Лекция 7. Координаты вектора и их свойства.
На данном занятии будут рассмотрены такие важные понятия:
ü Координаты вектора и их свойства.
Определение. Прямоугольной декартовой системой координат 
в пространстве называется три взаимно перпендикулярные числовые оси 
, 
и 
с общей точкой отсчета 
и одной и той же единицей масштаба.
Ось направлена в ту сторону, откуда кратчайший поворот от оси к оси виден против часовой стрелки, такая ориентация осей называется правой.
 |
Выделим на координатных осях , и единичные векторы-орты 
соответственно. Эти векторы попарно перпендикулярны и их длины равны 1, т.е. 
и 
. Упорядоченная тройка векторов называется еще пространственным базисом.
Выберем произвольный вектор 
и начало его совместим с точкой . Проведем через конец вектора 
плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат обозначим соответственно 
и 
. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор .
По определению суммы нескольких векторов находим 
. Так как 
, 
и 
, то 
, 
и 
.
Обозначим 
, 
и 
, таким образом:
.
Формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора 
по базису , а коэффициенты 
и 
в этом разложении называются координатами вектора в базисе .
Векторное равенство часто записывают в виде 
или 
.
Зная координаты вектора , можно легко найти его модуль. Так как для прямоугольного параллелепипеда справедливо равенство 
и так как 
, 
и 
, то 
, отсюда
,
т.е. модуль вектора равен арифметическому квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Свойства координат вектора.
1. Если и 
, то 
, т.е. при сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются).
2. Если то 
, т.е. при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
3. Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, т.е. 
, 
и 
.
Сокращенно, это можно записать так: 
4. Два ненулевых вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда пропорциональны их соответствующие координаты, т.е. 
.
Сокращенно, это можно записать так: для 
и 
: 
.
Причем, если какая-то координата вектора 
равна нулю, то для выполнения пропорции необходимо, чтобы соответствующая координата вектора тоже равнялась нулю.
 |
Для любой точки 
пространства вектор 
называется радиус-вектором точки . Координатами точки в пространстве называются координаты ее соответствующего радиус-вектора, т.е. если 
, то и 
.
Если даны две точки 
и 
, то, так как 
, имеем:
,
т.е. координаты вектора равны разностям соответствующих координат его точек конца и начала.
Так как расстояние между двумя точками и равно длине вектора 
, т.е. 
, и так как , а 
, то получим:
,
т.е. расстояние между двумя точками в пространстве равно арифметическому квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат этих точек.
Контрольные вопросы:
1. Что называется прямоугольной декартовой системой координат?
2. Что называется координатами вектора?
3. Как модуль вектора выражается через его координаты?
4. Что называется радиус-вектором точки?
5. Чему равны координаты вектора через координаты его точек начала и конца?
6. Чему равно расстояние между двумя точками в пространстве?
