Признак делимости чисел на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9. Например:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Признак делимости чисел на 5

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0. Например: 125; 10 720.

Признак делимости чисел на 10

На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0. Например: 30; 980; 1 200; 1 570.

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Признак делимости чисел на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3). Например: 126 (б — четное, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Признак делимости на 8

Признак делимости на 8 звучит так: если последние 3 цифры образуют число, делящееся на 8, или это 000, то заданное число делится на 8.

Числа 1000 или 1088 делятся на 8: первое оканчивается на 000, у второго 88:8=11 (делится на 8 без остатка).

А вот числа 1100 или 4757 не делятся на 8,так как числа 100 и 757 не делятся без остатка на 8.

Признак делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 25

На 25 делятся те натуральные числа, две последние цифры которых — нули или составляют число, кратное 25.

Например:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Признак делимости на 50

На 50 делятся те числа, которые оканчиваются на 00 или50.Например: 773150, 241100.

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13,например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 • 5) = 104 делится на 13.

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и другие разрядные единицы

Данные признаки делимости я объединил потому, что их можно описать одинаково: число делится на разрядную единицу, если количество нулей на конце числа больше или равно количеству нулей у заданной разрядной единицы.

Другими словами, например, мы имеем такие числа: 6540, 46400, 867000, 6450. из них все делятся на 10; 46400 и 867000 делятся еще и на 100; и лишь одно из них - 867000 делится на 1000.

Любые числа, у которых количество нулей на конце меньше чем у разрядной единицы, не делятся на эту разрядную единицу, например 60030 и 793 не делятся 100.

Изучив различную литературу я узнал, что признаки делимости чисел можно классифицировать следующим образом:

Делимость по последним цифрам числа

Делимость по сумме цифр числа

Делимость составных чисел

Задачи

Признаки делимости применяются при нахождении НОД
и НОК, а также при решении текстовых задач на применении НОД
и НОК.

Задача 1: (Использование общих делителей и НОД)

Ученики 5 класса купили 203 учебника. Каждый купил одинаковое количество книг. Сколько было пятиклассников,
и сколько учебников купил каждый из них?

Решение: Обе величины, которые требуется определить должны быть целыми числами, т.е. находиться среди делителей числа 203. Разложив 203 на множители, получаем:

203 = 1х7х29.

Из практических соображенийследует, что учебников
не может быть 29. также число учебников не может равняться1,
т.к. в этом случае учеников было бы 203. Значит, пятиклассников – 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Ответ: 29 пятиклассников; 7 учебников

 

Задача 2. Имеется 60 апельсинов, 165 орехов и 225 конфет. Какое наибольшее число одинаковых подарков для детей можно сделать из этого запаса? Что войдёт в каждый набор?

Решение:

Количество подарков должно быть делителем каждого
из чисел, выражающих количество апельсинов, конфет и орехов, причем наибольшим из этих чисел. Поэтому надо найти НОД данных чисел. НОД (60, 175, 225) = 15. Каждый подарок будет содержать: 60: 15 = 4 – апельсина,175: 15 = 11 – орехов и 225: 15 = 15 – конфет.

Ответ: В одном подарке – 4 апельсина, 11 орехов, 15 конфет.

 

Задача 3: В 9 классе за контрольную работу 1/7 учеников получили пятёрки, 1/3 – четверки, 1/2 - тройки. Остальные работы оказались неудовлетворительными. Сколько было таких работ?

Решение: Решением задачи должно являться число, кратное числам: 7, 3, 2. Найдем сначала наименьшее из таких чисел. НОК
(7, 3, 2) = 42. Можно составить выражение по условию задачи: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 неуспевающий.

Математические отношение отношения задачи допускают,
что число учеников в классе 84, 126 и т.д. человек.
Но из соображений здравого смысла следует, что наиболее приемлемым ответом является число 42.

Ответ: 1 работа.

Задача 4.

В двух классах вместе 70 учеников. В одном классе
7/17 учеников не явились на занятия, а в другом 2/9 получили отличные отметки по математике. Сколько учеников в каждом классе?

Решение: В первом из этих классов могло быть: 17, 34, 51- числа, кратные 17. Во втором классе: 9, 18, 27, 36, 45, 54 - числа, кратные 9. Нам нужно выбрать 1 число из первой последовательности, а 2 число из второй так, чтобы они в сумме давали 70. Причем в этих последовательностях только небольшое число членов могут выражать возможное кол-во детей в классе. Это соображение существенно ограничивает перебор вариантов. Возможным единственным вариантом оказалась пара (34, 36).

Ответ: В первом классе – 34 ученика, во втором классе – 36 учеников.

 

Задача 5.

Какое наименьшее число одинаковых подарков можно сделать из 320 орехов, 240 конфет, 200 яблок? Сколько орехов, конфет и яблок будет в каждом подарке?

Решение: НОД(320, 240, 200) = 40 (подарков), тогда в каждом подарке будет: 320:40 = 8 (орехов); 240: 40 = 6 (конфет); 200:40 = 5 (яблок).

Ответ: В каждом подарке по 8 орехов, 6 конфет, 5 яблок.

Задача 6.

Два автобуса отправляются от одной площади по разным маршрутам. У одного из автобусов рейс туда и обратно длится 48 мин, а у другого 1 ч 12 мин. Через сколько времени автобусы снова встретятся на этой же площади?

Решение: НОК(48, 72) = 144 (мин). 144 мин = 2 ч 24 мин.

Ответ: Через 2 ч 24 мин автобусы снова встретятся на этой же площади.

Вывод.

Как видно из вышеперечисленного, можно предположить, что к любому из натуральных чисел можно подобрать свой индивидуальный признак делимости или же "составной" признак, если число кратно нескольким разным числам. Но как показывает практика, в основном чем больше число, тем сложнее его признак. Возможно, время, потраченное на проверку признака делимости, может оказаться равно или больше чем само деление. Поэтому мы и используем обычно простейшие из признаков делимости.