Приближение Пуассона (Симон Д. Пуассон (1781-1840))

Решение. Обозначим - необходимое число изюминок. Считаем, что изюминка случайным образом попадает в булочку. Всего булочек 100. Значит, конкретная изюминка в булочку попадает с вероятностью . Всего изюминок . То есть проводится испытаний с вероятностью успеха . Событие, противоположное требуемому в условии задачи, заключается в том, что в случайно взятой булочке не окажется ни одной изюминки. То есть число успехов . Эта вероятность должна быть . Таким образом, требуется найти , так, чтобы , где . Находим в Таблице 2 в строке число ближайшее к числу (требуемое значение ). Это число находится в столбце . Полагая , находим . Итак получили, что если кондитер будет класть изюминок из расчёта на одну булочку, то вероятность того, что в булочке не будет изюма равна . Это очень маленькая вероятность. Событие с такой вероятностью считается практически невозможным. Так, что никто не сможет обвинить кондитера в том, что в его сдобных булочках нет изюма. 2. Приближение Муавра-Лапласа. При вычислении

вероятность относилась к некоторому числу

. Так, что можно было говорить о вероятность появления числа

к числу

, которое вычисляется с использованием чисел

Как обычно

- это число испытаний Бернулли,

- это вероятность успеха,

- вероятность неудачи,

- число успехов в последовательности испытаний. Положим

. Введём функцию

Вид графика этой функции приведён на следующем рисунке

Приближение Муавра-Лапласа заключается в том, что

Приближённое равенство (14) примем без доказательства. При

равенство (14) предпочтительнее, чем (12). Пример. Через переход проходит 1000 человек за день. Вероятность того, что прохожий обратит внимание на уличного музыканта и даст ему 1 рубль равна 0.01 (то есть каждый сотый). Какова вероятность того, что уличный музыкант заработает 100 рублей. Решение. Здесь , , . Имеем . Поэтому для вычисления вероятности успехов воспользуемся приближением Муавра-Лапласа. Вычислим

. Далее . Получили, что у музыканта вероятность заработать ровно 100 рублей близка к 0.13. Заметим, что врядли музыканта интересуют его шансы заработать ровно 100 рублей. Скорее всего, его будет интересовать вероятность заработать не менее 100 рублей или вероятность того, что его заработок составит от 80 до 150 рублей. Такие вероятности позволяет находить интегральная формула Муавра-Лапласа. К её рассмотрению мы теперь переходим. При больших значениях

вероятности ровно

успехов малы и мало информативны для исследователя. Например, какой интерес рекламной фирме знать какова вероятность того, что её рекламу запомнят ровно 30 человек. Другое дело, если знать вероятность того, что рекламу заметят более 30 человек. То есть, что

. Далее нас будет интересовать вопрос, как считать вероятности того, что число успехов находится в переделах от

до

. Эту вероятность будем обозначать

. Обозначим

. Отложим в системе координат на одной оси числа успехов

в пределах от

до

, а на другой оси приближённое значение вероятности этого числа успехов по формуле (14).

Соединим полученные точки ломаной и вычислим площадь под этой ломаной (искомая площадь на следующем рисунке залита красным цветом).

С одной стороны, площадь под ломаной близка к площади под графиком функции

, которая вычисляется как

. С другой стороны, площадь под ломаной близка к сумме площадей левых прямоугольников (на следующем рисунке залиты синим цветом).

Площадь первого слева прямоугольника равна, очевидно,

. Площадь следующего прямоугольника равна

. Так далее получаем, что сумма левых прямоугольников равна

где

. Но поскольку на основании (14)

, можно считать, что получено приближённое равенство

где слева интересующая нас вероятность

, а справа интеграл по переменной

. В интеграле

по переменой

перейдём к переменной

. Поскольку

, то

. Если переменная

, то переменная

и если переменная

, то переменная

. Отсюда по формуле замены переменной в интеграле имеем

. С учётом равенства

и того, что

получаем

Поскольку при больших

вероятность того, что число успехов равно

очень мала, то можно считать

. С учетом этого из равенства

получаем интегральное приближение Муавра-Лапласа

Или в более подробной записи

, где

. (16) Равенство (16) называют интегральной теоремой Муавра-Лапласа. Обозначим

. Функция

- это площадь под графиком функции

в пределах от

до фиксированного значения переменой

. На следующем рисунке эта площадь залита красным цветом.

По свойству интегралов

Действительно, левая часть равенства

- это площадь под графиком функции

в пределах от

до

(на следующем рисунке залита красным цветом). Правая часть равенства

- это разность площадей той же функции. На следующем рисунке площадь

залита синим цветом, а площадь

залита синим и красным цветами.

С учётом нового обозначения интегральную теорему Муавра-Лапласа можно записать в виде

, где

. (17) Интеграл

относится к “не берущимся”, то есть, его первообразная не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому для решения задач удобно иметь таблицу функции