Раздел 1. Выборка и ее характеристики. Статистическое оценивание

Часть I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Раздел 1. Основные понятия теории вероятностей

1.1 Случайный эксперимент. Пространство элементарных исходов. Случайные события. Достоверное и невозможное события. Операции над событиями: сумма, произведение, разность, противоположное событие. Несовместные события.Соотношение между событиями вида "А влечет В". Полная группа событий. Примеры.

1.2. Классическая вероятностная схема. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. Примеры. Формула сложения вероятностей для несовместных событий.Формула сложения вероятностей для двух произвольных событий. Пример.

Статистическое определение вероятности случайного события. Геометрическая вероятность.

1.3. Условная вероятность.Формула умножения вероятностей. Зависимые и независимые случайные события.

1.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

1.5. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли). Формула Бернулли для вероятности m успехов в n испытаниях. Наивероятнейшее число успехов в n испытаниях Бернулли.

Раздел 2. Случайные величины

2.2. Дискретная случайная величина. Ее распределение и функция распределения. Независимость двух дискретных случайных величин. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.Дисперсия и ее свойства. Моменты высших порядков. Дискретные распределения: биномиальное, Пуассона.

2.3. Случайные величины с непрерывным распределением. Плотность распределения и ее свойства. Функция распределения. Математическое ожидание,

дисперсия и моменты непрерывной случайной величины. Центрированная нормированнаяслучайная величина. Ее математическое ожидание и дисперсия.

2.4. Нормальное (гауссовское) распределение, его плотность. Вероятностный смысл параметров a и s. Стандартное нормальное распределение; его плотность; графикплотности. Выражение функции распределения стандартного нормального распределения через функцию Лапласа Ф(х).

Применение функции Лапласа для вычисления вероятности попадания нормальной случайной величины в заданный промежуток (а, в). Правило «3σ».

Равномерное распределение на отрезке [a,b]. Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в заданный промежуток. Математическое ожидание и дисперсия

2.5. П оказательное распределения непрерывной случайной величины. Параметр распределения. Математическое ожидание и дисперсия. Вероятность попадания случайной величины в заданный промежуток.

Раздел 3. О предельных теоремах теории вероятностей

Сходимость последовательности случайных величин по вероятности. Суть закона больших чисел. Закон больших чисел в форме Чебышева и следствие для независимых одинаково распределенных случайных величин. Теорема Бернулли. Практические применения ЗБЧ. Понятие о центральной предельной теореме. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин и примеры ее использования.

 

ЧАСТЬ II ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Раздел 1. Выборка и ее характеристики. Статистическое оценивание

1.1 Основные задачи математической статистики. Понятие генеральной совокупности. Определение случайной выборки. Вариационный ряд, статистика.

1.2. Эмпирическая функция распределения и ее свойства. Эмпирическая плотность распределения. Построение гистограммы.

1.3. Точечная оценка параметров распределения. Числовые характеристики выборки. Свойства несмещенности и состоятельности точечных оценок. Выборочное среднее и выборочная дисперсия. Их свойства несмещенности и состоятельности.

1.4. Интервальные оценки в математической статистике. Доверительные интервалы. Построение доверительного интервала для математического ожидания нормального распределения при известной и неизвестной дисперсии: постановка задачи; доверительный интервал и доверительная вероятность; смысл доверительного интервала.