Логические операции и таблицы истинности

9.-

10. атематически случайное событие — подмножество пространства элементарных исходов случайного эксперимента; элемент алгебры или сигма-алгебры событий , которая в свою очередь задаётся аксиоматически и вместе с пространством элементарных событий и вероятностью образует вероятностное пространство .

11.-

12-17. Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

 

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

События называется совместными если появление одного из них не исключает

появление остальных.

Если два несовместных события образуют полную группу они называются

Противоположными

События называется равновозможными если появление ни одного из них не

является объективно более возможным чем другие.

 

18. Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

19-20. так, пусть исходы некоторого испытания, образующие полную группу событий, равновозможны и число их конечно. Такие исходы называются элементарными исходами (элементарными событиями). При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев. Зачастую, наибольший интерес представляет наступление не элементарного события, а некоторого случайного события, которое включает в себя несколько элементарных. Например, при вытаскивании карты из колоды нас может интересовать появление туза любой масти, т.е. одной из четырех карт. Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.

21. Вероятность случайного события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов

22.-

23. Комбинаторика -(Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей, и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

24-28,30,31.

· Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n -элементного множества.

· Перестановкой из n элементов (например чисел 1,2,…, n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.

· Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

· Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.В общем случае существует композиций числа n, из которых в точности имеют длину k.

· Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел. вот пример: Всего существует p (5)=7 разбиений числа 5: , , , , , , .

29. Если n₁ = n₂ =... = n_k, то формула приобретает вид-

32.

Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B. Обозначается A + B. Пример 8. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, где элементарное событие w i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}. Событие A + B ={w 2,w 4, w 5, w 6} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B W.

33.

Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB. Пример 9. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}, где элементарное событие w i - выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}. Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A и событие B, A B ={w 6} A B W

34. Теорема (сложение вероятностей несовместных случайных событий). Вероятность суммы двух несовместных случайных событий и равна сумме вероятностей этих событий.

35???. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Доказательство. По определению противоположных событий имеем , где — достоверное событие: и несовместны. Отсюда

36. Теорема о полной группе событий. Сумма вероятностей событий полной группы попарно несовместных событий равна 1:

P(A₁) + P(A₂) +...+ P(A_n) = 1.

 

37. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).

 

 

38. В теории вероятностей два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. Аналогично, две случайные величины называют независимыми, если значение одной из них не влияет на вероятность значений другой

39. Теорема умножения независимых в совокупности событий. Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A₁ x A₂ x...x A_n) = P(A₁) x P(A₂) x...x P(A_n).

40.Теорема. Вероятность суммы 2-х совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления.

p (A + B)= p (A)+ p (B)− p (AB)

Доказательство:

A + B = AB + AB + AB (сумма несовместных пар)

Тогда p (A + B)= p (AB)+ p (AB)+ p (AB)

Событие A = AB + AB,

Событие B = AB + AB

p (A + B)= p (A)− p (AB)+ p (B)− p (AB)+ p (AB)= p (A)+ p (B)− p (AB)

 

Замечание: в этой теореме может существовать 2 различные ситуации.

p (A + B)= p (A)+ p (B)− p (A) p (B),

где A и B - независимые;

p (A + B)= p (A)+ p (B)− p (A) p (B ∖ A),

где A и B - зависимые;

Логические операции и таблицы истинности

 

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция - это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.
Обозначение: F = A & B.

Таблица истинности для конъюнкции

A	B	F

 

 

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция - это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.
Обозначение: F = A + B.

Таблица истинности для дизъюнкции

A	B	F

 

 

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии

A	неА

 

 

4) Логическое следование или импликация:

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. Тоесть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации

A	B	F

 

 

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

 

Таблица истинности для эквивалентности

A	B	F