число значащих цифр, которое имеется в перемножаемой величине с наименьшим их количеством.

Как пример: нужно записать результат вычислений с неточно полученными величинами x = 8,232 + 0,31π = 8,232 + 0,97 = 9,20.

Теория вероятностей полезна и для правильного построения графиков на основе полученных экспериментальных данных. Недопустимо рисовать изломанную кривую, точно проходящую через экспериментальные точки: следует провести такую плавную линию, чтобы отклонение экспериментальных точек от нее в разные стороны приблизительно компенсировали друг друга. По методу наименьших квадратов построение графика экспериментальной зависимости y = ¦ (x) следует проводить таким образом, чтобы свести к минимуму сумму квадратичных отклонений   экспериментальных точек y_i  от проводимой кривой f (x_i), где i - номер экспериментальной точки, n – число экспериментальных точек.

Для построения графика кривой по экспериментальным точкам вначале подбирается функциональная зависимость определённого вида (линейная: y = a + bx, квадратичная: y = a + bx + cx ², экспоненциальная: y = a + be^x и т.д.), которая предположительно наилучшим образом соответствует экспериментальным данным, и определяются значения её параметров a, b, c. При этих значениях функция S должна быть минимальна, то есть её частные производные по этим параметрам должны быть равны нулю: . Решая полученную систему уравнений, сначала находят значения этих параметров, а затем и значение S. Сравнивая значения S, полученные таким образом для разного вида функций f (x), выбирают функцию, для которой S будет минимальна – этой функцией и аппроксимируются полученные экспериментальные данные.

Следует отметить, что разработаны способы, с помощью которых можно достаточно просто оценить наиболее подходящую функцию y = f (x) для описания известных экспериментальных данных. Кроме того, существует компьютерная программа Grapher, которая даёт возможность подбирать необходимые функции с соответствующими параметрами для приближения экспериментально полученных точек x_i и y_i. Добавим, что удобно использовать для построения графиков такие координаты, при которых график функции представляет собой прямую (эти координаты следует выбирать на основании подобранной функции y = f (x)).

Методы теории вероятностей успешно используют и для планирования различных экспериментов, например по разработке технологии синтеза многокомпонентных материалов с оптимальными свойствами (электрическими, оптическими, механическими и др.), требующимися для их практических применений.

Прогресс физики и других разделов естествознания во многом определяется точностью экспериментов. В настоящее время достигнута поразительная точность при измерении ряда физических величин (расстояние, время и др.). Так, с помощью молекулярных генераторов и стандартов частоты удается осуществить такие молекулярные часы, что их ошибка составляет всего одну секунду за 10⁶ лет, т.е. относительная погрешность равна 10^-12%.

С очень высокой точностью измерена и такая важнейшая физическая величина как скорость распространения света в вакууме с = (299792458,0 ± 1,2) м/с. Это позволяет производить очень точные измерения больших расстояний: до Луны, планет Солнечной системы и других космических объектов.

На смену общеизвестного эталона метра в виде стержня, изготовленного из платиноиридиевого сплава и хранящегося в международной Палате мер и весов вблизи Парижа, пришел «оптический эталон». Он равен 1650763,73 длин волн оранжевой линии излучения атомов криптона, то есть на одном метре должно укладываться ровно столько длин волн этого излучения. Такой эталон примерно в 100 раз точнее прежнего и может быть легче воспроизведен в научных лабораториях. При обычных измерениях, например в физическом практикуме, конечно, не удается достичь таких прецизионных точностей измерений, которые во многом определяются погрешностью используемых приборов. Вместе с тем при работе в практикуме нужно стремиться к уменьшению ошибок измерения, правильно производить их оценки и грамотно оформлять промежуточные и окончательные результаты измерений.