Понятие оптимального программирования и экстремальной задачи. Критерий оптимальности и его виды. Общий математический вид оптимизационных моделей.

Успешность решения подавляющего большинства экономических задач зависит от наилучшего, наивыгоднейшего способа использования ресурсов. И от того, как будут распределены эти, как правило, ограниченные ресурсы, будет зависеть конечный результат деятельности.

Суть методов оптимизации (оптимального программирования) заключается в том, чтобы, исходя из наличия определенных ресурсов, выбрать такой способ их использования (распределения), при котором будет обеспечен максимум или минимум интересующего показателя. [1]

Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей).

Оптимальное программирование, таким образом, обеспечивает успешное решение целого ряда экстремальных задач производственного планирования. В области же макроэкономического анализа, прогнозирования и планирования оптимальное программирование позволяет выбрать вариант народнохозяйственного плана (программы развития), характеризующийся оптимальным соотношением потребления и сбережений (накоплений), оптимальной долей производственных капиталовложений в национальном доходе, оптимальным соотношением коэффициента роста и коэффициента рентабельности национальной экономики и т. д.

Оптимальное программирование обеспечивает получение практически ценных результатов, так как по своей природе оно вполне соответствует характеру исследуемых технико-экономических процессов и явлений. С математической и статистической точек зрения этот метод применим лишь к тем явлениям, которые выражаются положительными величинами и в своей совокупности образуют объединение взаимозависимых, но качественно различных величин. Этим условиям, как правило, отвечают величины, которыми характеризуются экономические явления. Перед исследователем экономики всегда имеется – некоторое множество разного рода положительных величин. Решая задачи оптимизации, экономист всегда имеет дело не с одной, а с несколькими взаимозависимыми величинами или факторами.

Оптимальное программирование можно применять лишь к таким задачам, при решении которых оптимальный результат достигается лишь в виде точно сформулированных целей и при вполне определенных ограничениях, обычно вытекающих из наличных средств (производственных мощностей, сырья, трудовых ресурсов и т. д.). В условия задачи обычно входит некоторая математически сформулированная система взаимозависимых факторов, ресурсы и условия, ограничивающие характер их использования.

Задача становится разрешимой при введении в нее определенных оценок как для взаимозависимых факторов, так и для ожидаемых результатов. Следовательно, оптимальность результата задачи программирования имеет относительный характер. Этот результат оптимален только с точки зрения тех критериев, которыми он оценивается, и ограничений, введенных в задачу.

Отталкиваясь от вышесказанного, для любых задач оптимального программирования характерны три следующих момента: [2]

1) наличие системы взаимозависимых факторов;

2) строго определенный критерий оценки оптимальности;

3) точная формулировка условий, ограничивающих использование наличных ресурсов или факторов.

Теорию задач на отыскание наибольших и наименьших величин называют теорией экстремальных задач, или теорией оптимизации, или иногда теорией оптимизационного уравнения.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой - критерием оптимальности.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта. На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

Учитывая зависимость отвида и уровня задач оптимизации (расчет режимов резания, проектирование операции и технологического процесса или оценка работы предприятия в целом) основные исполь­зуемые критерии оптимальности можно подразделить на следующие виды:

1) экономические: минимальная себестоимость; наименьшие на­роднохозяйственные приведенные затраты; наименьшие приведенные хозрасчетные затраты; наибольшая прибыль; рентабельность; минимальный уровень затрат на производство (минимальные затра­ты на электрическую и другие виды энергии, на основные и вспомо­гательные материалы, на фонд заработной платы и др.);

2) технико-экономические: максимальная производительность; наименьшее штучное время; основное и вспомогательное время; коэффициент полезного действия оборудования; надежность работы системы оборудования или отдельных ее элементов; станкоемкость изделия; стабильность технологического процесса обработки;

3) технологические: точность изготовления изделия, показатели качества поверхности изделия (шероховатость, волнистость, микро­твердость, остаточные напряжения и др.); физико-химические свой­ства изделий; стойкость инструмента;

4) эксплуатационные: износостойкость; усталостная прочность; контактная жесткость и другие показатели долговечности изделий;

5) прочие: психологические; эстетические; эргономические.

Наибольшее распространение при решении задач оптимизации технологического проектирования получили экономические и техни­ко-экономические критерии оптимальности. Это связано с тем, что в базе разработки любого ТП или решения более частной задачи, к примеру расчета режимов резания, лежат два принципа: техни­ческий и экономический. В соответствии с первым принципом технологический процесс должен гарантировать выполнение всœех требований на изготовление изделия. Второй принцип определяет условия, обеспечивающие минимальные затраты труда и наимень­шие издержки производства. Первый принцип наиболее полно отражается минимальной себестоимостью из группы экономических критериев, а второй – максимальной производительностью из груп­пы технико-экономических критериев.

Технологические и эксплуатационные критерии оптимальности используются при обеспечении требуемого качества наиболее ответ­ственных изделий (точности, качества поверхности, физико-хими­ческих свойств и др.), а также эксплуатационных свойств отдельных деталей, определяющих надежность и долговечность машин.

Математически общую модель задачи можно представить в виде:

найти значения n переменных х₁, х₂, …, х_n, которые удовлетворяют системе ограничений

f_i (х₁, х₂, …, х_n) { <,=, > } b_i ( ) (2.2)

и максимизируют или минимизируют целевую функцию

Z = f (х₁, х₂, …, х_n) ® (max/min). (2.3)

Если на переменные налагается условие неотрицательности, тогда в модель задачи вводится условие

(х_j > 0), (). (2.4)

Иногда на переменные налагается условие целочисленности, тогда его можно записать в виде

x_j = 0, или 1, или 2, или 3 и т. д.