Комбинаторика. Сложность 3-

Дирихле. Сложность 3-

Нюша получила в подарок на свой день рождения 41 розу. Она хочет, чтобы цветы были в каждой комнате, поэтому вытащила все 7 ваз, которые у неё есть. Она хочет разложить розы так, чтобы в каждой вазе было разное количество цветов, причём в каждой вазе должно быть нечётное количество цветов. Удастся ли Нюше осуществить задуманное?

Решение. Предположим, что Нюше это удастся. Тогда в каждой вазе разное (нечётное!) количество роз. Но в этом случае, даже если начать с самого маленького нечётного числа, роз для 7 ваз понадобится 1+3+5+7+9+11+13=49. А у Нюши по условию всего 41 роза. Противоречие.

Ответ: нет.

4. Графы. Сложность 4+

После игры в шахматы каждый из восьми друзей назвал количество партий, в которых он участвовал. Ответы были такие: 6, 5, 6, 4, 4, 7, 5, 6. Докажите, что кто-то из друзей ошибся, если известно, что никакие два друга не играли вместе дважды.

Решение. Представим друзей в виде 8 точек. Тогда отрезки между точками – это игра между двумя друзьями. Если из какой-либо вершины выходит отрезок, то другой конец этого отрезка должен быть в другой вершине. Значит, если посчитать сколько отрезков выходит из каждой вершины, то это число, назовём его А, будет в 2 раза больше, чем количество отрезков (ведь мы каждый отрезок посчитали дважды). Так как количество отрезков (игр) целое число, то число А должно быть чётным. Но по условию А=6+5+6+4+4+7+5+6=43, то есть нечетное.

Геометрия. Сложность 4-

Окружность пересекает две стороны угла T в точках A, B и C, D, соответственно, так что точка А лежит между С и В, а точка С лежит между A и D. Точка Е лежит на дуге АВ, причем Е и D лежат по разные стороны от хорды AB. Известно, что угол TAC равен 60 градусам, а точки А и Е делят дугу СВ на три равные части. Под каким углом пересекаются прямые CE и AB?

Возможны 2 случая с ответами 40 и 80.

Решение 1. Пусть Н - точка пересечения АВ и СЕ. Угол BHE является искомым. Угол САВ равен 120 градусам (смежные углы). Поэтому угол CDВ равен 60 градусам (вписанный четырехугольник). Так как дуги CA, AE и EB равны, то углы CDA, ADE и EDВ равны по 20 градусов. Значит, угол АВЕ равен 20 градусам (вписанные углы, опирающиеся на равные дуги). Угол СЕВ равен 120 градусам (как и угол САВ, опирается на СВ). Рассмотрим треугольник HBE. Угол BHE равен 180 – 120 – 20 = 40 градусов (сумма углов треугольника).

Решение 2. Пусть Н - точка пересечения АВ и СЕ. Угол BHE является искомым и является углом внутри окружности. По свойству угла внутри окружности он равен полусумме дуг АС и ВЕ. Найдем их. Угол САВ равен 120 градусам (смежный угол с углом ТАС). Тогда дуга СВ содержащая точку D равна 240, а дуга ВС содержащая точки А и Е равна 360-240=120. По условию точки А и Е делят дугу СВ на три равные части, следовательно, дуги АС=АЕ=ЕВ=40. Тогда искомый угол ВНЕ равен (40+40)/2=40.

Ответ: 40 градусов.

Комбинаторика. Сложность 3-

Сколькими способами можно заполнить полоску 1х100 буквами (33 буквы) и цифрами (10 цифр) так, чтобы в каждую клетку записывался только один элемент (буква или цифра), и никакие две цифры и никакие две буквы не стояли рядом?

Решение. Чтобы никакие две цифры и никакие две буквы не стояли рядом, необходимо, чтобы цифры и буквы чередовались. Всего клеток 1*100 = 100. В половине из них будут цифры, а в другой половине - буквы. И тех, и других по 50. Наконец, заметим, что существует два равнозначных варианта заполнения полоски - когда мы начинаем с буквы и второй - с цифры. Итого вариантов: 2*(33^50)*(10^50).

Ответ: 2*(33^50)*(10^50).

Взвешивания. Сложность 4.

Папус принес домой 4 коробки конфет, которые внешне выглядят все одинаково, но в некоторых из них лежат конфеты с шоколадным вкусом, а в других – с ванильным (обязательно есть коробки и с одним и с другим вкусом). Разложив коробки на столе в ряд, Папус запретил детям открывать коробки до праздника. Но Нолику не терпится узнать в каких коробках лежат его любимые конфеты с шоколадным вкусом. За какое наименьшее количество взвешиваний на чашечных весах без гирь Нолик может определить в каких коробках какие конфеты, если он знает, что конфеты с ванильным вкусом весят легче, чем конфеты с шоколадным вкусом и любая коробка конфет с ванильным вкусом лежит на столе правее (не обязательно следующая) любой коробки конфет с шоколадным вкусом. (На одну чашку весов можно класть одну или несколько коробок конфет).

Решение. Докажем, что Нолик может определить в каких коробках лежат какие конфеты за одно взвешивание. Обозначим наши четыре коробки за a, b, c и d.
На одну чашу весов положим коробки a и d, а на другую – b и c. Если чашки будут равны, то a и b – это коробки конфет с шоколадным вкусом, а c и d – коробки конфет с ванильным. Если чаша с коробками a и d окажется тяжелей, то a – это коробка с шоколадным вкусом, а b, c, d – это коробки конфет с ванильным вкусом. Третий случай, если чаша с коробками a и d легче чаши с коробками b и c, то a, b, c – это коробки с шоколадным вкусом, а d – коробка с ванильным вкусом.

Ответ: за одно.

Геометрия. Сложность 4-

На стороне AC треугольника ABC, как на диаметре, построена окружность с центром в точке О. Окружность w второй раз пересекает стороны AB и BC в точках S и T, соответственно. Известно, что AT = 5, угол OCS равен 15 градусам, а угол OAT равен 30 градусам. Найдите отрезок BT.

Решение. Угол ASC равен 90 градусам (АС - диаметр). Угол CAS равен 90 – 15 = 75 градусов. Угол BAT равен 75 – 30 = 45 градусов. Угол SCT равен углу SAT и равен 45 градусам. Тогда угол ABC равен 180 – 75 – 45 – 15 = 45. Следовательно, треугольник ATB равнобедренный. Значит, AT = BT = 5.

Ответ: 5.