Озғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі. Штейнер формуласы.

Қатты дененің айналуын кинематикалық сипаттауы үшін бұрыштық шамаларды қолданған тиімді:

- бұрыштық орын ауыстыру Δφ

- бұрыштық жылдамдық ω

- бұрыштық үдеу ε

Бұл формулалардағы бұрыштар радианмен өлшенеді. Қатты денені қозғалмайтын ось бойымен айналдырғанда, оның барлық нүктелері бірдей бұрыштық жылдамдықпен және бұрыштық үдеумен қозғалады. Айналудың оң бағыты ретінде сағат жүрісінің кері бағытын алады.

Қаттың дененің массасы Δm элементінің Δφ орын ауыстырулардың аз шамасында векторының модулі келесі өрнектен табылады:

Δs = rΔφ,

мұндағы r – радиус-векторының модулі (1.23.1-сурет). Бұдан сызықтық және бұрыштық жылдамдықтардың модульдерінің арасындағы байланыс:

υ = rω,және сызықтық және бұрыштық үдеулердің арасындағы байланыс:a = a_τ = rε.шығады.

және векторлары радиусы r болатын шеңберге жанама бойымен бағытталады. Денелердің шеңбер бойымен қозғалысы кезінде нормаль және центрге тартқыш үдеу болатынын еске түсіру қажет. Олардың модульдері:

Айналған денені кішкентай Δm_i бөліктерге бөлейік. Айналу осіне дейінгі ара қашықтықты r_i деп, сызықтық жылдамдықтардың модульдерін υ_i арқылы белгілейік. Онда айналған дененің кинетикалық энергиясын:

түрінде жазуға болады.

физикалық шамасы айналған дененің айналу осінің бойында үлестірілуіне тәуелсіз. Ол берілген оське қатысты инерция моменті деп аталады.

Δm → 0 кезде бұл қосынды интегралға айналады. СИ-дегі инерция моментінің өлшем бірлігі – кг м². Сонымен, қозғалмайтын ось бойымен айналған қаттың дененің кинетикалық энергиясын:

түрінде жазуға болады. Бұл формула ілгерілемелі қозғалған дененің кинетикалық энергиясының формуласына ұқсас, бірақ мұнда массаның орнында инерция моменті, ал сызықтық жылдамдықтың орнында – бұрыштық жылдамдық қолданылады.

Айналмалы қозғалыстың динамикасында инерция моменті, ілгерінді қозғалыс динамикасындағы массаның ролін атқарады. Бірақ мұнда бір айырмашылық бар. Егер масса – бұл дененің қозғалысынан тәуелсіз ішкі қасиеті болса, инерция моменті – ол дене қай осьті айналғанына байланысты болады. Әр түрлі айналу осьтері үшін бір дененің инерция моменттері әр түрлі болады.

Көптеген есептерде қатты дененің айналу осі оның массалар центрі арқылы өтетін жағдай қарастырылады. Жүйенің қарапайым жағдайы үшін массалары m ₁ и m ₂ бөлшектердің x _C, y _C массалар центрінің орналасуы келесі формулалармен анықталады:

Векторлық формада бұл қатынас:

түрінде жазылады. Дәл осы сияқты, массалар центрінің радиус-векторы:

өрнегімен анықталады.

Тұтас дене үшін үшін жазылған формулада қосындылар интегралдармен ауыстырылады. Біртекті ауырлық өрісінде массалар центрі ауырлық центрімен беттесетінін көру қиын емес. Сондықтан, пішіні күрделі дененің массалар центрін анықтау үшін, денені бірнеше нүктеден өлшеп, аспа бойынша вертикаль сызықтарды белгілеу қажет.

Біртекті ауырлық өрісіндегі ауырлық күшінің тең әсерлі күші дененің массалар центріне салынады. Егер дене массалар центрі арқылы ілінсе, онда ол тепе-теңдіктің бейтарап жағдайында орналасады. Қатты дененің кез келген қозғалысын екі қозғалыстың қосындысы түрінде өрнектеуге болады: жылдамдығы дененің массалар центріне тең ілгерілемелі қозғалыс және массалар центрі арқылы өтетін ось бойындағы қозғалыс. Мысал ретінде – горизонтпен сырғанаусыз домалаған допты келтіруге болады (1.23.4-сурет). Доптың айналуы кезінде, оның нүктелері сурет жазықтығына параллель жазықтықтарда қозғалады. Мұндай қозғалысты жазық қозғалыс деп атайды. Жазық қозғалыс кезінде қатты дененің кинетикалық энергиясы ілгерілемелі қозғалыстың энергиясы мен массалар центрі арқылы өтетін және дененің барлық нүктелері қозғалатын жазықтықтарға перпендикуляр болатын оське қатысты айналмалы кинетикалық энергиясының қосындысына тең болады.

мұндағы m – дененің толық массасы, I_C – массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты дененің инерция моменті.

Механикада массалар центрінің жылжуы туралы теорема дәлелденеді: сыртқы күштердің әсерінен кез келген дененің немес әсерлескен денелердің жүйесінің массалар центрі бүкіл жүйенің массасы шоғырланған материалдық нүкте сияқты қозғалады.

Осы тұжырымның иллюстрациясы болып 1.23.5-сурет табылады, мұнда дененің ауырлық күштің әсерінен қозғалуы суреттелген. Массалар центрі параболалық траектория бойымен материалдық нүкте сияқты қозғалады, ал басқа нүктелер өзге күрделі траекториялар бойымен қозғалады. Егер қатты дене қозғалмайтын осьтің бойымен айналса, онда оның инерция моментін I массалар центрі арқылы өтетін және біріншісіне параллель болатын оське қатысты I_C инерция моменті арқылы өрнектеуге болады.

Координаттар басы О және массалар центрі С нүктесінде орналасқан XY координаттық жүйені қарастырайық. Айналу осьтерінің бірі массалар центрі С арқылы өтсін, ал екіншісі – координаттар басынан dқашықтығында орналасқан Р нүктесі арқылы өтсін. Осьтердің екеуі де сурет жазықтығына перпендикуляр. Δm_i – қатты дененің массасының кішкентай элементі болсын. Инерция моментінің анықтамасы бойынша:

 

I_Pүшін өрнекті:

түрінде жазуға болады. Координаттар басы С массалар центрімен беттесетіндіктен, соңғы екі мүше 0-ге айналады. Бұл массалар центрінің анықтамасынан шығады. Сондықтан:

IP = IC + md2,

мұндағы m – дененің толық массасы. Бұл нәтижені Штейнер теоремасы (айналу осін параллель көшіру туралы теорема) деп атайды.

Ньютонның екінші заңы қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты айналуы үші жалпылануы мүмкін. Массаның кез келген кішкентай Δm_i элементін бөліп алайық. Оған сыртқы және ішкі күштер әсер етеді. Тең әсерлі күш . Оны екі құраушыға: жанама құраушы және радиал құраушы жіктеуге болады. Радиал құраушы a_n центрге тартқыш үдеуді тудырады.

күшінің жанама және радиал құраушылары

жанама құраулы Δm_i массасының тангенциал үдеуін тудырады. Скаляр түрде жазылған Ньютон заңы:

Δ m _i a _iτ = F _iτ = F _i sin θ или Δ m _i r _iε = F _i sin θ,

береді. Мұндағы:

- қатты дененің барлық нүктелерінің бұрыштық үдеуі. Егер жоғарыда жазылған теңдеудің екі жағын да r_i-ге көбейтсе, онда

аламыз, мұндағы l_i – күш иіні, M_i – күшінің моменті.

Енді дәл осындай қатынастарды айналмалы қатты дененің барлық Δm_i массасының элементтері үшін жазып, сол және оң жақтарып қосындылау қажет. Бұдан:

Оң жағында тұрған қатты дененің әр түрлі нүктелеріне әсер ететін күш моменттерінің қосындысы – барлық сыртқы және ішкі күш моменттерінің қосындысынан тұрады:

Бұл – қатты дененің айналмалы қозғалысы динамикасының негізгі теңдеуі. ε бұрыштық үдеуі және M күш моменті бұл теңдеуде алгебралық шамалар болып табылады. Әдетте оң бағыт ратінде сағат жүрісінің кері бағытын алады.

Жоғарыда жазылған теңдеудің векторлық формасы да болады.

шамалары айналу осінің бойымен бағытталған векторлар ретінде анықталады. Ілгерілемелі қозғалысты оқыған кезде, дененің импульсі ұғымы енгізіледі. Дәл осылайша, айналмалы қозғалысты зерттегенде импульс моменті ұғымы енгізіледі