Абсолютная геоцентрическая экваториальная система координат – неподвижная система, используемая для фиксации координат КА в инерциальном пространстве.
Координаты КА в АГЭСК (вектор X) вычисляют по формулам:
где u – аргумент широты,
W – долгота восходящего узла орбиты,
i – наклонение плоскости орбиты к земному экватору,
r – радиус-вектор КА (расстояние от центра Земли до КА)
Вектор скорости КА в этой системе координат вычисляют по формулам
где
–скорость КА вдоль радиуса орбиты
– угловая скорость радиус-вектора.
J – истинная аномалия;
е – эксцентриситет орбиты.
Расчет параметров орбиты по координатам в АГЭСК
Сначала вычисляют компоненты вектора площадей и вектора Лапласа :
,
,
,
,
,
,
Затем вычисляем:
– фокальный параметр
– эксцентриситет орбиты
– радиус перицентра ,
– наклонение плоскости орбиты к экватору ,
Для вычисления углов W, w и i необходимо нормировать векторы С и F:
Аргумент широты, долготу восходящего узла и аргумент перицентра находят из связей углов Эйлера W, w и i с первыми интегралами невозмущенного движения – векторным интегралом площадей и вектором Лапласа, которые имеют вид:
,
,
,
,
,
,
При нулевом эксцентриситете аргумент перигея не определен так как . Аргумент широты и долгота восходящего узла теряют смысл при нулевом наклонении. Это, так называемые, вырожденные случаи, для которых используется следующая логика.
Сначала анализируем значение наклонения. Если i¹0, то находим долготу восходящего узла и аргумент широты.
где
Аргумент широты — это угол между радиус-вектором КА и единичным вектором направления на восходящий узел орбиты:
где
Если наклонение равно нулю, то аргумент широты определяем как угол между ортом оси OX абсолютной системы координат и радиусом-вектором КА:
где .
и принимаем W = u.
Для вычисления аргумента перицентра эллиптической орбиты (при 0<e<1) используем соотношения между углами Эйлера и первыми интегралами невозмущенного движения, из которых можно найти синус и косинус аргумента перицентра. В случае полярной орбиты (cos i=0) имеем
При cos i¹0 находим
Зная синус и косинус аргумента перицентра, находим результат на интервале
[0, 2p]:
Если эксцентриситет орбиты равен нулю, то аргументу перицентра присваиваем значение аргумента широты.
Приведенные соотношения и логика обработки особых ситуаций гарантируют вычисление элементов орбиты КА по декартовым координатам в АГЭСК по исходным данным, удовлетворяющим условию эллиптического движения (0 ≤ е <1).
Звездное время
Среднее звездное время это часовой угол между направлением на точку весеннего равноденствия и гринвичским меридианом на эпоху t. Его рассчитывают от опорной даты (эпохи) по следующей формуле
S = 1,7533685592 + 0,0172027918051 ⋅ d + 6,2831853072 · M + 6,7707139 ⋅ 10-6 ⋅ τ2 - 4,50876 · 10-10 ⋅ τ3 |
где
d - интервал времени от эпохи T 0 до эпохи t в средних солнечных сутках, вычисляемый по формуле d = JD (t) - 2451545,0;
JD(t) – юлианская дата эпохи t.
М - всемирное время UT1 рассматриваемой даты, выраженное в долях суток;
τ - интервал времени от эпохи Т 0 до эпохи t в юлианских столетиях по 36525 средних солнечных суток, вычисляемый по формуле
для вычисления юлианской даты эпохи t используйте функцию
function DateTimeToJulianDate(Value: TDateTime): double из модуля DateUtils.
Положение КА в ГСК
Гринвичская система координат вращается вместе с Землей, т.е. является подвижной. Ее используют для фиксации координат КА относительно вращающейся Земли.
Вектор состояния КА в ГСК определим с компонентами {Xg, Yg, Zg, R, l, j }, где Xg, Yg, Zg – декартовы координаты, R, l, j – сферические.
Для вычисления декартовых координат используем преобразование
где S – звездное время, т.е. угол, характеризующий положение ГСК относительно АГЭСК в заданный момент времени.
Сферические координаты вычисляют по формулам
,
(широта)
где , причем правильную четверть долготы надо определить по ее синусу
В случае полярной орбиты (когда =0) долгота принимается равной звездному времени S.
9. Возмущенное движение КА порядка J20
Основными факторами, возмущающими движение КА на низких орбитах, являются нецентральность поля тяготения Земли и аэродинамическое торможение.
Наибольшее влияние на движение КА оказывает полярное сжатие Земли, которое учитывается коэффициентом J20 – второй зональной гармоникой разложения геопотенциала по сферическим функциям. Она вызывает вековые изменения параметров M, W, w и периодические изменения всех параметров на одном витке.
Модель вековых изменений элементов орбиты в функции интервала времени (t-t0) без учета торможения в атмосфере имеет вид
где
Трасса КА
Географические координаты точек пересечения радиуса-вектора космического аппарата (КА) с поверхностью вращающейся Земли, вычисляемые в последовательные моменты времени, образуют на поверхности земли воображаемый след – трассу КА.
Долготу и широту точки трассы вычисляют по формулам
широта:
долгота ,
где t – время, отсчитываемое от 0 часов даты расчета,
– долгота пересечения плоскости экватора Земли,
– угловая скорость вращения Земли,
– наклонение плоскости орбиты КА к плоскости экватора Земли
u – аргумент широты КА.
Долгота пересечения экватора определяется по формуле
Где – среднее звездное время на 0 часов даты расчета,
W – долгота восходящего узла орбиты,