Тема 5. Средние величины и показатели вариации.

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина.

Средняя величина – обобщающая числовая характеристика изучаемого количественного признака по всем единицам статистической совокупности. Отличительной чертой средних величин является то, что в них взаимно погашаются индивидуальные различия признака.

В зависимости от характера изучаемых явлений, конкретных задач и целей статистического исследования могут применяться различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая и структурные средние (мода, медиана). Выбор вида средних зависит от исходных данных и содержания определяемого показателя.

Виды средних величин:

1. Средняя арифметическая простая применяется в том случае, когда отдельные значения признака не повторяются в совокупности несколько раз (встречаются один раз):

,

где х – индивидуальные значения признака;

n – число значений признака.

Пример 1.

з/п, руб.	число рабочих
Итого

 

 

руб.

2. Средняя арифметическая взвешенная применяется в том случае, когда отдельные значения признака встречаются в совокупности несколько раз.

,

где f – частота (как часто встречается каждый вариант).

Пример 2.

з/п, руб.	число рабочих
Итого

 

руб.

 

3. Средняя гармоническая простая применяется в тех случаях, когда объем признака w=1, то есть x f – величина постоянная (x∙f = const).

,

где x – отдельные значения признака;

n – число признаков.

Пример 3.

Пусть автомобиль с грузом от предприятия до склада ехал со скоростью 40 км/ч (x₁), а обратно порожняком – со скоростью 60 км/ч (x₂). Определим среднюю скорость автомобиля.

Решение: Время поездки туда и обратно с указанными скоростями должно равняться времени поездки до склада и назад со средней скоростью: ,

где S – расстояние от предприятия до склада.

Сократив все члены равенства на S, получим: или . Отсюда км/ч.

4. Средняя гармоническая взвешенная применяется в том случае, когда не известна численность совокупности (f) и варианты (х) приходится взвешивать по объему признака (w).

,

где w – объем признака, равный произведению вариант на частоты: w = x∙f.

Пример 4.

з/п, руб.	ФЗП, руб.

руб.

 

5. Средняя геометрическая применяется, если значения признака существенно отстоят друг от друга или заданы коэффициентами.

.

Пример 5.

Пусть цены в первом полугодии ежемесячно возрастали следующим образом: в январе в 1,02 раза; феврале – в 1,04; марте – в 1,03; апреле – в 1,04; мае – в 1,02; июне – в 1,06 раза.

Тогда среднее изменение цен:

или 103,5%, т. е. в первом полугодии цены ежемесячно возрастали в среднем в 1,035 раза или на 3,5%.

 

6. Средняя хронологическая применяется, если значения признака известны на несколько равноотстающих дат внутри определенного временного периода, характеризует состояние явления на определенный момент времени

,

где x – уровень ряда,

n – число уровней.

Пример 6.

Имеются данные о численности работников предприятия за I полугодие:

Дата	1.01	1.02	1.03	1.04	1.05	1.06	1.07
Число работников, чел.

 

Определим среднюю численность работников предприятия за I и II кварталы и I полугодие.

Решение:

чел.,

чел.,

чел.

или чел.

7. Структурные средние.

Мода – величина признака, которая наиболее часто встречается в данной совокупности.

В дискретном вариационном ряду мода определяется по наибольшей частоте.

В интервальном вариационном ряду:

,

где x_Мо – начальное значение модального интервала;

i_Мо – величина модального интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – варианта, которая находится в середине вариационного ряда, т. е. делит ряд пополам.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности: .

Для интервальных вариационных рядов:

_,

где x_Ме – начальное значение медианного интервала;

i_Ме – величина медианного интервала;

– половина суммы частот;

S_(Ме-1) – сумма накопленных частот в интервале, предшествующему медианному;

f_Ме – частота медианного интервала.

Пример 7.

з/п, руб.	Число рабочих
1000-2000 2000-3000 3000-4000 4000-5000 5000-6000 6000-7000

Вычислим моду и медиану.

Решение:

Для нахождения моды выбираем интервал 3000-4000, т. к. он соответствует наибольшей частоте, равной 7.

x_Мo=3000, i_Мo=1000, f_Мo=7, f_{Мo – 1}=5, f_{Мo + 1}=4.

Тогда руб.

 

Для медианы найдем сумму накопленных частот: и .

Тогда медианным будет интервал 3000-4000, т. к. именно в нем находится варианта с номером 11,5.

x_Мo=3000, i_Мo=1000, f_Ме=7, S_{Ме – 1}=7.

руб.

В ходе анализа средних величин возникает вопрос о степени колеблемости признака. Необходимость изучения вариации вызывается тем, что на величине средней отражаются лишь общие условия, присущие данной совокупности, и не находят отражения индивидуальные особенности, порождающие вариацию признака у отдельных единиц совокупности. Исследование вариации является необходимым звеном в анализе экономических явлений и процессов. Показатели вариации служат вместе с тем и характеристикой типичности самой средней.

Показатели вариации:

1) Размах вариации:

,

где х_max, х_min – максимальное и минимальное значение признака.

Размах вариации дает только общее представление о колеблемости признака, но не показывает, как колеблется признак внутри совокупности.

2) Среднее линейное отклонение ():

- для несгруппированных данных (первичного ряда)

;

- для n вариационного ряда

.

3) Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем фактические значения вариант x отклоняются в ту и другую сторону от исчисленной средней :

.

Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации признака в совокупности и выражается в тех же единицах измерения варьирующего признака.

4) Дисперсия признака – средняя арифметическая квадратов отклонений отдельных значений признака от их средней арифметической:

.

5) Для сравнения размеров вариации различных признаков, а также для сравнения степени вариации одноименных признаков в нескольких совокупностях исчисляется относительный показатель вариации – коэффициент вариации, который представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

.

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков, а, следовательно, об однородности состава совокупности. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна совокупность по составу.