Множества, операции над множествами

Лекция № 1

ГЛАВА 1

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

 

Множества, операции над множествами

Понятие множества является одним из основных первичных и наиболее общих понятий математики. Оно было введено в 1872 году создателем теории множеств немецким математиком Георгом Кантором. Язык теории множеств является основой всей современной математики.

Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Будем считать множество заданным, если известен закон, по которому можно сказать принадлежит некоторый объект данному множеству или нет. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами алфавита A, B, …, а их элементы – малыми a, b, …. Если элемент x принадлежит множеству X, то пишут , запись – означает, что элемент x не принадлежит множеству X.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Элементы множества записываются в фигурных скобках, внутри которых они перечислены, либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества. Например, , .

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству , обозначается так .

Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Чтобы проверить равенство множеств нужно показать, что и .

Объединением множеств и называется множество, составленное из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств: . Например, объединение множества всех четных и множества всех нечетных чисел есть множество целых чисел.

Пересечением множеств и называется множество, составленное из всех тех элементов, которые принадлежат как , так и : .

Совокупность тех элементов из , которые не содержатся в , называется разностью множеств и : . Разность в случае называют также дополнением множества относительно множества и обозначают СВ, а также , когда ясно относительно какого множества рассматривается дополнение.

Пример 1. Пусть и . Тогда , , .

Декартовым произведением множеств называется множество всех упорядоченных пар , таких, что , .

Пример 2. Перечислим элементы множеств и , если 1) , ; 2) , . Согласно определению получаем:

1) , ;

2) , поскольку множество пусто и мы не можем составить ни одной пары.

В записи высказываний о множествах часто употребляют логические операторы. Вместо выражений «любое из множества » употребляют запись , где перевернутая латинская буква (квантор общности) взята от начала английского слова – любой. Вместо выражений «существует элемент из множества » кратко пишут: , где перевернутая латинская буква (квантор существования) является начальной в английском слове – существование.

Объединением любого (конечного или бесконечного) числа множеств называется множество , т.е. множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств .

Пересечением любого (конечного или бесконечного) числа множеств называется множество , т.е. множество элементов, принадлежащих каждому из множеств .

Операции объединения и пересечения обладают теми же свойствами, что и арифметические операции над числами:

1) коммутативности – ;

2) ассоциативности – , ;

3) дистрибутивности, т.е. пресечение дистрибутивно относительно объединения

и объединение дистрибутивно относительно пересечения

. Но, , , .

Для наглядного представления операций над множествами используются диаграммы Эйлера-Венна (рис. 1).

 

Рис. 1

Пример 3. В теории множеств часто используютсяправила де Моргана:

Докажем первое из этих равенств.

Пусть Следовательно, х таким образом установлено включение Покажем включение в другую сторону. Пусть

Аналогично доказывается второе равенство.

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые

простейшие логические символы:

a β – означает «из предложения а следует предложение β»;

a β – «предложения a и β равносильны», т.е. из a следует β и из β следует а

– означает «для любого», «для всякого»;

– «существует», «найдется»;

: – «имеет место», «такое что»;

→ – «соответствие».

Пример 4. 1) запись x : a означает: «для всякого элемента х А имеет место предложение а»;

2) (x А В) (x А или x B)4; эта запись определяет объединение множеств А и В.