Методы оптимальных решений

Контрольная работа

Задание 1. Симплексный метод и его геометрическая интерпретация.

Для производства трех видов продукции используются три вида сырья. Нормы затрат каждого вида сырья на единицу продукции данного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукции приведены в таблицах вариантов. Определить план выпуска продукции для получения максимальной прибыли при заданном дополнительном ограничении. Оценить каждый из видов сырья, используемых для производства продукции. Требуется:

1) построить математическую модель задачи;

2) выбрать метод решения и привести задачу к канонической форме;

3) решить задачу (симплекс-методом);

4) дать геометрическую интерпретацию решения;

5) проанализировать результаты решения;

6) составить к данной задаче двойственную и, используя соответствие переменных, выписать ответ двойственной задачи;

7) решить двойственную задачу (двойственным симплекс-методом);

8) дать экономическую интерпретацию двойственных оценок.

Варианты задания

1.

Продукция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I			-
II	-
III			-
Прибыль, ден. ед.

Необходимо, чтобы сырье II вида было израсходовано полностью.

2.

Продукция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I
II		-	-
III		-
Прибыль, ден. ед.

Необходимо, чтобы сырье I вида было израсходовано полностью.

3.

Продукция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I	-
II			-
III
Прибыль, ден. ед.

Необходимо, чтобы сырье II вида было израсходовано полностью.

4.

Продукция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I			-
II			-
III
Прибыль, ден. ед.

Необходимо, чтобы сырье III вида было израсходовано полностью.

 

5.

Продукция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I	-
II			-
III			-
Прибыль, ден.ед.

Необходимо, чтобы сырье I вида было израсходовано полностью.

6.

Продук ция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I			-
II			-
III		-
Прибыль, ден. ед.

Необходимо, чтобы сырье III вида было израсходовано полностью.

 

7.

Продукция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I			-
II
III	-		-
Прибыль, ден.ед.

Необходимо, чтобы сырье II вида было израсходовано полностью.

8.

Продукция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I			-
II	-
III	-
Прибыль, ден. ед.

Необходимо, чтобы сырье I вида было израсходовано полностью.

9.

Продукция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I		-
II		-
III			-
Прибыль, ден. ед.

Необходимо, чтобы сырье III вида было израсходовано полностью.

10.

Продукция Сырье	А	B	C	Запасы сырья, ед.
I		-	-
II
III			-
Прибыль, ден. ед.

Необходимо, чтобы сырье II вида было израсходовано полностью.

Задание 2. Транспортная задача линейного программирования.

Товары с баз поставляются в магазинов. Потребности магазинов в товарах равны тыс. ед., . Запасы товаров на базах составляют тыс. ед., . Затраты на перевозку 1 тыс. ед. товара в ден. ед. представлены матрицей затрат . Запланировать перевозку с минимальными затратами при заданном дополнительном условии.

Требуется:

1) представить исходные данные в виде таблицы перевозок;

2) составить экономико-математическую модель;

3) привести ее к стандартной транспортной задаче (с балансом);

4) построить начальный опорный план методом «северо-западного» угла или методом минимального элемента;

5) решить задачу методом потенциалов;

6) проанализировать результаты решения;

 

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Необходимо полностью Необходимо полностью Необходимо полностью

освободить 4-ю базу освободить 1-ю базу освободить 1-ю базу

 

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Необходимо полностью Необходимо полностью Необходимо полностью

удовлетворить потребности освободить 3-ю базу удовлетворить потребности

5-го магазина 4-го магазина

 

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Необходимо полностью Необходимо полностью Необходимо полностью

освободить 2-ю базу освободить 3-ю базу удовлетворить потребности

3-го магазина

Вариант 10

Необходимо полностью удовлетворить потребности 4-го магазина.

 

Задание 3. Оптимальное распределение ресурсов между филиалами предприятия. Предприятие планирует открыть филиалы в Михайловке, Урюпинске и Котельниково, для чего выделяются средства в размере 5 млн. руб. По расчетам экономистов, каждый филиал при инвестировании в него х тыс. руб. приносит прибыль φ_i(х) тыс.руб. Эти данные приведены в таблице. Необходимо выбрать оптимальное распределение выделенных средств между филиалами, обеспечивающее максимальную прибыльность всего проекта.

Варианты задания

Вариант 1

Вложенные средства (x млн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	1,10	1,40	1,50
	1,20	1,45	2,20
	1,30	1,55	2,50
	1,40	1,60	3,00
	1,50	1,65	3,10

Вариант 2

Вложенные средства (x млн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	0,50	0,40	0,20
	0,60	0,45	0,40
	0,80	0,55	0,50
	0,90	0,60	0,70
	1,00	0,65	0,90

 

Вариант 3

Вложенные средства (xмлн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	0,35	0,50	0,20
	0,45	0,90	0,40
	0,50	1,00	0,50
	0,55	1,10	0,70
	0,60	1,25	0,90

Вариант 4

Вложенные средства (xмлн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	0,35	0,50	0,20
	0,45	0,90	0,40
	0,50	1,00	0,50
	0,55	1,10	0,70
	0,60	1,25	0,90

Вариант 5

Вложенные средства (xмлн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	0,50	0,40	0,60
	1,00	0,65	0,80
	1,50	0,80	1,00
	2,00	0,90	1,20
	2,50	1,50	1,30

Вариант 6

Вложенные средства (xмлн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	1,50	1,40	2,00
	3,00	3,50	3,10
	4,50	4,50	4,60
	6,00	5,50	6,20
	6,50	7,00	6,50

 

Вариант 7

Вложенные средства (x млн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	1,40	1,10	1,50
	3,50	2,10	2,00
	3,70	3,10	2,50
	4,00	4,10	3,00
	4,20	5,10	3,50

Вариант 8

Вложенные средства (x млн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	0,20	0,20	0,25
	0,25	0,30	0,35
	0,45	0,50	0,55
	0,55	0,65	0,60
	0,75	0,70	0,65

Вариант 9

Вложенные средства (x млн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	1,50	2,20	2,10
	2,50	3,10	3,20
	3,20	3,90	4,00
	4,10	4,20	4,50
	4,90	4,50	5,10

 

Вариант 10

Вложенные средства (x млн.руб.)	Филиал
Михайловка	Урюпинск	Котельниково
φ1(х)	φ2(х)	φ3(х)
	1,50	2,00	1,50
	2,30	2,30	2,90
	2,50	2,80	3,10
	3,40	3,50	3,90
	3,60	3,90	4,50

 

 

 

Теория игр

Контрольная работа

Задание 1. Принятие решений в условиях неопределенности, решение игры в чистых стратегиях.

Определите вектор состояний внешней среды и вектор решений. Постройте функцию полезности и выполните решение задачи, используя критерии максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа. Оцените полученное оптимальное решение с позиций здравого смысла.

Вариант 1. Фирма может за небольшую плату (100 руб.) составить любому ленивому студенту программу для каких-то типовых расчетов на 19 компьютере. Каждый сотрудник фирмы может качественно выполнить до 10 заказов. Стоимость аренды машинного времени составляет 800 руб. в месяц (этого времени достаточно для выполнения 10 работ). Количество студентов, пользующихся услугами фирмы, не превышает 100 человек в месяц. Определить число сотрудников фирмы, дающее максимум общего дохода (для регистрации фирмы необходима численность не менее двух человек).

Вариант 2. Землевладелец на знойном юге решает вопрос о числе рабочих, привлекаемых к уборке томатов. Виды на урожай колеблются в зависимости от погоды от 500 до 800 центнеров, закупочная цена стабильна и равна 5 руб/кг. Рабочий за сезон собирает 20 центнеров, получая 1,2 руб/кг за уборку и 280 руб. для оплаты стоимости проезда к месту работ. Затраты на обеспечение рабочих жильем (речь не идет даже о трехзвездочной гостинице) составляют 300 руб. и не зависят от численности.

Вариант 3. В сельхозрайоне с посевной площадью 1430 га решено построить элеватор по одному из типовых проектов на 20, 30, 40, 50 или 60 тыс. центнеров зерна. Привязка проекта обойдется в 37 тыс. руб. Стоимость материалов и оборудования для элеватора мощности 20 тыс. ц зерна равна 60 тыс. руб. и увеличивается на 10% с ростом мощности на каждые 10 тыс. ц. Затраты на эксплуатацию элеватора мощности 20 тыс. ц зерна равны 10 тыс. руб. и увеличиваются на 10 тыс. руб. c ростом мощности на 10 тыс. ц. За хранение зерна на счет элеватора вносится плата 10 руб. за центнер. Урожайность колеблется от 14 до 20 ц/га. Какой элеватор выгоднее построить?

Вариант 4. Председатель сельхозкооператива решает закупить бочки для засолки огурцов. Виды на урожай колеблются от 700 до 1000 кг, в бочку вмещается 50 кг, цена бочки – 300 руб., затраты на засолку – 20 руб. за бочку, аренда места на рынке – 50 руб., цена реализации – 7,20 руб./кг.

Вариант 5. Универмаг, работающий по 10 часов в сутки, ежедневно посещают от 7 до 10 тыс. чел. Стоимость покупок одного посетителя в среднем – 50 руб. Время обслуживания – 1 мин. на покупателя. Затраты на оборудование одного рабочего места – 2400 руб., зарплата продавца – 1400 руб. в месяц. Найти разумное число рабочих мест при планировании работы на год (300 рабочих дней), если учесть, что покупатель не любит стоять в очереди и может уйти к конкурентам.

Вариант 6. Фирма, действующая в живописном Горном Алтае, планирует десятидневные маршруты для туристов в летнем сезоне (60 дней). Известно, что число туристов в течение десятидневки колеблется от 1 до 1,5 тыс. чел. Группы комплектуются из 25 чел. Стоимость путевки – 2 тыс. руб. Заработная плата инструктора составляет 6 тыс. руб. в месяц. На экипировку группы затрачивается 1,5 тыс. руб., на питание группы – 12 тыс. руб. К тому же приходится оплачивать ремонт помещений и снаряжения при подготовке к сезону – 30 тыс. руб. Сколько же инструкторов разумно пригласить на работу?

Вариант 7. В транспортном цехе ежедневно выходит из строя до 8 агрегатов, каждый из которых мог бы дать продукции на 350 руб. Слесарь-ремонтник, получающий 12000 руб. в месяц, не может в день обслужить более двух станков. Сколько же слесарей должен привлечь на работу начальник транспортного цеха?

Вариант 8. В городе N решено открыть яхт-клуб (под громким названием скрывается скромная лодочная станция). Предполагаемое число членов клуба колеблется от 100 до 250 чел. Годовой абонемент стоит 1000 руб. Аренда причала, помещений для хранения яхт и стимулирование ускоренного получения лицензии обойдутся в 20 тыс. руб. в год. Владельцу абонемента, не получившему яхты, выплачивается неустойка в двойном размере. Сколько же прогулочных яхт следует закупить (из расчета: одна яхта на 5 человек), если каждая из них стоит 15 тыс. руб. и обычно ежедневно приходит каждый десятый любитель пребывания на воде (прочими затратами можно пренебречь)?

Вариант 9. Организуются пригородные автобусные рейсы. Число пассажиров колеблется от 300 до 450 чел., из которых 10% имеют право бесплатного проезда. Цена билета 6 руб. Вместимость автобуса – 30 чел. Эксплуатационные затраты на один рейс – 50 руб. Оплата шофера за одну поездку – 60 руб. Есть ли смысл заниматься перевозками при этих условиях? Сколько же организовать рейсов?

Вариант 10. В райцентре решается вопрос о строительстве сыроваренного завода. Известно, что дневной объем поставок молока колеблется от 4800 до 5600 л в день. Один сепаратор ежедневно перерабатывает 600 л молока в 50 кг сыра. Стоимость аппарата – 40000 руб., ежемесячные эксплуатационные расходы – 1500 руб., аренда помещения – 12000 руб. в год. Молоко закупается по 3 руб./л, сыр продается по 45 руб./кг. Неиспользованное молоко приходится вывозить на свинокомплекс молоковозами (вместимость 6 ц.) с затратами 100 руб. за рейс. Сколько же сепараторов закупать (срок службы сепаратора можете уточнить у специалистов)?

Задание 2. Рассматривается игра, имеющая решение в чистых стратегиях.

Найти седловую точку и цену игры. В качестве ответа привести оптимальные чистые стратегии и цену игры. Если седловых точек несколько, указать все варианты.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ;

6. ; 7. ; 8. ;

 

9. ; 10. .

Задание 3. Игры с природой. Решение игры в смешанных стратегиях

Швейное предприятие реализует свою продукцию через магазин. Сбыт зависит от состояния погоды. В условиях теплой погоды предприятие реализует костюмов и платьев, а при прохладной погоде - костюмов и платьев. Затраты на изготовление одного костюма равны рублям, а платья - рублям, цена реализации соответственно равна рублей и рублей. Определить оптимальную стратегию предприятия.

Вариант 1

.

Вариант 2

.

Вариант 3

.

Вариант 4

.

 

Вариант 5

.

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Задание 4. Определить оптимальную стратегию предприятия.

Вариант № 1.

ООО «Скороход» производит продукцию двух видов: мужские ботинки и туфли, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт на пару мужских ботинок составляют 315 руб., мужских туфель – 180 руб., а цена реализации пары равна соответственно 430 и 240 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Скороход» может реализовать в течение месяца 1500 ботинок и 2100 туфель, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 1900 ботинок и 1700 туфель. «Скороход» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество ботинок и туфель, выпускаемых ООО «Скороход», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 2.

ООО «Уют» производит бытовую технику двух видов: холодильники и пылесосы, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одного холодильника составляют 1675 руб., пылесоса – 720 руб., а цена реализации равна соответственно 2160 и 940 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Уют» может реализовать в течение месяца 450 холодильников и 1200 пылесосов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 340 холодильников и 1400 пылесосов. ООО «Уют» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество холодильников и пылесосов должно выпустить ООО «Уют», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 3.

Мебельная фабрика «Гранд» производит мебельные гарнитуры двух видов: жилая комната и детский гарнитур, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной мебельной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной жилой комнаты составляют 18240 руб., детского гарнитура – 9680 руб., а цена реализации равна соответственно 21470 и 12340 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С фабрика может реализовать в течение месяца 18 жилых комнат и 12 детских гарнитуров, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 16 жилых комнат и 14 детских гарнитуров. Фабрика может применить две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество жилых комнат и детских гарнитуров должна выпустить фабрика, при котором она получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 4.

АО «ОМО» производит продукцию двух видов: стиральные и посудомоечные машины, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной стиральной машины составляют 2640 руб., посудомоечной – 1480 руб., а цена реализации единицы продукции равна соответственно 3670 и 1750 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С АО «ОМО» может реализовать в течение месяца 160 стиральных и 120 посудомоечных машин, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 130 стиральных и 150 посудомоечных машин. АО может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество стиральных и посудомоечных машин должно выпустить АО «ОМО», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 5.

ООО «Вихрь» производит продукцию двух видов: мотоциклы и мопеды, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт мотоцикла составляют 12860 руб., мопеда – 7400 руб., а цена реализации соответственно равна 15200 и 9600 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С ООО «Вихрь» может реализовать в течение месяца 700 мотоциклов и 1240 мопедов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 820 мотоциклов и 1070 мопедов. ООО «Вихрь» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество мотоциклов и мопедов, которое должно выпустить ООО «Вихрь», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 6.

ООО «Скороход» производит продукцию двух видов: мужские ботинки и туфли, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт на пару мужских ботинок составляют 1315 руб., мужских туфель – 1180 руб., а цена реализации пары равна соответственно 1430 и 1240 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Скороход» может реализовать в течение месяца 1300 ботинок и 1900 туфель, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 1700 ботинок и 1500 туфель. «Скороход» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество ботинок и туфель, выпускаемых ООО «Скороход», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 7.

ООО «Уют» производит бытовую технику двух видов: холодильники и пылесосы, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одного холодильника составляют 11675 руб., пылесоса – 1720 руб., а цена реализации равна соответственно 15600 и 2940 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С «Уют» может реализовать в течение месяца 400 холодильников и 1100 пылесосов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 300 холодильников и 1300 пылесосов. ООО «Уют» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество холодильников и пылесосов должно выпустить ООО «Уют», при котором оно получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 8.

Мебельная фабрика «Гранд» производит мебельные гарнитуры двух видов: жилая комната и детский гарнитур, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной мебельной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной жилой комнаты составляют 28240 руб., детского гарнитура – 13680 руб., а цена реализации равна соответственно 33470 и 16340 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С фабрика может реализовать в течение месяца 16 жилых комнат и 10 детских гарнитуров, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 14 жилых комнат и 12 детских гарнитуров. Фабрика может применить две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество жилых комнат и детских гарнитуров должна выпустить фабрика, при котором она получит среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 9.

АО «ОМО» производит продукцию двух видов: стиральные и посудомоечные машины, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт одной стиральной машины составляют 12640 руб., посудомоечной – 11480 руб., а цена реализации единицы продукции равна соответственно 15670 и 13750 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С АО «ОМО» может реализовать в течение месяца 180 стиральных и 140 посудомоечных машин, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 150 стиральных и 170 посудомоечных машин. АО может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите, какое количество стиральных и посудомоечных машин должно выпустить АО «ОМО», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Вариант № 10.

ООО «Вихрь» производит продукцию двух видов: мотоциклы и мопеды, сбыт которых зависит от объемов производства аналогичной продукции конкурирующим предприятием. Затраты на производство и сбыт мотоцикла составляют 12900 руб., мопеда – 7440 руб., а цена реализации соответственно равна 15300 и 9800 руб. При выборе предприятием-конкурентом стратегии С ООО «Вихрь» может реализовать в течение месяца 500 мотоциклов и 1040 мопедов, при выборе предприятием-конкурентом стратегии Д – 620 мотоциклов и 870 мопедов. ООО «Вихрь» может принять две стратегии: организовать выпуск продукции в расчете на стратегию С предприятия-конкурента (стратегия А) или в расчете на стратегию Д (стратегия В).

Определите количество мотоциклов и мопедов, которое должно выпустить ООО «Вихрь», чтобы получить среднюю прибыль независимо от того, какую стратегию примет предприятие-конкурент.

Задание 4. Решение матричных игр

в смешанных стратегиях симплекс-методом

1. Для матричной игры проверьте наличие оптимальной чистой стратегии.

2. Составьте пару двойственных задач и выполните ее решение симплексным или каким-либо другим методом. Оцените полученное оптимальное решение с позиций здравого смысла.

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ; 9. ;

10. .