Первый этап - определение целей моделирования.

Основные из них таковы:

1. модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание);
2. модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление);
3. модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование).

Следующий этап - поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое наполнение. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.Когда математическая модель сформулирована, выбирается метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса.

Разработка алгоритма и составление программы для ЭВМ - это творческий и трудноформализуемый процесс. В настоящее время при компьютерном математическом моделировании часто используются приемы процедурно-ориентированного (структурного) программирования.

При создании имитационной модели можно также воспользоваться возможностями одного из пакетов математической поддержки (MATHEMATICA, MathCad, MathLab и др).

 

8. Принципы моделирования: принципы информационной достаточности, осуществимости, множественности моделей

Принцип информационной достаточности - моделирование не имеет смысла, если известно все о моделируемом объекте, но моделирование невозможно, если известно слишком мало, информации должно быть достаточно для моделирования;

2. Принцип осуществимости - модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно отличающейся от нуля, и за конечное время;

3. Принцип множественности моделей - один и тот же объект может быть смоделирован разными способами, в разных его моделях главное внимание будет уделять разным сторонам моделируемого объекта, будет использоваться разный набор исходных характеристик;

 

 

9. Принципы моделирования: принципы агрегирования и параметризации

Принцип агрегирования - представление сложной системы состоящей из агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых могут быть использованы стандартные математические схемы;

Принцип параметризации - моделируемая система может иметь в своём составе некоторые относительно изолированные подсистемы, характеризующиеся определённым параметром, в том числе векторным, которые можно заменять в модели соответствующими числовыми величинами, а не описывать процесс их функционирования, что облегчает моделирование, но снижает адекватность модели;

10. Внешние, внутренние и выходные параметры системы. Математическая модель простой системы (1.1)

Выходные параметры модели - это показатели, характеризующие функциональные, эксплуатационные, конструкторско-технологические, экономические и другие характеристики проектируемого объекта. К таким показателям могут относиться коэффициенты передачи, масса и габариты проектируемого объекта, надежность, стоимость

Внешние параметры модели - это характеристики внешней по отношению к проектируемому объекту среды, а также рабочие управляющие воздействия.

Внутренние параметры модели определяются характеристиками компонентов, входящих в проектируемый объект, например номиналы элементов принципиальной схемы. Если проектируемый объект содержит элементарных компонентов, то и его математическая модель будет определяться параметрами, которые образуют вектор внутренних параметров . Каждый из параметров , в свою очередь, может быть функцией, вектором или еще более сложным математическим функционалом в зависимости от объекта проектирования.

Математическая модель является приближенным, выраженным в математических терминах, представлением объектов, концепций, систем или процессов. Объекты, кон­цепции, системы или процессы, подлежащие моделирова­нию, называют объектами моделирования (ОМ).

 

11. Свойства математических моделей: полнота, точность, адекватность

 

Полнота: Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта. Так, большинство ММ, используемых при функциональном проектировании, предназначено для отображения протекающих в объекте физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма составляющих его элементов.

Точность: Точность математической модели оценивается степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Адекватность: Адекватность MM — способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних Х, погрешность e_j зависит от значений Q и X.

 

12. Свойства математических моделей: экономичность, робастность, продуктивность, наглядность

Экономичность: Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то ее экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного времени и памяти компьютера.

Работоспособность: При использовании математической модели должны быть решены поставленные задачи.

 

Продуктивность – это возможность располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании математической модели. В противном случае математическая модель будет непродуктивной, и ее применение для анализа конкретного процесса теряет смысл. Ее можно будет использовать лишь для оценки характеристик некоторого класса процессов с гипотетическими исходными данными.

Наглядность является ее желательным, но необязательным свойством. Тем не менее, использование математической модели и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.

 

 

13. Классификация математических моделей. Структурные (геометрические и топологические) и функциональные, аналитические и алгоритмические модели

Функциональные модели отображают физические иди информационные процессы в объекте проектирования.

Структурные модели отображают топологию и геометрические свойства объекта проектирования.

топологические и геометрические, составляющие два уровня иерархии ММ этого типа. Первые отображают состав ТО и связи между его элементами. Топологическую ММ целесообразно применять на начальной стадии исследования сложного по структуре ТО, состоящего из большого числа элементов, прежде всего для уяснения и уточнения их взаимосвязи. Такая ММ имеет форму графов, таблиц, матриц, списков и т.п., и ее построению обычно предшествует разработка структурной схемы ТО.

Геометрическая ММ дополнительно к информации, представленной в топологической ММ, содержит сведения о форме и размерах ТО и его элементах, об их взаимном расположении. В геометрическую ММ обычно входят совокупность уравнений линий и поверхностей и алгебрологические соотношения, определяющие принадлежность областей пространства телу ТО или его элементам.

Геометрические ММ находят применение при проектировании ТО, разработке технической документации и технологических процессов изготовления деталей (например, на станках с ЧПУ).

 

Аналитическиематематические модели представляют собой явные математические выражения выходных параметров как функций от параметров входных и внутренних. Это, например, выражения для сил резания

Алгоритмическиематематические модели выражают связи между выходными параметрами и параметрами входными и внутренними в виде алгоритма.

 

 

14. Классификация математических моделей. Теоретические и эмпирические модели

теоретические и эмпирические. Первые получают в результате изучения свойств технического объекта и протекающих в нем процессов, а вторые являются итогом обработки результатов наблюдения внешних проявлений этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных ТО, и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей.

Поэтому эмпирическая ММ по форме представления может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической математической модели. Таким образом, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации.

 

15. Стохастические и детерминированные, статические и динамические, стационарные и нестационарные модели

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все модели могут быть разделены на следующие виды:

Детерминированные модели – отображают детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.

Стохастические модели – отображают вероятностные процессы и события; в этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса, и оцениваются средние характеристики.

Стационарные и нестационарные модели. Модель называется стационарной, если вид оператора φ и его параметры p не изменяются во времени, то есть, когда справедливо

φ[p(t),x]= φ[p(t+τ),x], т.е. y= φ(p,x).

Если же параметры модели изменяются во времени, то модель является

параметрически нестационарной

y= φ[p(t),x].

Самый общий вид нестационарности – когда от времени зависит и вид функции. Тогда в запись функции добавляется еще один аргумент

y= φ(p,t,x).

 

 

16. Линейные и нелинейные модели. Линеаризация моделей. Непрерывные, дискретные и смешанные модели

Линейной формализованной моделью будет являться такая модель, где связи между факторными («входными») и зависи­мыми («выходными») переменными может быть описана прямой ли­нией.

Для нелинейных явлений, математические модели которых не подчинены принципу суперпозиции, знания относительно поведения части объекта еще не гарантируют знаний о поведении объекта в целом, а его отклик на изменение условий может качественно зависеть от количественной величины (объема) этих изменений.

Все модели реальных систем – нелинейные, так как всегда существует предельно допустимое значение входного сигнала и при его превышении объект может просто выйти из строя или даже разрушиться. Методы исследования нелинейных систем очень сложны математически.

Поэтому главным упрощением, к которому стремятся, является линеаризация моделей – использование для описания свойств объектов линейных дифференциальных уравнений.

Линейные и нелинейные модели. Математически функция L(x) – линейна, если

L(λ₁x₁+λ₂x₂)=λ₁L(x₁)+λ₂L(x₂).

Аналогично и для функций многих переменных. Линейной функции присуще использование только операций алгебраического сложения и умножения переменной на постоянный коэффициент. Если в выражении для оператора моделиесть нелинейные операции, то модель является нелинейной, в противном случае модель – линейна.

 

 

Линеаризация допустима в следующих случаях:

1) аргумент линеаризуемой функции и сама функция изменяются на ограниченных интервалах;

2) нелинейная функция является гладкой (без разрывов) и монотонной (возрастающая или убывающая).

Идея линеаризации заключается в том, что в системах регулирования (поддержания заданных значений) сигналы мало отклоняются от рабочей точки – некоторого положения равновесия, в котором все сигналы имеют нужные значения и их производные равны нулю.

Модели непрерывные и дискретные во времени. Непрерывные модели отражают непрерывные процессы в системах. Модели, описывающие состояние объектов относительно времени как непрерывного аргумента – непрерывные (по времени):

y(t)=φ[p(t),x(t)], p(t)=ψ[y(t),x(t)].

Дискретные модели служат для описания процессов, которые предполагаются дискретными. Дискретная модель не может дать прогноз поведения объекта на интервале между дискретными отсчетами времени.

МОДЕЛЬ СМЕШАННАЯ

Математическое уравнение, описывающее влияние отдельных факторов на вариансу результирующего признака. Общий вид уравнения ввекторной форме:

 

 

 

17. Иерархия математических моделей и принцип декомпозиции. Математические модели микро-, макро- и метауровня.

При математическом моделировании достаточно сложного технического объекта описать его поведение одной математической моделью, как правило, не удается, а если такая ММ и была бы построена, то она оказалась бы слишком сложной для количественного анализа. Поэтому к таким ТО обычно применяют принцип декомпозиции. Он состоит в условном разбиении ТО на отдельные более простые блоки и элементы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом взаимного влияния блоков и элементов друг на друга. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применить и к каждому выделенному блоку вплоть до уровня достаточно простых элементов. В таком случае возникает иерархия ММ связанных между собой блоков и элементов.

Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Например, среди с труктурных математических моделей ТО к более высокому уровню иерархии относят топологические математические модели, а к более низкому уровню, характеризующемуся большей детализацией ТО, – геометрические математические модели.

На микроуровне используют математические модели, описывающие физическое состояние и процессы в сплошных средах. Для моделирования применяют аппарат уравнений математической физики.

На макроуровне производится дискретизация пространств с выделением в качестве элементов отдельных деталей, дискретных электрорадиоэлементов, участков полупроводниковых кристаллов. При этом из числа независимых переменных исключают пространственные координаты.

На метауровне с помощью дальнейшего абстрагирования от характера физических процессов удается получить приемлемое по сложности описание информационных процессов, протекающих в проектируемых объектах.

 

18. Основные характеристики сложных систем. Структура системы. Целевая функция системы. Показатель Ф(в)

Особое место среди всех видов систем занимают сложные. К ним относятся системы самой различной природы, начиная от космических и мик­роскопических объектов, завершая животными, людьми и общест­вом. Эти системы определяют различные аспекты жизнедеятельнос­ти людей. По отношению к сложным системам в обществе прихо­дится разрешать три группы проблем:

• анализ свойств и поведения системы в зависимости от ее структу­ ры и значения параметров;
• выбор структуры и значений параметров исходя из свойств сис­ темы;
• конструирование сложных систем.

· Функциональная организация – это совокупность функций системы, связей и отношений между ними. Это структура системы на основе функций. Она выражает проявление свойств системы во внешней среде.

· Структурная организация – это совокупность элементов, связей и отношений между ними, т.е. структура системы на основе элементов (и подсистем).

Целевая функция соответствует основному функциональному назначению системы

 

 

19. Этапы математического моделирования (определение исходных множеств, структурная и параметрическая идентификация)

1. Исходный этап. На этом этапе осуществляется определение конечных целей моделирования, отбор показателей, включаемых в модель, разделение их на входные и выходные.

2. Формирование априорной информации, т.е. постулирование, математическая формализация и, по возможности, экспериментальная проверка исходных допущений, относящихся к качественному характеру изучаемого явления.

3. Собственно моделирование. На этом этапе устанавливают общий вид модели (структуру, аналитическую и символьную запись).

4. Статистический анализ модели – оценивание неизвестных параметров, входящих в аналитическую запись модели, исследование свойств полученных статистических оценок.

5. Анализ адекватности модели. Заключается в применении различных процедур сопоставления выводов, оценок, следствий, полученных по результатам анализа модели и реально наблюдаемой действительностью.

6. Этап уточнения модели. Проводится лишь в том случае, если необходимы уточняющие исследования, развитие и углубление информации.

 

20. Основные правила построения математических моделей

Содержательное описание моделируемого объекта. Словесно описывается объект моделирования, цели его функционирования, среда, в которой он функционирует, выявляются отдельные элементы, возможные состояния, характеристики объекта и его элементов, определяются взаимосвязи между элементами, состояниями, характеристиками. Такое предварительное, приближенное представление объекта исследования называется концептуальной моделью. Этот этап является основой для последующего формального описания объекта.
2. Формализация операций. На основе содержательного описания определяется и анализируется исходное множество характеристик объекта, выделяются наиболее существенные из них. Затем выделяют управляемые и неуправляемые параметры, вводят символьные обозначения. Определяется система ограничений, строится целевая функция модели. Таким образом, происходит замена содержательного описания формальным (символьным, упорядоченным).
3. Проверка адекватности модели. Исходный вариант модели необходимо проверить по следующим аспектам:
1) все ли существенные параметры включены в модель?
2) нет ли в модели несущественных параметров?
3) правильно ли отражены связи между параметрами?
4) правильно ли определены ограничения на значения параметров?
Главным путем проверки адекватности модели исследуемому объекту выступает практика.

После предварительной проверки приступают к реализации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделирования подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта. По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.
4. Корректировка модели. На этом этапе уточняются имеющиеся сведения об объекте и все параметры построенной модели. Вносятся изменения в модель, и вновь выполняется оценка адекватности.
5. Оптимизация модели. Сущность оптимизации (улучшения) моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, являются время и затраты средств для проведения исследований и принятия решений с помощью модели.