Суть та теоретичні засади методу найменших квадратів (МНК). Ідея МНК. Засади МНК (умови його застосування).

Часто сумісні (сукупні) вимірювання виконують так, щоб кількість отриманих рівнянь m перевищувала кількість невідомих величин n (коефіцієнтів), які визначаються при розв’язанні системи. В такому разі система рівнянь ,

буде несумісною і надлишковою.

Через похибки вимірювань недоцільно використовувати функцію, яка точно проходить через експериментальні точки. В такому разі знаходять аналітичний вираз для функції, що має мінімальну дисперсію відхилень своїх значень від експериментальних даних. Метод знаходження функції за таких умов називають апроксимацією методом найменших квадратів або регресією.

Для отримання розв’язку зазвичай використовують метод найменших квадратів (МНК).

При нормальному законі розподілу похибок вимірювання величини y _k можна знайти таку сукупність значень x _i, яка з найбільшою імовірністю задовольняла б системі рівнянь (1). При визначенні сукупності значень x _i за методом найменших квадратів застосовують критерій мінімуму квадратів відхилень вимірюваних значень y _i від значень функції F: .

Нехай функція Y = F (x) задана таблицею експериментально отриманих значень y _k, x _k, (k = 1, 2... m), які мають випадкові похибки ε_k = y _k – y _kд, (y _kд – дійсне значення фізичної величини y). Необхідно знайти аналітичну функцію, яка апроксимує ці експериментальні дані. Вид апроксимуючої функції має бути відомим, наприклад, з фізичних закономірностей. При відсутності необхідної інформації апроксимуючу функцію вибирають як лінійну комбінацію заданих базисних функцій φ₁(x),..., φ _n (x): , (3)

де – a ₀, a ₁,.., a_n – невідомі коефіцієнти, що їх треба визначити за результатами вимірювань.

Для відповідних експериментальних точок x _k, y _k значення апроксимуючої функції F (x _k) не буде дорівнювати y _k через похибки вимірювань. Це можна записати у вигляді системи рівнянь: , або .

Згідно з лінійною задачею МНК значення невідомих коефіцієнтів апроксимуючої функції необхідно вибрати такі, щоб сума квадратів похибок ε_k була мінімальною .

Екстремум функції S задовольняє умовам .

Обчислюючи частинні похідні функції S, отримують систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно a _i .

Отримана система зветься нормальною системою, в якої кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих. Розв’язок системи дає оцінки МНК.

Дисперсія відхилень експериментальних даних від апроксимуючої функції

.

При застосуванні МНК припускають, що результати вимірювань містять лише незалежні випадкові похибки, мають нормальний розподіл та однакові дисперсії, а похибками вимірювань аргументів хi можна знехтувати. За такими умовами МНК дає незміщені оцінки параметрів апроксимуючої функції, які мають мінімальні дисперсії. При порушенні цих умов ефективність оцінок параметрів функції погіршується.

Слід мати на увазі, що МНК не дозволяє визначити вид функції, яка найкращим чином апроксимує експериментальні дані. Її вид має бути відомим (прийнятим), а МНК лише дозволяє отримати її оптимальні параметри.

 

31.Автоматичне керування як метод дослідження складних динамічних систем. Структуризація системи, елементарні оператори. Побудова структурної схеми системи. Побудова математичної моделі системи та її аналіз.

Одним з підходів наукового дослідження кібернетичних систем можна вважати теорію автоматичного керування, яка, як виявляється знаходить своє застосування і при вивченні економічних систем. Основи цієї теорії було закладено задовго до появи кібернетики. Основоположниками цього наукового напрямку можна вважати англійського вченого Дж. Максвела та російських вчених І.А. Вишнеградського, А.А. Лапунова та словака Стодоли. Предметом вивчення цієї теорії є система автоматичного керування, під якою розуміється комплекс пристроїв, що забезпечують автоматичну зміну характеристик об'єкту керування з метою встановлення бажаного режиму його роботи. Під бажаним належить розуміти такий режим, при якому досягається мета керування: забезпечується досягнення заданих значень параметрів системи або оптимізується певний критерій якості керування. Дослідження складних систем, як пропонує теорія автоматичного керування, належить починати із її структуризації, тобто виявлення типових елементів цих систем та структури їх взаємозв'язків. Структура окремого елемента не є предметом її аналізу, важлива тільки його взаємодія з іншими елементами цієї ж системи, тому кожен окремий елемент можна розглядати як певний перетворювач вхідної величини (інформації) у вихідну. Характер перетворення, яке здійснює даний елемент, визначає його властивості, а властивості всієї сукупності елементів та структура їх взаємозв'язків характеризують систему в цілому. На вхід кожного такого елементу (блоку) можна вважати, що поступає одна дія, сигнал у вигляді певної функції х(t) часу. Реакція блоку на цю дію можна представити іншою функцією часу y(t) це перетворення можна записати наступним операторним рівнянням: y(t) = p. Символ р називають оперативом перетворення. Оператор - це сукупність математичних дій, в результаті яких заданій функції ставиться у відповідність деяка інша функція Поняття оператива - це узагальнена поняття функції: як відомо, функцією називається змінна величина, числове значення якої визначається заданням числового значення іншої змінної - аргументу. Більш загальним поняттям є функціонал - змінна величина, числове значення якої визначається заданням функції. Поняття оператора є ще більш загальним, так як оператор ставить у відповідність кожній заданій функції не число, а функцію. Однак дослідження системи методами автоматичного керування полягає не тільки у виявленні їх статичних властивостей, тобто структури та характеру перетворень. Крім дослідження поведінки динамічних систем, принципи автоматичного керування можна використати, в застосуванні до економічних систем та в інших напрямках. Інший напрямок пов'язаний з використанням принципу зворотнього зв'язку в керуванні економічними системами та з побудовою таких механізмів автоматичного керування, які забезпечують стійке та ефективне її функціонування в змінному навколишньому середовищі.Досить важливо зуміти дати моделі, одержаній з допомогою автоматичного керування, належну економічну інтерпритацію. На підставі цієї моделі можна виявити структуру та контури взаємодії окремих підсистем, які здавалося б між собою не взаємодіють і навпаки, тобто можна виявити канали інформаційної взаємодії, які виявляються в практиці непомітними.

 

33. Поняття ідентифікації об'єкта. Спільні та відмінні сторони регресивної та ідентифікаційної моделей. Поняття ідентифікаційної моделі. Особливості побудови ідентифікаційної моделі. Процедура побудови ідентифікаційної моделі.

Ідентифікація об'єкта - процедура визначення оптимальної в певному розумінні математичної моделі об'єкта на підставі реалізацій його вхідних та вихідних сигналів. Економічний об'єкт, який необхідно ідентифікувати, переважно виступає перед дослідником як "чорна скринька" за якою можна проводити або вже проведено спостереження з боку його входів та виходів. Таким чином інформація для ідентифікації формується у вигляді вибіркових значень вхідних і вихідних показників. При ідентифікації динамічних характеристик об'єкта такою інформацією служить часовий ряд (ряди економічної динаміки), отриманий як результат спостережень за входами та виходами об'єкта протягом певного скінченного проміжку часу(0;Т). Ряди економічної динаміки переважно мають багатокомпонентну структуру, що відрображає розмаїття динамічних властивостей об'єкта дослідження, і містить регулядні (системитичні) та випадкову складові. Ідентифікація економічного об'єкта здійснюється з допомогою математико-статистичних методів.

Процедура ідентифікації економічного об'єкта передбачає виконання наступних основних етапів:

1. Первинна обробка з вхідних даних та вибір пробної математичної моделі;

2. Оцінювання моделі та її параметрів;

3. Діагностична перевірка вибраної моделі і її коректування (у випадку такої необхідності).

Для динамічної ідентифікації одномірного часового ряду за дискретну модель приймають різницеве рівняння (переважно лінійне з постійними коефіцієнтами) виду:

Підставивши значення,після перетворень отримається рівність. *

В практиці первинного аналізу рядів економічної динаміки широко застосовуються методи ковзної середньої першого та вищих рядів, які можуть бути отримані як часткових випадків рівняння *

 

35.Первинна обробка вхідних даних при побудові та її вибір. Процедура згладжування. Процедура вирівнювання. Неформалізований підхід вибору виду імітаційного моделювання. Формалізований підхід вибору виду імітаційного моделювання.

Первинна обробка вхідних даних націлюється на вирішення наступних задач (всіх або частини з них):

знизити вплив випадкової складової у початковому числовому ряді, тобто наблизити його до тренду;

представити дані числового ряду в такому вигляді, щоб суттєво знизити трудність математичного опису тренду. Основними методами рішення цих завдань є процедура згладжування та вирівнювання статистичною чи динамічного ряду.а) Процедура згладжування націлена на мінімізацію випадкових відхилення точок ряду від деякої гладкої кривої, можливого тренду процессу. Найбільш поширеним є спосіб середнього рівня на підставі певної сукупності сусідніх точок, при чому ця операція зміщується вздовж ряду точок, у зв'язку з чим переважно їх називають зсувними середніми. У найпростішому випадку згладжуюча функція лінійна і згладжуюча група складається з попередніх та наступних точок. В більш складних випадках - функція нелінійна і використовує группу довільного числа точок. Згладжування проводиться з допомогою многочленів, що наближають за методом найменших квадратів групи послідовних точок. Найкраще згладжування отримується для середніх точок групи, тому бажано вибирати непарну кількість точок у згладжуючій групі. Самі групи точок беруть сусідству та зсувають ці групи вздовж заданного ряду чисел. За певний об'єктивний критерій доцільності проведенню повторного згладжування можна використати вираз Лінійне згладжування є досить грубою процедурою виявлення загального приблизного вигляду тренду. Для більш точного виявлення форми тренду можна застосовувати нелінійне згладжування або зважені зсувні середні.б) Процедура вирівнювання. В практиці аналізу часових рядів, які містять нестаціонарну або періодичну складову, часто вдаються до апроксимації рядів з допомогою вибраних для цього функцій. Цю процедуру переважно називають вирівнюванням ряду.

в)Процедура вирівнювання націлена на більш зручне представлення початкового ряду, залишаючи незмінними його значення. Вирівнюванням будемо називати перетворення емпіричної формули де - довільна функція, до виду У випадку, якщо вид апроксимуючої функції невідомий, вирівнювання належить розглядати як попередню процедуру, в процесі якої, застосовуючи різні формули та методи, стараються виявити найбільш приємливий вид функціональної залежності, що описує заданий динамічний ряд.

Однією з різновидностей методу вирівнювання є дослідження наданого динамічного ряду з метою виявлення певних його властивостей. Отримані властивості значно полегшують процедуру вибору виду апроксимуючої функції. Розглянемо без теоретичного обґрунтування один з таких підходів.

 

36. Інші різновиди балансових моделей (заг. Х-ка) з врахуванням і без врахування лагів капітальних вкладів. Регіональні моделі. Динамічна модель Леонтьєва. Оптимізаційні моделі Леонтєва і Канторовича.В залежності від форми врахування об'єму капітальних вкладень моделі діляться на:1.моделі в яких капітальні вкладення відображаються без врахування часу на їх віддачу; 2.моделі, в яких капітальні вкладення відображаються з врахуванням лагу.Під лагом капітальних вкладень розуміється проміжок часу (час запізнення) між початком капітальних вкладень та моментом отримання прибутків від них. В моделях першого виду (без врахування лагу) вважається, що приріст продукції поточного періоду обумовлений (викликаний) вкладеннями проведеними в цьому ж періоді. Очевидно, що таке допущення далеко не завжди може бути реальним. Однак при цьому балансова модель виявляється значно простішою. Zi- валовий випуск продукції і-тою галуззю;Mij- поточні міжгалузеві матеріальні затрати; - приріст основних виробничих фондів;Vi- кінцева продукція, яка включає суспільне споживання населення, нагромадження у невиробничій сфері та сальдо експорту-імпорту. Mij=aij*Zj, Дещо по іншому проводиться планування на підставі Динамічної балансової моделі враховуючи лаги. Щоб врахувати лаги капітальних вкладень необхідно провести розподіл капітальних вкладень по напрямах. Так, об'єм капітальних вкладень кожного планового року охоплює капітальний ремонт основних фондів, капітальні вкладення в нове будівництво та реконструкцію діючих об'єктів. В той же час остання величина розпадається на вкладення у виробничу та невиробничу сферу. Враховуючи зв'язок об'єму капітальних вкладень у виробничу сферу з процесом виробництва, належить виділити капітальні вкладення, зв'язані із завершенням будівництва основних фондів, які було розпочато в попередньому періоді, капітальні вкладення зв'язані із будівництвом об'єктів призначених для вводу у плановому періоді, і капітальні вкладення, зв'язані початком будівництва в даному періоді і завершення якого буде в наступному періоді. Регіональні балансові моделі в значній мірі базуються на понятті регіональних економічних зв'язків, яке є багатоаспектним. Воно охоплює безпосередні взаємозв'язки між виробленою та використаною в економічному районі продукцією, розподіл в них факторів виробництва і їх переміщення, міжрайонну торгівлю і ін. Для комплексного вивчення цих зв'язків необхідно використовувати методи аналізу, які враховують як територіальні, так і галузеві аспекти функціонування та розвитку економічної системи. Такий аналіз можна здійснювати застосовуючи регіональні балансові моделі. Такі моделі можуть бути побудовані на різних рівнях територіальної організації господарства - міста, області, економічного району або зони і т.д. Два підходи:1.Затрати ввезеної та виробленої в районі продукції на виробниче і кінцеве споживання не розрізняти. Тоді балансова модель матиме виглядZ = (І-A)-1 (V + T - I), де Z - вектор випуску галузей району;А - матриця прямих затрат;V - вектор кінцевого споживання економічного району;Е - вектор вивезеної продукції;І - вектор ввезеної продукції. 2.Виробниче і кінцеве споживання продукції районних галузей розраховуються окремо від затрат ввезеної для цієї мети продукції.Тоді застосовують наступні балансові співвідношення:Z = (І-A(P))-1 (V(P) + E) j де V(P) - вектор кінцевого споживання, сформованого тільки за рахунок продукції виробленої в даному районі;V(I) - те ж стосовно продукції ввезеної в район;А(P) - матриця районних коефіцієнтів прямих затрат. Балансові моделі широко використовують в економічних дослідженнях, аналізі, плануванні. Ці моделі будуються на підставі балансового методу, тобто узгодженні матеріальних, трудових і фінансових ресурсів. Якщо описувати економічну систему загалом, то під балансовою моделлю мають на увазі систему рівнянь, кожне з яких виражає балансові співвідношення між виробництвом окремими економічними об’єктами обсягів продукції й сукупною потребою в цій продукції. За такого підходу розглядувана економічна система складається з об’єктів, кожен з яких випускає певний продукт, частина якого споживається ним же та іншими об’єктами системи, а решта виводиться за межі системи як її кінцева продукція. Якщо замість поняття «продукт» увести більш загальне поняття «ресурс», то під балансовою моделлю розуміють систему рівнянь, котрі задовольняють вимоги відповідності щодо наявності ресурсу та його використання. Можна також розглядати приклади балансової відповідності, як-от: відповідність наявної робочої сили й кількості робочих місць, платоспроможного попиту населення та продукції (товарів і послуг) тощо.Розгляньмо деякі відомі види балансових моделей:+часткові матеріальні, трудові й фінансові баланси стосовно до народного господарства чи окремих галузей (регіонів);+міжгалузеві баланси; +матричні техпромфінплани підприємств і фірм.

Балансові моделі на підставі звітних балансів характеризують наявні пропорції, де ресурсна частина завжди дорівнює витратній. Для виявлення диспропорцій використовують балансові моделі, в котрих фактичні ресурси узгоджувались би не тільки з їх фактичним споживанням, а й з потребою в них. Зазначимо, що балансові моделі не містять якогось механізму порівняння окремих варіантів економічних рішень (як це має місце, наприклад, у разі вибору одного з альтернативних варіантів інвестиційного проекту, див. розділ 4) і не передбачують взаємозаміни різних ви­дів ресурсів, що не дозволяє здійснити вибір оптимального варіанта розвитку економічної системи. Власне, це й визначає деяку обмеженість балансових моделей і балансового методу загалом. Модель Лєонтьєва. У розглянутій динамічній моделі МГБ передбачається, що приріст продукції поточного періоду зумовлений капіталовкладеннями, зробленими в цьому самому періоді. Для порівняно коротких періодів це припущення може виявитися нереальним, оскільки існують відомі, іноді доволі значні відставання в часі (так звані часові лаги) між вкладенням засобів у виробничі фонди і приростом випуску продукції. Моделі, що так чи інакше враховують лаги капітальних вкладень, утворюють особливу групу динамічних моделей міжгалузевого балансу. З-поміж теоретичних моделей цього типу варто виокремити насамперед лінійну динамічну МГБ Леонтьева, в якій капітальні вкладення подаються у вигляді так званого інвестиційного блока у формі Леонтьєва. Математичним узагальненням цієї та низки інших динамічних моделей є динамічна модель у матричній формі Неймана, що ґрунтується на математичній теорії рівномірного пропорційного зростання економіки (магістральна теорія).

37. Метод усіх можливих регресій можна вважати історично першим. Від дуже не зручний у використанні і може бути реалізований тільки з використанням комп'ютерної техніки.Метод полягає у побудові усіх можливих регресійних рівнянь, які обов'язково включають вільний член. Оскільки для кожного фактора існує дві можливості - бути включеним або ні в регресій ну модель, то всього прийдеться розглянути рівнянь (де m - кількість розглядуваних факторів,). Аналіз усіх можливих рівнянь регресії - дуже громіздка і не зовсім надійна процедура, адже при великій кількості факторів така метода призводить до величезних витрат праці і часу. Тому цей метод рекомендується застосовувати при невеликій кількості факторів.

Метод виключень. Метод послідовного виключення факторів значно економічніший у порівнянні із попереднім. Суть цього методу можна викласти наступною послідовністю дій:

Спочатку розраховується регресійне рівняння, яке включає всі можливі фактори. Отже базове рівняння матиме вигляд: 2.Для побудованого рівняння належить обчислити величину часткового F-критерію для кожного фактора (методику обчислення часткового F-критерію буде приведено нище).3.Нехай - найменше значення часткового F-критерію.4.Якщо (- заздалегідь вибраний критично допустимий рівень F-критерію), то відповідний фактор виключається з регресійного рівняння. Проводиться повий розрахунок регресійного рівняння вже без цього фактора і знову переходять на пункт 2. 4.Якщо, то регресій не рівняння залишається без змін і вважається побудованим.