Выпуклость и вогнутость функции

 

Пусть функция f (x) имеет производную в каждой точке промежутка (a; b). Если на промежутке (a; b) график функции f (x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Если на промежутке (a; b) график функции f (x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вверх").

 

 

Рис. 4.5. Функция f₁ (x) вогнута на промежутке (a;b)

 

 

Рис. 4.6. Функция f₁ (x) выпукла на промежутке (a;b)

 

Точка x ₀ называется точкой перегиба функции f (x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a; x ₀) и (x ₀; b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.

 

 

Рис. 4.7. Примеры точек перегиба

 

 

Рис. 4.8. Угловая точка не является точкой перегиба

 

Будем называть функцию возрастающей в точке x ₀, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую в точке.

Приведем без доказательства важную для исследования функций теорему.

Если f′′ (x) > 0 на промежутке (a; b), то на этом промежутке функция f (x) вогнута. Если f′′ (x) < 0 на промежутке (a; b), то на этом промежутке функция f (x) выпукла.

Из положительности второй производной функции на промежутке следует возрастание первой производной на этом промежутке, а это, как показано на рисунке 5, – признак вогнутой функции. Аналогичным образом иллюстрируется второе утверждение теоремы.

 

 

Рис. 4.9. Вогнутая функция. Тангенс угла наклона касательной возрастает

 

 

Рис. 4.10. Вогнутая функция. Тангенс угла наклона касательной убывает

 

Если x ₀ – точка перегиба функции f (x), то f′′ (x ₀) = 0.

Приведем другую формулировку достаточных условий экстремума функции.

Если в точке x ₀ выполняются условия:

1) f′ (x ₀) = 0; f′′ (x ₀) < 0, тогда x ₀ – точка максимума;

2) f′ (x ₀) = 0; f′′ (x ₀) > 0, тогда x ₀ – точка минимума;

3) f′ (x ₀) = 0; f′′ (x ₀) = 0, тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например в точке x ₀ = 0 у функции y = x ⁴, но может его не быть, например в точке x ₀ = 0 у функции y = x ⁵. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше.

Рассмотрим пример из микроэкономики.

В количественной теории полезности предполагается, что потребитель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Это означает существование функции полезности TU аргумента Q – количества купленного товара. Введем понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Далее построим двумерную систему координат, откладывая по горизонтальной осиколичество потребляемого товара Q, а по вертикальной оси – общую полезность TU, как это сделано на рисунке 4.11.

 

 

Рис. 4.11.

 

В этой системе координат проведем график функции TU = TU (Q). Точка Q ₀ на горизонтальной оси означает количество приобретенного товара, величина Δ Q –добавочный приобретенный товар. Разность Δ TU = TU (Q ₀ + Δ Q) – TU (Q ₀) ‑ добавочная полезность, полученная от покупки “довеска” Δ Q. Тогда добавочная полезность от последней приобретенной порции (или единицы количества) товара вычисляется по формуле Δ TU / Δ Q (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 122). Эта дробь, как можно видеть, зависит от величины Δ Q. Если здесь перейти к пределу при Δ Q → 0, то получится формула для определения предельной полезности MU: .

Это означает, что предельная полезность равна производной функции полезности TU (Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции TU (Q). Понятие функции полезности и представление предельной полезности в виде производной этой функции широко используется в математической экономике.