Термодинаміка та молекулярна фізика

Кількість речовини у молях – визначається як відношення кіль­кості молекул або атомів цієї речовини – N до числа Авогадро – N_A = 6,02 ×10²³ моль, яке дорівнює кількості молекул у одному молі речовини:

.

Кількість речовини у молях можна також визначити через співвідношення маси речовини – m до молярної маси – M:

,

де молярна маса зв’язана з відносною молярною масою речовини

,

де - кількість атомів і – того хімічного елемента, який входить до складу молекули; - відносна атомна маса цього елемента, яка наведена у таблиці елементів Д.І. Менделєєва.

Кількість речовини суміші газів

,

або

.

Термодинаміка вивчає зв’язок між макроскопічними параметрами стану системи, такими як тиск – Р, температура – Т та об’єм газу – V. Рівняння стану для ідеального газу відоме під назвою рівняння Менделєєва – Клапейрона має вигляд:

pV=

де р – тиск газу, V – об’єм, m – маса; М - молярна маса, R – молярна газова стала, Т – термодинамічна температура. Ідеальним називають такий газ, у якого кінетична енергія молекул значно перевищує потенціальну енергію їх взаємодії. Крім того, в ідеальному газі об’єм молекул повинен бути значно меншим, ніж об’єм простору, який вони займають.

Експериментальні газові закони являють окремі випадки рівня­ння Менделєєва – Клапейрона:

а) закон Бойля – Маріотта (ізотермічний процес Т = const m = const) для двох станів газу:

б) закон Гей – Люссака для ізобарного процесу, якщо р = const m = const:

в) закон Шарля для ізохорного процесу, якщо V = const m = const:

г) об’єднаний газовий закон, якщо m = const

Закон Дальтона, для визначення тиску суміші газів:

,

де - парціальний тиск компонентів суміші; n – кількість компонентів суміші.

Парціальним тиском називається тиск компоненти газу, якби ті­ль­ки ця компонента газу знаходилася у посудині, зайнятій сумішшю:

Молярна маса суміші газів:

де - маса і – того компонента суміші; - кількість молей і – того компонента суміші; n – кількість компонентів суміші.

Концентрація молекул – n визначається як кількість молекул – N в одиниці об’єму - V:

,

де – число Авогадро; - густина речовини; М - молярна маса.

Основне рівняння молекулярно кінетичної теорії газу:

,

де Е – середня кінетична енергія поступального руху молекули:

,

де k – стала Больцмана.

Повна кінетична енергія молекули, яка враховує і обертальний рух молекули, визначається:

,

де і – кількість ступенів свободи молекули.

Залежність тиску газу від температури та концентрації молекул:

P = n k T.

Згідно з функцією розподілу Максвела існують три характерні швидкості молекул. Це найбільш ймовірна швидкість:

,

середня арифметична:

,

середня квадратична:

,

де - маса однієї молекули.

Питома теплоємність газу при сталому об’ємі:

,

і при сталому тиску:

.

Зв’язок між питомою С та молярною теплоємністю – с має вигляд:

Внутрішня енергія ідеального газу:

Рівняння Майєра встановлює зв’язок між і :

Перший закон термодинаміки

,

де Q – кількість теплоти переданої газу; DU – зміна внутрішньої енергії системи; А – робота, виконана системою проти зовнішніх сил, яка у загальному випадку має вигляд:

.

При ізобарному процесі:

Для ізотермічного процесу

.

У випадку адіабатного процесу:

,

де - показник адіабати.

Зв’язок параметрів газу в адіабатному процесі дається рівняннями Пуассона:

Термічний ККД циклу:

де Q₁ – кількість теплоти, отриманої від нагрівача; Q₂ – кількість теплоти, переданої робочим тілом холодильнику теплової машини. Для циклу Карно термічний ККД визначається за формулою:

де Т₁ та Т₂ – температури нагрівача та холодильника.

Сила поверхневого натягу рідини – F пропорційна коефіцієнту поверхневого натягу - a та довжині змочувального периметру – l

Робота сили поверхневого натягу – А при зміні величини площі поверхні плівки - дорівнює:

А = .

Сила тиску, що утворюється сферичною поверхнею рідини ра­діусом R визначається формулою Лапласа:

Висота підйому рідини у капілярній трубці радіусом R:

,

де - крайовий кут змочування (, якщо змочування повне);

- густина рідини; g – прискорення вільного падіння.

 

Приклади розв’язку задач

 

Приклад 1. Знайти для сірчаної кислоти 1) відносну мо­лекулярну масу ; 2) молярну масу – М.

Розв’язок

Відносна молекулярна маса речовини дорівнює сумі відносних атомних мас усіх елементів, з яких складається молекула і визначається за формулою:

(2.1)

де - кількість атомів і – того елемента; - відносна атомна маса

і – того елемента. Наприклад, відносна молекулярна маса визначається з трьох складових елементів H, S та О, причому . Таким чином маємо:

2. Знайдемо молярну масу за формулою:

, (2.2)

де

 

Приклад 2. Визначити молярну масу М суміші кисню масою m₁ = 25г та азоту масою .

Розв’язок

Молярна маса суміші m до кількості речовини суміші у молях :

(2.3)

Молярні маси кисню та азоту :

Виконаємо розрахунки формули (1):

 

Приклад 3. Визначити кількість молекул N, які вміщуються у об’ємі води, та масу молекули води. Приймаючи умовно, що мо­ле­кули води мають вид кульок, які торкаються одна одної, знай­ти діаметр d молекул.

Розв’язок

Кількість N молекул визначається:

(2.4)

де - кількість речовини;

Маса однієї молекули:

Оскільки кожна молекула займає об’єм , визначимо d –діаметр молекули:

(2.5)

Об’єм, який займає молекула, знаходиться, якщо поділити мо­лярний об’єм на число Авогадро:

(2.6)

Молярний об’єм знайдеться

(2.7)

Маючи на увазі (2.5, 2.6, 2.7) знайдемо діаметр молекул:

Перевірка розмірності:

 

Приклад 4. У балоні об’ємом 10л знаходиться гелій під тиском p₁ = 1МПа при температурі Т₁ = 300К. Після того як з балону було вилучено m = 10г гелію, температура у балоні знизилась до Т₂ = 290К. Визначити тиск р₂ гелію, який залишився у балоні.

Розв’язок

Знайдемо тиск з рівняння Менделєєва-Клапейрона

(2.8)

(2.9)

Масу знайдемо з рівняння Менделєєва-Клапейрона:

(2.10)

Підставивши (2.10) та (2.9) у (2.8), знайдемо тиск вважаючи, що для гелію

 

Перевірка розмірності:

 

 

Приклад 5. У балоні міститься кисню та аргону. Тиск суміші p = 1МПа,

Температура Т = 300К. Знайти об’єм балона.

Розв’язок

Використовуючи закон Дальтона та рівняння Менделєєва-Кла­пейрона, знайдемо тиск суміші

звідки знайдемо об’єм балона:

 

 

Тут враховано, що

Звідки знайдемо об’єм балона:

 

Приклад 6. Знайти середню кінетичну енергію обертального руху однієї молекули кисню при температурі Т = 350К, а також кінетичну енергію обертального руху усіх молекул кисню масою m = 4 г.

Розв’язок

На кожну ступінь свободи молекули припадає однакова середня енергія – e_і:

(2.11)

де k – стала Больцмана, Т – термодинамічна температура газу. Оскільки обертальний рух двохатомної молекули кисню має два ступеня свободи, то середня енергія обертального руху:

(2.12)

Кінетична енергія обертального руху N молекул:

. (2.13)

Кількість молекул визначається за формулою:

(2.14)

де n - кількість речовини у молях; - стала Авогадро; m та М – маса молекули та молярна маса.

Підставивши (2.14) у (2.13), знаходимо:

Виконаємо обчислення, враховуючи, що для кисню М = 32×10^-3 кг/моль

 

Приклад 7. Обчислити питомі теплоємності та суміші не­ону та водню, якщо масові частки неону та водню складають w₁ = 80% та w₂ = 20%.

Розв’язок

Питомі теплоємності та визначаються як:

(2.15)

де - універсальна газова стала; - кількість ступенів свободи молекули; - молярна маса.

Питому теплоємність суміші знайдемо з формул теплоти нагрівання суміші:

(2.16)

(2.17)

де - питома теплоємність суміші; та - питома теплоємність неону та водню. Якщо прирівняти (2) та (3), то можна знайти теплоємність суміші:

(2.18)

або:

(2.19)

Аналогічно знаходимо:

(2.20)

Виконаємо розрахунки за формулами (2.15) для неону при :

 

Для двохатомного водню :

 

Виконаємо розрахунки теплоємності суміші за (2.19) та (2.20):

 

Приклад 8. Кисень масою займає об’єм та знаходиться під тиском Газ розширюється при сталому тиску до об’єму , а далі йде процес нагріву при сталому об’ємі до тиску

Знайти зміну внутрішньої енергії - , виконану роботу – А та теплоту Q, яка передана газу. Побудувати графік процесу.

Розв’язок Графік процесу наведено на рис. 2.1. Знайдемо температуру кисню у точках 1, 2, 3 з рівняння Менделеєва-Клапейрона:

 

 

Зміна внутрішньої енергії: . Робота розширення газу при сталому тиску у процесі 1 – 2:

а при сталому об’ємі у процесі 2 – 3 робота дорівнює нулю.

Згідно з першим законом термодинаміки, теплота, яка передана газу дорівнює:

Виконаємо обчислення маючи на увазі, що для кисню

 

 

 

 

 

 

Приклад 9. Водень масою m = 0,02 кг при початковій температурі Т₁ = 300К, розширюється у циліндрі адіабатно до п’ятикратного початкового об’єму, а далі стискується ізотермічно до початкового об’єму.

Знайти температуру в кінці адіабатного розширення та роботу газу при цих процесах. Показати графічне зображення процесу.

Розв’язок

Зв’язок температури та об’єму газу у адіабатному процесі має вигляд:

де показник адіабати; і = 5 – кількість ступенів свободи двохатомної молекули - співвідношення об’ємів.

Робота при адіабатичному стисканні

.

Робота при ізотермічному стисканні

.

Виконаємо обчислення, маючи на увазі, що для водню М = 2×10^-3 кг/моль

 

 

 

Графік процесу наведено на рисунку 2.2.

Рисунок 2.2

 

Приклад 10. Знайти додатковий тиск всередині мильної бульбаш­ки діаметром d = 10 см.

Яку роботу треба виконати, щоб створити бульбашку?

Розв’язок

Додатковий тиск всередині мильної бульбашки утворюється си­ла­ми поверхневого натягу зовні і всередині кульки:

(2.21)

де - площа перерізу кульки; П – периметр перерізу радіуса r, ; р – додатковий тиск всередині кульки; a - сила поверхневого натягу. Підставляючи ці формули у (2.21), знайдемо р:

.

Робота, яку треба виконати, щоб розтягнути плівку площею S дорівнює:

Загальна поверхня кульки, яка складається з внутрішньої і зовнішньої:

Виконаємо обчислення при

 

3 ЕЛЕКТРИКА

 

3.1 Електростатика

 

Поняття про заряд. Тілам, які взаємодіють між собою з силою, набагато більшою (приблизно в 10³⁹ разів), ніж сила гравітаційної взаємодії, приписали властивість мати заряд. Всі заряди умовно поділені на позитивні і негативні у відповідності з двозначним характером їх взаємодії: однойменні заряди відштовхуються, різнойменні притягуються. Сучасній науці відомо, що носіями заряду являються електрони та іони. Елементарним (найменшим) зарядом є заряд електрона е = -1,6∙10^-19 Кл. Кл - (кулон) це одиниця заряду в системі одиниць СІ. У всіх електричних явищах має місце закон збереження заряду: алгебраїчна сума зарядів замкнутої (ізольованої) системи не змінюється.

Закон Кулона. В основі електростатики, тобто вчення про взаємодію нерухомих зарядів, лежить закон Кулона (1785 р.) для точкових зарядів: (3.1)

Сила з якою точковий заряд Q діє на точковий заряд q прямо пропорційна добуткові цих зарядів, обернено пропорційна квадрату відстані r між ними і направлена по лінії, що з’єднує ці заряди.

- відносна діелектрична проникність середови­ща, яка показує у скільки разів сила взаємодії у вакуумі F _o більша, ніж сила взаємодії F в даному середовищі. Для повітря і вакууму = 1, для газів » 1.

По сучасним поглядам, взаємодія зарядів відбувається через – електричне поле. Кожний заряд утворює у навколишньому середовищі електричне поле, яке і діє на внесений у нього інший заряд.

Силовою характеристикою електричного поля є напруженість

(3.2)

Ця векторна величина чисельно дорівнює силі, яка діє з боку поля на одиничний позитивний заряд. Для поля точкового заряду Q напруженість

(3.3)

Вектор направлений по радіальним лініям від заряду Q, якщо він позитивний, і до нього, якщо він негативний.

Якщо поле утворене декількома зарядами, то вектор напруженості результуючого поля знаходиться по принципу суперпозиції як векторна сума напруженостей, утворених в даній точці кожним зарядом.

(3.4)

Силова характеристика яка не залежить від властивостей середовища, називається індукцією електростатичного поля.

 

Ступінь зарядженості тіл, які не можна вважати точковими, ха­рактеризуються такими величинами:

лінійна густина заряду – заряд одиниці довжини

(3.5)

поверхнева густина заряду – заряд одиниці площі

(3.6)

об’ємна густина заряду – заряд одиниці об’єму

(3.7)

Для полів, утворених неточковими зарядами, напруженість розраховується також по принципу суперпозиції, але формула (3.4) переходить у відповідний (криволінійний, поверхневий чи об’ємний) інтеграли ; , (3.8)

де - напруженість поля, створеного нескінченно малим елементом тіла dl, dS, dV.

3.2 Приклади розв’язку задач

Приклад 1. Розрахувати напруженість електричного поля на осі зарядженого кільця радіусом R, зарядом Q на відстані h від центра кільця. Елемент dl ₁ кільця, заряд якого , створює напруженість поля

. (3.9)

Діаметрально протилежний елемент dl ₂ створює напруженість dE ₂. Ясно, що Х –ві проекції цих векторів попарно компенсу­ю­ться, а У- ві додаються. Тому

Враховуючи (3.9), і що , одержуємо

Для спрощення розрахунку полів симетричних тіл застосовується теорема Остроградського – Гауса: потік вектора електростатичної індукції через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює алгебраїчній сумі зарядів, охоплених цією поверхнею

(3.10)

Потоком вектора через площадку dS назива­ється добуток величини вектора на величину площадки dS і на косинус кута α між вектором і нормаль­ним до площадки dS одиничним векто­ром .

 

Приклад 2. Напруженість поля точкового заряду.

Поверхню S вибирають у вигляді сфери радіусом r, в центрі якої знаходиться заряд q. За теоремою Острог­радського-Гауса маємо

Для різних точок сфери вектор D однаковий за величиною. Тому його винесли за знак інтегралу. А

- площа поверхні сфери. Маємо:

і . (3.11)

Приклад 3. Поле зарядженої металевої кулі радіусом R і зарядом q. Заряд на провідниках розміщується тільки по поверхні. Для r < R Тому D = 0 і Е = 0. По­ле всереди­ні провідників відсутнє. При r > R аналогі­ч­но прик­ладу 2

і . (3.12)

 

Приклад 4. Поле рівномірно зарядженої по об’єму кулі радіусом R. Загальний заряд кулі q.

Для r > R аналогічно прикладу 2 і 3

і ,

а заряд Q в кулі з радіусом r < R знаходимо за формулою:

Прирівнявши Q до одержуємо

(3.13)

Висновок. Із прикладів 2, 3 і 4 видно, що поле зарядженої кулі за її межами таке ж, як і поле точкового заряду, якщо заряд кулі зосередити в її центрі. На поверхні металевого зарядженого тіла вектор індукції D дорівнює поверхневій густині заряду σ (див. приклад 3).

 

Приклад 5. Поле прямолінійної нескін­ченної осі (циліндра) зарядженої з лінійною густиною заряду τ.

Поверхню S виберемо у вигляді циліндра, вісь якого співпадає з зарядженою віссю. Для основ цього циліндра кут між і дорівнює 90^о. Тому потік через основи дорівнює нулю. Для елементів бічної поверхні цей кут дорів­нює 0^о. Отже можна записати

Одержуємо (3.14).

Приклад 6. Поле нескінченної зарядже­ної площини з поверхневою густиною заряду σ.

Поверхню S вибираємо у вигляді циліндра, ос­нови якого радіусом r паралельні площині. Для бічної поверхні кут між і дорівнює 90^о. Тому потік через бічну поверхню дорівнює ну­лю. Для елементів основ цей кут дорівнює 0^о. Отже можна записати

Одержуємо (3.15).

Видно, що індукція і напруженість не залежать від положення точки і однакові в усіх точках простору. Такі поля називаються однорідними.

Приклад 7. Поле нескінченних паралельних різнойменно заряджених до густини зарядів + σ і – σ площин.

По принципу суперпозиції . Якщо густини зарядів однакові, то за межами площин , а між площинами

 

(3.16)

Робота, потенціал, різниця потенціалів. На заряд, помі­щений в електричне поле, діє сила, тому при переміщенні його виконує­ться робота;

, (3.17)

де α – кут між вектором і напрямком переміщення

Робота в електричному полі не залежить від форми шляху, а визначається тільки зарядом q і положеннями початкової і кінцевої точок та напруженістю електричного поля . Якщо віднести цю роботу до заряду q, то це відношення не залежить від величини заряду, а визначається тільки точок і характеристиками поля. Це дає можливість ввести іншу енергетичну характеристику поля: потенціал і різницю потенціалів. Із (3.17) одержуємо

(3.18).

- це різниця потенціалів, що чисельно дорівнює роботі, яку виконують сили електростатичного поля при переміщенні одиничного позитивного заряду із точки 1 в точку 2. Якщо точку 2 віддалити у нескінченність, де поле відсутнє, одержимо потенціал

(3.19).

Потенціал чисельно дорівнює роботі сил електричного поля по переміщенню одиничного позитивного заряду із даної точки поля r в нескінченність, де потенціал поля прийнятий за нуль. Потенціал і його різниця вимірюються у вольтах (В).

 

Приклад 8. Знайти потенціал поля точкового заряду. За означенням Будемо переміщувати пробний заряд по радіальній лінії. Тоді кут α = 0^о і з врахуванням (3.11) одержуємо

(3.20).

 

Приклад 9. Знайти різницю потенціалів між пластинами плоского конденсатора (див. приклад7).

(3.21).

Для однорідного поля напруженість дорівнює відношенню різниці потенціалів між двома точками до проекції відстані між ним на напрямок поля . В загальному випадку напруженість дорівнює градієнту потенціалу з протилежним знаком

. (3.22)

Диполь. Диполем називають два протилежних за знаками точкових заряди q розташованих на відстані l один від другого.

В електричному полі на нього діє пара сил і , обертаючий момент яких

. (3.23)

Величина (3.24)

називається електричним моментом диполя. Отже диполі в електричному полі орієнтую­ться своїми ди­по­льними моментами вздовж вектора напруженості поля.

Електроємність. Досліди показують, що при зарядженні провідників змінюється і їхній потенціал, причому між ними має місце лінійна залежність

. (3.25)

Коефіцієнт пропорційності

(3.27)

називається електроємністю провідника. Одиницею вимірювання електроємності в системі СІ є фарад (Ф). Це електроємність такого провідника, при зміні заряду якого на 1Кл його потенціал змінюється на 1В.

Для системи провідників (конденсаторів) їхня взаємна електроємність

(3.28)

де різниця потенціалів між тілами, q – заряд одного із тіл.

Знайдемо електроємності простих конденсаторів.

Приклад 10. Електроємність сфери радіусом R.

З (3.20) знаходимо . (3.29)

 

Приклад 11. Ємність плоского конденсатора. Як пра­вило відс­тань між пластинами d набагато менша від розмірів плас­тин. Тому крайовими ефектами можна знехтувати і вважати поле між пластинами однорідним. Із (3.21) з вра­ху­ванням (3.6) одержуємо Тоді

. (3.30)

 

Приклад 12. Ємність циліндричного конденсатора. Це два коаксіальних циліндри. Із (3.18), враховуючи (3.14) і (3.5), знайдемо різницю потенціалів між цилінд­рами.

 

.

Тоді (3.31)

Приклад 13. Ємність сферичного конденсатора. Різницю потенціалів між сферами знайдемо врахува­вши висновок прикладу 4 і формулу (3.20).

Тоді електроємність

(3.32)

Висновок. Приклади 10 – 13 і формули (3.29)-(3.32) показують, що електроємність не залежить від заряду, а визначається геометричними розмірами конденсаторів і властивостями діелектрика.

При з’єднанні конденсаторів у батареї загальна електроємність знаходиться так:

при паралельному з’єднанні (3.33)

при послідовному з’єднанні . (3.34)

 

Робота і енергія електростатичного поля.

Із формули (3.18) знаходимо роботу по переміщенню заряду в електростатичному полі

(3.35)

Енергію електричного поля знайдемо як потенціальну енергію зарядів на обкладинках конденсатора. Нехай між пластинами конденса­тора різниця потенціалів D j. Перенесемо нескінченно малу порцію заряду dq з однієї пластини на другу. Для цього необхідно виконати роботу dA = dq ×D j, яка перетворюється в потенціальну енергію елект­ричного поля. Підставивши D j з (3.28), одержимо . Інтегруємо по зарядові в інтервалі від 0 до . Врахуємо також (3.25).

. (3.36)

Густина енергії електростатичного поля це енергія, яка зосереджена в одиниці об’єму простору, де це поле утворене

(3.37)

Знайдемо її на прикладі плоского конденсатора (див. приклад 11). Об’єм . Із (3.30), (3.36), (3,37) і враховуючи (3.21), одержуємо

. (3.38)

 

 

3.3 Постійний електричний струм та його закони

 

Електричним струмом називається направлений рух зарядів. Носіями електричного струму в металах являються електрони, у напівпровідниках електрони і дірки, в розчинах іони, в газах електрони і іони.

Силою струму називається швидкість цього направленого пере­носу заряду (3.39)

Вимірюється струм у системі СІ в Амперах (А). Це основна оди­ниця в цій системі і визначає­ться по взаємодії провідників із струмом в розділі “електромагнетизм”.

Знайдемо силу струму в провіднику через швидкість V направ­ле­ного руху зарядів. За час через перпендикуля­р­ний до вектора швидкості переріз dS провідни­ка перейдуть тільки ті носії, які знаходяться від нього на відстані не більшій ніж і перенесуть свій заряд через цей переріз. Носії, які знаходяться далі не встигнуть за цей час дійти до перерізу і внести вклад в еле­ктричний струм. Сумарний перенесений заряд дорівнює заряду носіїв, що знаходяться в зображеному на рисунку циліндрі.

( - концентрація вільних носіїв заряду). Враховуючи (3.39), одержує­мо .

Густиною електричного струму називається струм, який протікає через одиничну площу перерізу провідника, тобто

(3.40)

Коли заряди набувають направленого руху під дією електрично­го поля, густину струму можна знайти по закону Ома в диференційній формі

, (3.41)

де - вектор густини струму, який співпадає з напрямком швидкості направленого руху, - питома електропровідність, - питомий опір провідника.

Питомий опір (питома електропровідність) це опір (електропровідність) провідника довжиною 1м і площею перерізу 1м², тобто куба з ребром 1м. Вимірюється питомий опір в Ом∙м.

Загальний опір провідника залежить від його геометричних розмірів: довжини і площі перерізу

. (3.42)

Якщо площа перерізу змінюється з довжиною, то загальний опір знаходиться інтегруванням.

Приклад. Знайти опір між основами зрізаного конуса.

Елемент довжини провідника має переріз радіусом . Тоді його опір .

Загальний опір (3.43)

При з’єднанні опорів загальний опір знаходиться так:

при послідовному з’єднанні , (3.44)

при паралельному з’єднанні . (3.45)

Закон Ома. Для дільниці кола, яка не містить джерела електрорушійної сили (е.р.с.), струм прямо пропорційний різниці потенціалів на її кінцях (падінню напруги U) і обернено пропорційний опору R.

(3.46)

Якщо ж в дільниці є джерело е.р.с. ε, то струм прямо пропорційний алгебраїчній сумі різниці потенціалів і е.р.с. і обернено пропорційний загальному опору (сумі зовнішнього опору R і внутрішнього опору r джерела)

. (3.47)

Для замкнутого кола струм прямо пропорційний електрорушійній силі, яка увімкнена в це коло, і обернено пропорційний сумі зовнішнього і внутрішнього опорів.

. (3.48)

Закон Джоуля-Ленца про теплову дію електричного струму. Якщо електричний струм не виконує механічної роботи, то вся його енергія перетворюється в тепло

(3.49)

Для потужності електричного струму маємо

(3.50)

В диференційній формі закон Джоуля-Ленца дає можливість розрахувати густину теплової потужності w, тобто теплову енергію, яка виділяється в одиниці об’єму провідника за одиницю часу

. (3.51)

Закони Кірхгофа.

Перший закон: алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює нулю.

(3.52)

 

Струми, які направлені до вузла і від нього беруться з протилежними знаками.

Другий закон: Алгебраїчна сума падінь напруг для будь-якого замкнутого контуру дорівнює алгебраїчній сумі е.р.с., які увімкнені в цей же контур.

(3.53)

В цих сумах знак (+) береться тоді, коли з довільно вибраним напрямком обходу контуру співпадає довільно вибраний напрямок струму для дільниці, чи напрямок дії е.р.с. В противному випадку береться (-).

Для зображеної схеми рівняння 2-го закону Кірхгофа мають вид:

для контуру 1

для контуру 2 .

Електропровідність електролітів зумовлена рухом іонів, які характеризуються зарядами q⁺, q^- і рухливостями μ ⁺, μ ^-.

Рухливість – це швидкість направленого руху носія заряду, яку він набуває в електричному полі одиничної напруженості.

(3.54)

Підстановка швидкості V із (3.54) в (3.40) дає для густини струму

. (3.55)

З (3.40) і (3.55) одержуємо для питомої електропровідності

. (3.56)

У випадку електролітів, де струм зумовлений рухом іонів обох знаків, маємо

, (3.57)

де n⁺ і n^- - концентрації відповідних іонів.

 

 

Приклади розв’язку задач

Приклад 1. На рисунку – АА – заряджена нескінчена площина, і В –однойменно заряджена кулька масою m = 40 мг і зарядом q = 88,5 нКл знаходяться у повітрі. Сила натягу нитки, на якій висить кулька, дорівнює T = 500 мкН. Знайти поверхневу густину заряду σ на площині АА.

Розв’язок. Покажемо сили які діють на кульку: mg -сила тяжіння; Т -сила натягу нитки; F – сила електростатичного відштовхування однойменно заряджених площини і кульки. Згідно (3.2) і (3.15) ця сила перпендикулярна до площини (див. приклад 6) і дорівнює . Під дією цих трьох сил кулька знаходиться у стані рівноваги. Записуємо умову рівноваги у векторній формі , а потім у скалярній в проекціях на осі координат:

ОХ: ОУ: .

Знаходимо силу F, скориставшись основною тригонометричною тотожністю , . Отже

Приклад 2. Дві довгі тонкі однойменно заряджені паралельні циліндри розміщені в повітрі на відстані 5 см одна від другої. Лінійна густина заряду на них τ₁ = 9∙10^-7 Кл/см і τ₂ = 16∙10^-7 Кл/см. Знайти напруженість результуючого електричного поля в точці, віддаленій від першої осі на 3 см, а від другої на 4 см.

Розв’язок. У прикладі 5 було показано, що вектор напруженості електричного поля зарядженої осі перпендикулярний до неї. Тому зручно розмістити осі перпендикулярно до площини аркушу, щоб вектори знаходились у площині рисунка. Згідно з принципом суперпозиції (3.4) , де

.

Величину вектора Е знайдемо за теоремою косинусів

.

Значення соsα знайдемо теж за теоремою косинусів із трикутника відстаней . Після підстановки маємо

.

В нашому випадку трикутник відстаней прямокутний. Тому cosα = 0, а

 

Приклад 3. Кулька масою 40 мг, заряджена до 1 нКл, рухається в вакуумі із швидкістю 0,1 м/с. На яку мінімальну відстань може наблизитись ця кулька до другої нерухомої, але не закріпленої кульки з такою ж масою і зарядом 4 нКл? Розв’язок. Так як друга кулька не закріплена, то вона під дією сили відштовхування від налітаючої кульки почне рухатись. Очевидно, що найменша відстань між кульками буде тоді, коли вони вже не будуть зближатись, але ще і не віддалятись. Тобто у цей момент швидкості руху обох кульок однакові. Записуємо закони збереження енергії, враховуючи, що потенціальна енергія взаємодії зарядів дорівнює добутку одного із зарядів на потенціал поля, створеного другим

зарядом , де .

Швидкість U знайдемо із закону збереження імпульсу

. Підстановка U і дає відповідь

.

Приклад 4. Електрон влітаєв плоский горизонтальний конденсатор паралельно його пластинам із швидкістю V_x = 10⁷ м/с. Напруженість поля в конденсаторі Е = 100 В/см, довжина конденсатора L = 5 см. Знайти величину і напрямок електрона при вильоті його із конденсатора.

 

Розв’язок .. На електрон однорідне електричне поле конденсатора діє з постійною вертикальною силою . Горизонтальна сила дорівнює нулю. Отже по вертикалі тіло рухається рівно прискорено без початкової вертикальної швидкості, а по горизонту – рівномірно із швидкістю V_x, тому час прольоту