II. Пример построения модели межотраслевого баланса.

Практическая работа № 1.

Экономико-математическая модель

межотраслевого баланса (модель «затраты-выпуск»).

Цель: приобрести практические навыки по построению моделей межотраслевого баланса, с применением табличного процессора Microsoft Office Excel.

План:

I. Теоретические основы.

II. Пример построения модели межотраслевого баланса.

III. Самостоятельная работа.

Время: 2 часа.

 

ХОД РАБОТЫ

I. Теоретические основы.

Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом высту­пает: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими от­раслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса. Впервые таблица межотраслевого баланса бы­ла опубликована в 1926 г. в России. Однако вполне развитая математи­ческая модель межотраслевого баланса (МОБ), допускающая широкие возможности анализа и прогноза, появилась позже (1936) в трудах аме­риканского экономиста В. Леонтьева.

Рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого ба­ланса (модель Леонтьева, или модель «затраты-выпуск»).

1. Алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводится к сис­теме линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффици­енты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на /? чистых отраслей. Чистая отрасль (это условное понятие) - некото­рая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).

Пусть

а) х_ij - количество продукции i отрасли, расходуемое в j от­расли;

б) X_i - объем производства i отрасли за данный промежуток вре­мени, так называемый валовой выпуск продукции i;

в) у_i - объем потребления продукции i отрасли в непроизводственной сфере, объем конечного потребления;

г) Z _j - условно чистая продукция, которая включает оплату труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы.

Рассмотрим стоимостный баланс.

В таблице ниже отражена принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном выражении.

Производящие отрасти	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
		…	п
… n	X 11 X 21 … Xn 1	X 12 X 22 … X n 2	…	X 1 n X 2 n … Xnn	y 1 y 2 … yn	X 1 X 2 … Xn
Условно чистая продукция	Z 1	Z 2	…	Zn
Валовой продукт	X 1	X 2	…	Xn

 

Рассматривая схему баланса по столбцам, можно сде­лать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потреб­ляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продук­ции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

₍₁₎

Это соотношение охватывает систему из п уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Рассматривая схему МОБ по строкам для каждой про­изводящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

₍₂₎

Эта формула описывает систему из п уравнений, которые назы­ваются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Балансовый характер таблицы выражается в том, что

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матри­ца коэффициентов прямых затрат А = (а_ij).

Коэффициент прямых материальных затрат а_ij показывает, какое количество продукции i отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j отрасли

а_ij = x_ij / X_j, i, j = l, 2,..., n.

Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных предположения.

Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица А = (а _ij) постоянна.

Второе состоит в постулировании свойства линейности существующих технологий, то есть для выпуска j отраслью любого объема продукции X_i, необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве а_ijХ_j, то есть материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

х_ij = а_ijХ_j.

Подставляя эту формулу в балансовое соотношение (2), получаем

или в матричной форме

X = AX + Y. (3)

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.

• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X_i), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (Y_i):

Y = (E - A)· X.

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (Y_i), можно оп­ределить величины валовой продукции каждой отрасли (X_i):

X = (E-A)^{- 1} ·Y. (4)

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных - объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой продукции вторых.

Где Е обозначает единичную матрицу п-го по­рядка, а (E-A)^{- 1}обозначает матрицу, обратную матрице (E-A). Если определитель матрицы (Е-А) не равен нулю, то есть эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В = (E-A)^{- 1}, тогда систему уравнений в матричной форме (4) можно за­писать в виде

X = BY.

Элементы матрицы В называются коэффициентами полных материальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции i -й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукции j отрасли.

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если выполняется условие продуктивности.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор X ≥ 0, что

Х > А∙Х.

Это условие означает существование положитель­ного вектора конечной продукции Y > 0 для модели межотраслевого ба­ланса (3).

Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных за­трат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполня­лось одно из перечисленных ниже условий:

1. Матрица (Е - А) неотрицательно обратима, то есть существует обратная матрица (E-A)^{- 1} ≥ 0;

2. Матричный ряд

сходится, причем его сумма равна обратной матрице (E-A)^{- 1};

3. Все главные миноры матрицы (Е-А), то есть определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы порядка от 1 до п, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, то есть на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; данное условие является только достаточным, и матрица А может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

II. Пример построения модели межотраслевого баланса.

Задача 1. Даны коэффициенты прямых затрат а_ij и конечный продукт Y_i, для трехотраслевой экономической системы:

Требуется определить:

1. Коэффициенты полных затрат.

2. Вектор валового выпуска.

3. Межотраслевые поставки продукции.

4. Проверить продуктивность матрицы А.

5. Заполнить схему межотраслевого баланса.

Для решения задачи воспользуемся функциями табличного процессора Microsoft Office Excel.

В табл. 1.4.2 приведены результаты решения задачи по первым трем пунктам.

1) В ячейки B6:D8 запишем элементы матрицы Е-А. Массив Е-А задан как диапазон ячеек. Выделим диапазон B10:D12 для размещения обратной матрицы В=(E-A)^{- 1}и вычислим её. Все элементы матрицы коэффициентов полных затрат В неотрицательны, следовательно, матрица А продуктивна (ответ на п.1 и 4).

2) В ячейки G10:G12 запишем элементы вектора конечного продукта Y. Выделим диапазон В15:В17 для размещения вектора валового выпуска X, вычисляемого по формуле X = (E-A) ^{- 1} ∙Y.

3) Межотраслевые поставки Х_ij вычисляем по формуле х_ij = а_ijХ_j.

4) Заполняем схему МОБ.