Министерство образования и науки. «пермский государственный педагогический университет»

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Пермский государственный педагогический университет»

Математический факультет

Кафедра высшей математики

Пастухова Г.В.

 

Учебно-методический комплекс дисциплины

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА И ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ

 

 

050100 – Педагогическое образование

Профиль подготовки – Информатика и ИКТ

Квалификаций (степень) выпускника

Бакалавр педагогического образования

Форма обучения очная

 

 

Пермь, 2012

 

1. Цель дисциплины.

В дисциплину «Математическая логика и теория алгоритмов» вошли и одна из древнейших математических наук – логика (первое дошедшее до нас сочинение «Аналитики» Аристотеля (382-322 гг. до н.э.) принадлежит позднегреческой эпохе) и совсем юная по меркам истории – теория алгоритмов, которая не насчитывает и ста лет. Обе эти науки, не смотря на столь значительную разницу в возрасте, имеют много общего – они обосновывают саму математику, ее строение и особенности формализаций различных математических систем.

Программа дисциплины отражает цель курса – знакомство с формализацией математического языка, которая рассматривается в данном курсе значительно глубже, чем в курсах алгебры, геометрии и математического анализа, и охватывает также логические средства. В рамках этого курса изучается, прежде всего, язык логики, освещаются современные подходы к формализации и аксиоматизации различных математических дисциплин, в частности затрагиваются такие фундаментальные понятия, как понятие непротиворечивости и полноты математической теории, независимости системы аксиом.

Дисциплина включает в себя два основных раздела: «Математическая логика» и «Теория алгоритмов». В вводном разделе программы рассматриваются основные этапы становления математической логики как особой математической дисциплины, освещается ее роль в решении проблем обоснования математики, в развитии современной вычислительной техники.

Раздел «Математическая логика» в свою очередь состоит из подразделов «Алгебра высказываний», которая изучает высказывания, формулы, их истинностные значения, тождественно ложные, истинны и выполнимые формулы, равносильность формул, приведение формул с помощью равносильных преобразований к нормальным формам. Овладение техникой алгебры высказываний позволить студентам решать алгебраическим методом логические задачи, в частности проверять правильность некоторых рассуждений, а также составлять и упрощать релейно-контактные схемы с заданными условиями работы.

Пример формальной аксиоматической системы рассматривается в разделе «Исчисление высказываний». Особое внимание в этом разделе следует уделить доказательству выводимости в построенном исчислении формул (теорем).

Далее вводится понятие предиката, определяются операции навешивания кванторов общности и существования, обобщаются понятия формулы и ее интерпретации. Возможности языка алгебры предикатов иллюстрируются разнообразными примерами при рассмотрении арифметической и геометрической моделей.

Формализованное исчисление предикатов рассматривается как расширение исчисления высказываний.

Все вышеуказанные подразделы (алгебры и исчисления высказываний и предикатов) являются примерами построения той или иной формализованной системы. Принципы построения и характеристики (полнота, разрешимость, противоречивость) составляющие метатеорию формальных систем подытоживают данный раздел. Также даются примеры и понятия неклассических видов логики как нечеткая и алгоритмическая и принципы логического программирования.

Второй раздел «Теория алгоритмов» является теоретической основой программирования и посвящен формализации понятия «алгоритма» в виде машин Тьюринга и рекурсивных функций. Начинается раздел с изучения возникшей потребности в строгом определении «алгоритма». Далее рассматривается интуитивное понятия «алгоритма», приводятся примеры.

Подраздел «Рекурсивные функции» посвящен базовым функциям и операциям, формируется понятие и примеры частично-рекурсивных, рекурсивных и общерекурсивных функций, доказывается рекурсивность основных арифметических функций, формулируется тезис Черча. Также даются понятия алгоритмически неразрешимых, легкоразрешимых и трудноразрешимых задач и оценки (меры) сложности алгоритмов.

Аналогично строится формализация понятия алгоритма в виде машин Тьюринга, рассматривается ее устройство, действия над машинами, связь с рекурсивными функциями, финалом является тезис Тьюринга, проводиться аналогия с тезисом Черча.

 

2. Место дисциплины в структуре ООП:

Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» относится к вариативной части профессионального цикла.

Для освоения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов» используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в ходе изучения дисциплин: «Алгебра», «Геометрия», «Математический анализ», «Теория функций действительного переменного», «Теория чисел», «Информатика».

Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» является логической основой понимания сущности доказательств и их логического строения, изучения аксиоматических математических теорий из разных областей математики, а также теоретическим обоснованием логической составляющей обучения математике. Алгоритмический подход позволяет изучать математические теории в целом.

 

3. Требования к результатам освоения этой дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих специальных компетенций СК-1, СК-2, СК-3.

 

№	Общая формулировка	Детализация
СК-1	Овладение содержанием фундаментальных математических дисциплин (овладение основными понятиями, идеями и принципами, освоение методов фундаментальных математических теорий)	- владеет основными понятиями алгебры высказываний (АВ) и предикатов, исчисления высказываний (ИВ) и предикатов (ИП) (высказывания, действия над высказываниями (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность), таблицы истинности, формулы АВ, равносильных формул, ДНФ, СДНФ, КНФ, СКНФ; аксиомы и их свойств (полнота, независимость) исчисления, правила вывода из аксиом, теорема дедукции, выводимой формулы, связь АВ и ИВ, свойства ИВ (непротиворечивость, полнота); предиката, квантора, нормальных форм и формул; формул ИП, аксиомы и их свойства ИП, выводимые формулы, теорема дедукции, свойства ИП (непротиворечивость, полнота; алгоритма, вычислимой функции, машины Тьюринга, действии над машинами, тезис Черча, тезис Тьюринга, рекурсивной функции (частично рекурсивной и примитивно рекурсивной)); - имеет навык равносильных преобразований формул АВ, применения АВ для решения текстовых задач и анализа РКС, доказательства выводимости в построенном исчислении формул (теорем); -способен уточнить понятие «алгоритма» с помощью рекурсивных функций и машин Тьюринга; -имеет навык построения машин Тьюринга для решения задач и действиями над ними; - умет доказывать рекурсивность основных функций.
СК-2	Овладение методом математического моделирования (способность к построению математических моделей, выбору и применению соответствующему модели математического метода решения задачи и интерпретации результатов)	- владеет аксиоматическим методом построения математических дисциплин на примерах ИВ и ИП; - готов исследовать различные системы на такие характеристики как полнота, непротиворечивость, разрешимость; - способен показать алгоритмическую неразрешимость проблемы останова, самоприменимости и др.
СК-3	Понимание методологической и историко-культурной функций математики	- способен применить аксиоматический метод к анализу произвольной математической теории; - имеет навык применения языка логики предикатов к анализу математических текстов (запись определения, предложения, теоремы) и построения противоположных. обратных утверждений данному и применять доказательство от противного; - знает методику формулирования необходимых и достаточных условий; - владеет навыком преобразований высказываний для анализа релейно-контактных схем и решения текстовых задач.

 

В результате изучения дисциплины студент должен

знать:

- этапы становления математической логики как особой математической дисциплины, начиная с логики Аристотеля; ее роль в развитии современной вычислительной техники;

- способы формализации систем и понятия «алгоритма»

- законы логической равносильности;

- компоненты (аксиомы и правила вывода) и характеристики (свойства) исчисления высказываний и исчисления предикатов;

- методы математической логики для изучения математических доказательств и теорий;

- различные определения понятия алгоритма;

- формулировку алгоритмически неразрешимых проблем;

- знать аксиоматический метод построения класса вычислимых функций;

уметь:

- распознавать тождественно истинные формулы алгебры высказываний и логики предикатов;

- применять средства языка логики предикатов для записи и анализа математических предложений;

- строить простейшие выводы в исчислении высказываний и исчислении предикатов, использовать эти модели для объяснений строения математических доказательств;

- строить машины Тьюринга для решения простых алгоритмических задач;

- доказывать вычислимость простейших функций в теории алгоритмов;

владеть:

- техникой равносильных преобразований логических формул;

- методами распознавания тождественно истинных и равносильных формул;

- дедуктивным аппаратом изучаемых логических исчислений;

- алгоритмом нумерации кортежей;

- алгоритмом разложения вычислимых функций в простейшие;

- способами получения из основных рекурсивных функций доказательств рекурсивности (примитивной, общерекурсивной и частичной) функций.

приобрести навыки:

- находить совершенные формы; проверять правильность рассуждений;

- выполнять упрощения формул алгебры высказываний с помощью основных равносильностей и построения таблиц истинности;

- составлять и упрощать комбинационные схемы с заданными условиями работы;

- доказывать выводимость формул исчисления высказываний;

- записывать в виде формул логики предикатов содержательные математические предложения;

- проверять формулы на общезначимость и выполнимость;

- доказывать рекурсивность той или иной функции, уметь строит из функций с помощью операций минимизации, постановки и рекурсии иные функции.