Понятие вероятности случайного события

 

При рассмотрении различных случайных событий, можно заметить, что каждое из них обладает некой характеристикой или мерой, связанной с возможностью появления события. При этом эта мера для различных событий может быть разной, а может быть и равной. Для того чтобы уметь сравнивать между собой случайные события по возможности их появления, естественно определить некоторое число, которое характеризовало бы эту возможность. Это число и будем называть вероятностью появления случайного события или просто вероятностью события.

Вероятностью появленияслучайного события называется численная мера объективной возможности его появления.

Очевидно, что самая большая вероятность должна быть у достоверного события, а самая маленькая – у невозможного. Если положить вероятность достоверного события равной 1, а невозможного – 0, то для любого другого случайного события, не являющегося ни достоверным, ни невозможным, вероятность определится как число, заключенное между нулем и единицей.

Конечно, вышеприведенные рассуждения не совсем точно определяют вероятность случайного события и, самое главное, не дают правило или формулу для нахождения этого числа. На протяжении всей истории развития теории вероятностей определение вероятности постоянно менялось и уточнялось.

Как уже отмечалось, общепринятое сегодня аксиоматическое определение вероятности было разработано советским математиком академиком А.Н.Колмогоровым. Однако значительно раньше появились статистическое и классическое определения вероятности.

 

Статистическое определение вероятности случайного

События

 

Статистическое определение вероятности события связано с понятием относительной частоты появления события в некоторой серии испытаний.

Пусть в одинаковых условиях проводят N испытаний, в каждом из которых следят за появлением некоторого события А. Обозначим через М_А – число появлений события А в N испытаниях.

Относительной частотой (или частостью) случайного события А в серии из N испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу произведенных испытаний, т.е.

(2.1)

При малом числе испытаний относительная частота события в значительной мере случайна. Однако было замечено одно удивительное свойство относительной частоты. Оказывается, при увеличении числа испытаний относительная частота событий постепенно теряет свой случайный характер. Случайные обстоятельства, сопровождающие каждое отдельное испытание, в массе испытаний взаимно погашаются, и частота постепенно стабилизируется, приближаясь с незначительными колебаниями, к некоторой постоянной величине. Естественно предположить, что эта постоянная величина и есть не что иное, как вероятность события А.

Вероятностью случайного события А называется число, около которого устойчиво колеблется относительная частота этого события, наблюдаемая при неограниченном увеличении числа испытаний.

Данное определение носит название статистического определения вероятности события.

Таким образом, частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико. Имеется огромный опытный материал по проверке этого утверждения. В качестве иллюстрации рассмотрим данные, которые относятся к примеру с бросанием монеты. Следующая таблица взята из книги Колмогорова А.Н., Журбенко И.Г. и Прохорова А.В. «Введение в теорию вероятностей» и в ней помещены результаты, экспериментально полученные различными исследователями, начиная с XVIII века:

Экспериментатор	Число бросков монеты N	Относительная частота выпадения герба Р*
Бюффон		0,507
Де Морган		0,5005
Романовский		0,4923
Пирсон		0,5005
Феллер		0,4979

 

По данным этой таблицы можно сделать вывод о том, что относительные частоты выпадения герба незначительно отклоняются от числа 0,5, т.е. можно считать, что вероятность появления герба равна 0,5.

Утверждение о близости относительной частоты появления события и его вероятности установлено не только опытным путем, но и теоретически законом больших чисел в форме теоремы Бернулли.

Очевидно, что статистическое определение вероятности события мало пригодно для решения практических задач. В некоторых испытаниях, пользуясь элементарными приемами или чисто интуитивно, нетрудно указать конкретное число, характеризующее вероятность появления того или иного события. Например, на вопрос: чему равна вероятность выпадения герба при броске монеты? Почти все, не задумываясь, отвечают – 50% или 0,5. И это верный ответ, если считать, что монета симметричная, правильной формы, а исход «монета встает на ребро» можно отбросить как практически невозможный.

Столь же легко можно получить вероятность выпадения четырех очков при броске игрального кубика – , разумеется, с теми же оговорками насчет симметричности кубика и практической невозможности его остановке на ребре или вершине.

Рассмотрение этих примеров подводит нас вплотную к другому определению вероятности события – к классическому определению.