Задача заміни устаткування

 

Постановка задачі. Нехай r(t) - вартість продукції, виробленої за рік на одиниці устаткування, вік котрого t років; L(t) - щорічні витрати на обслуговування цього устаткування; S(t) - залишкова вартість устаткування; Р - вартість нового обладнання.

Визначити оптимальний цикл заміни устаткування за період часу тривалістю N років, причому за ці N років прибуток f_N(t), повинний бути максимальний.

 

Зауваження. У аналізованому процесі вік устаткування відраховується у прямому напрямку, а етапи, на які розбитий процес, в зворотному. Тому t=0 відповідає початку використання нового обладнання.

Складемо функціональне рівняння, визначивши залежність між величинами, що входять до умов задачі, на двох суміжних етапах. Якщо зберегти устаткування, вік котрого t років, то прибуток підприємства від його використання складається з прибутку на N-ому етапі, отриманий як різниця r(t) - L(t) між вартістю виробленої продукції та експлуатаційних витрат, і прибутком, отриманим за N-1 етапів, що залишився, при роботі на устаткуванні, вік котрого t+1 років, тобто
f _N(t) = r(t) - L(t) + f_N-1(t+1) (1.13)

 

Якщо на N-ому етапі устаткування, вік котрого t років, замінити новим, то прибуток після такої заміни складається з прибутку, отриманого як S(t) + r(0) - [P + L(0)], де r(0) - вартість продукції, зробленої на устаткуванні, вік котрого 0 років, а L(0) - експлуатаційні витрати, і прибутки, отримані за N-1 етапів, що залишилися в роботі на устаткуванні, вік котрого 0+1 років, тобто

f_N(t) = S(t)- P+ r(0)- L(0)+ f_N-1(t+1) (1.14)

 

Об’єднуючи (1.13) і (1.14) одержимо основне функціональне рівняння.

 

(1.15)

 

де верхній рядок визначає прибуток, отриманий при роботі на старому устаткуванні, нижній - на новому.

 

При цьому перехід на нове обладнання відбувається за 1 етап.

Вважаючи в (1.15) N=1 одержуємо функціональне рівняння одноетапного процесу, для котрого f_N-1(t+1) і f_N-1 (1) не має змісту. Тому

 

(1.16)

 

Рівняння (1.15) і (1.16) дозволяють визначити величину f_N(t) у залежності від f_N-1(t+1), де при переході від одного етапу до іншого вік устаткування збільшується від t до t+1, а число етапів зменшується від N до N-1.

 

Приклад. Нехай Р=10, а S(t) = 0, тобто устаткування цілком себе окупило; r(t) - L(t) = (t), (t) - задано в таблиці 6.

Таблиця 6

t

(t)

 

Рівняння (1. 15-1. 16) приймають такий вигляд

 

(1.17)

 

(1.18)

 

Послідовно обчислимо максимальні f_N(t) для
N =1;2;...;12 при t = 0;1;...; 12, використовуючи значення (t) із таблиці 6.

При N=1 процес одноетапний, тому використовуємо (1.18)

 

 

і так далі. Результати в таблиці 7

Таблиця 7

t

етапи

N

N-1

f1(t)

f2(t)

f3(t)

f4(t)

f5(t)

f6(t)

f7(t)

f8(t)

f9(t)

f10(t)

f11(t)

f12(t)

 

При N > 2 використовуємо (1.17)

 

і т.д.

 

Для знаходження величини f₂(t) необхідно знайдені значення f₁(t) скласти в такому порядку:

f₂(0) = f₁(0) + f₁(1)

f₂(1) = f₁(1) + f₁(2)

і т.д., потім кожне отримане значення порівняти з f₁(1), тобто з 9. Якщо f₁(1) > f₂(t), то обчислення припиняються. У цей момент устаткування необхідно замінити, тому що розмір прибутку, одержуваного в результаті заміни, більше, ніж у випадку використання старого. Відзначаємо цей момент V і обчислення припиняємо. При N=3 із (4.17) випливає, що

f₃(0) = f₁(0) + f₂(1)

f₃(1) = f₁(1) + f₂(2)

f₃(2) = f₁(2) + f₂(3) і т.д.

 

Обчислення припиняємо, якщо f₃(k) < f₂(1) = 17.

 

Узагальнимо отримані результати. Починаючи з N=2, обчислення проводимо по формулі f_2+n(t)=f₁(t)+f_1+n(t+1) n = 0;1;2..., t =0;1;2;..., порівнюючи отримані f із f_1+n(1). Якщо f_1+n(1)>f_2+n(t), обчислення припиняємо (заміна устаткування). Тому всі обчислення можна проводити без функціонального рівняння, безпосередньо в таблиці 7. За умовою, довжина етапу збігається з роком, тому рішення закінчуємо на дванадцятиетапному процесі.

За результатами обчислень, приведеними у таблиці 7 і лінії, що розмежовує області рішень зберігання і заміни устаткування, знаходимо оптимальний цикл заміни устаткування. У дванадцятиетапному процесі устаткування повинно бути замінене через чотири роки, тобто на 8-ом етапі; у восьмиетапному процесі - через чотири роки, тобто на 4-ом етапі, у чотирьохетапному процесі устаткування повинно замінятися також через 4 роки.

 

Таким чином, для одержання max прибутків в 12-ти етапному процесі оптимальний цикл складається в заміні устаткування кожні 4 роки.

Якщо в задачі заміни устаткування покласти, що вік устаткування t і етапи N відраховуються в прямому напрямку, то функціональне рівняння приймає такий вигляд

 

(1.19)

 

де f(t) - сумарний прибуток, отриманий починаючи з N етапу і до кінця процесу на устаткуванні вік котрого t років на N-ом етапі. Верхня строчка визначає прибуток при зберіганні устаткування, нижня - при його заміні. Тут r(t) - вартість продукції, зробленої на N-ом етапі на одиниці устаткування; L_N(t) - витрати; r(0) - вартість продукції, зробленої на одиниці нового обладнання, L_N(0), відповідно, витрати, U_N(t) = P_N - S_N(t) - витрати по заміні устаткування на N етапі віку t років.

 

Необхідно в десятиетапному процесі тривалістю 10 років знайти цикл заміни устаткування, вік якого три роки, якщо відомі оцінки ефективності використання старого (таблиця 8) і нового (таблиця 9) устаткування, починаючи з моменту його виготовлення і до кінця аналізованого періоду.

 

Таблиця 8

 

Вік устаткування

r(t)

L(t)

U(t)

 

Час виготовлення устаткування відраховується від початку процесу, тобто якщо нове обладнання виготовлене в 1-ий рік, то старе устаткування має вік 3 роки, якщо в 2-ий - чотири роки і т.д.

Таблиця 9

 

Час виготовлення устаткування.	Вік устатку-вання
у 1-й рік	r(t)
	L(t)
	U(t)
у 2-й рік	r(t)										-
	L(t)										-
	U(t)										-
у 3-й рік	r(t)									-	-
	L(t)									-	-
	U(t)									-	-
у 4-й рік	r(t)								-	-	-
	L(t)								-	-	-
	U(t)								-	-	-
у 5-й рік	r(t)							-	-	-	-
	L(t)							-	-	-	-
	U(t)							-	-	-	-
у 6-й рік	r(t)						-	-	-	-	-
	L(t)						-	-	-	-	-
	U(t)						-	-	-	-	-
у 7-й рік	r(t)					-	-	-	-	-	-
	L(t)					-	-	-	-	-	-
	U(t)					-	-	-	-	-	-
у 8-й рік	r(t)				-	-	-	-	-	-	-
	L(t)				-	-	-	-	-	-	-
	U(t)				-	-	-	-	-	-	-
у 9-й рік	r(t)			-	-	-	-	-	-	-	-
	L(t)			-	-	-	-	-	-	-	-
	U(t)			-	-	-	-	-	-	-	-
у 10-й рік	r(t)		-	-	-	-	-	-	-	-	-
	L(t)		-	-	-	-	-	-	-	-	-
	U(t)		-	-	-	-	-	-	-	-	-

 

Рішення починаємо з кінця процесу N=10, тобто знаходимо

 

(1.20)

 

Надаючи t=1;...; 10 і з огляду на те, що устаткування, вік якого t років, виготовлено в 10-t рік від початку процесу, на підставі даних таблиці 9, одержуємо (використовуючи оцінки устаткування виготовлені в 9 і 10-й роки)

 

 

і т.д.

 

 

При t = 10; 11; 12 для визначення r₁₀(t), L₁₀(t), U₁₀(t) використовуємо оцінки старого устаткування, приведені в таблиці 8

 

 

і т.д. Результати записуємо в таблицю 10.

 

Для знаходження наступних f(t) при t = 9, 8,..., 1 використовуємо результати таблиці 10 і рівняння (1.19). При N=9 і t=1;...; 12 одержуємо

 

 

і т.д. При t = 9; 10; 11; 12 використовуємо оцінки, приведені в таблиці 8

 

 

і т.д.

 

Таблиця 10

t

fN(t)

N

f10(t)

-25

-35

-40

f9(t)

-15

-25

-25

f8(t)

f7(t)

f6(t)

f5(t)

f4(t)

f3(t)

f2(t)

f1(t)

 

Лінія розмежовує області рішень, що полягають у зберіганні і заміні устаткування.

Т.ч. для одержання максимального прибутку від використання устаткування в 10-ти етапному процесі оптимальний цикл заміни устаткування повинний складатися в заміні устаткування на 1-ому етапі, вік котрого 3 роки. Нове обладнання використовується до 5-го етапу, на якому воно знову замінюється, робота на цьому устаткуванні продовжується до 10 етапу, на якому воно знову замінюється

 

Задача планування виробництва з